高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計案例 第3章學(xué)業(yè)分層測評

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．為了研究變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙兩人分別利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，已知兩人計算過程中eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))分別相同，則下列說法正確的是()A．l1與l2一定平行B．l1與l2重合C．l1與l2相交于點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))D．無法判斷l(xiāng)1和l2是否相交【解析】回歸直線一定過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，故C正確．【答案】C2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R2哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好．【答案】A3．對變量x，y進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．【答案】A4．對于指數(shù)曲線y＝aebx，令U＝lny，c＝lna，經(jīng)過非線性化回歸分析后，可轉(zhuǎn)化的形式為()A．U＝c＋bxB．U＝b＋cxC．y＝c＋bxD．y＝b＋cx【解析】由y＝aebx得lny＝ln(aebx)，∴l(xiāng)ny＝lna＋lnebx，∴l(xiāng)ny＝lna＋bx，∴U＝c＋bx.故選A.【答案】A5．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如表所示：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對x的線性回歸方程為()\o(y,\s\up6(^))＝x－1\o(y,\s\up6(^))＝x＋1\o(y,\s\up6(^))＝88＋eq\f(1,2)x\o(y,\s\up6(^))＝176【解析】設(shè)y對x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，因為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1,－22＋22)＝eq\f(1,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝176－eq\f(1,2)×176＝88，所以y對x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋88.【答案】C二、填空題6．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性進行分析，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)指數(shù)R2與殘差平方和Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))如下表：甲乙丙丁R2Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))106115124103則能體現(xiàn)A，B兩個變量有更強的線性相關(guān)性的為________．【解析】丁同學(xué)所求得的相關(guān)指數(shù)R2最大，殘差平方和Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))最?。藭rA，B兩變量線性相關(guān)性更強．【答案】丁7．在對兩個變量進行回歸分析時，甲、乙分別給出兩個不同的回歸方程，并對回歸方程進行檢驗．對這兩個回歸方程進行檢驗時，與實際數(shù)據(jù)(個數(shù))對比結(jié)果如下：與實際相符數(shù)據(jù)個數(shù)與實際不符合數(shù)據(jù)個數(shù)總計甲回歸方程32840乙回歸方程402060總計7228100則從表中數(shù)據(jù)分析，________回歸方程更好(即與實際數(shù)據(jù)更貼近)．【解析】可以根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，兩個回歸方程對數(shù)據(jù)預(yù)測的正確率進行判斷，甲回歸方程的數(shù)據(jù)準確率為eq\f(32,40)＝eq\f(4,5)，而乙回歸方程的數(shù)據(jù)準確率為eq\f(40,60)＝eq\f(2,3).顯然甲的準確率高些，因此甲回歸方程好些．【答案】甲8．如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝，a＝2，|e|≤，如果今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過________億元.【導(dǎo)學(xué)號：97270060】【解析】∵x＝10時，y＝×10＋2＋e＝10＋e，∵|e|≤，∴y≤.【答案】三、解答題9．某服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)純獲利y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x3456789y66697381899091(1)求樣本點的中心；(2)畫出散點圖；(3)求純獲利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸方程．【解】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))≈，樣本點的中心為(6,．(2)散點圖如下：(3)因為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.10．為了研究某種細菌隨時間x變化繁殖個數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：時間x/天123456繁殖個數(shù)y612254995190(1)用時間作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程．【解】(1)散點圖如圖所示：(2)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，則x123456z由計算器算得，eq\o(z,\s\up6(^))＝＋，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.[能力提升]1．(2023·青島一中調(diào)研)某學(xué)生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如表：考試次數(shù)x1234所減分數(shù)y43顯然所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為()A．y＝＋ B．y＝－＋C．y＝－＋ D．y＝－＋【解析】由題意可知，所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負相關(guān)，所以排除A.考試次數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝，所減分數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)＋4＋3＋＝，即直線應(yīng)該過點,，代入驗證可知直線y＝－＋成立，故選D.【答案】D2．某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356若x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，則線性回歸方程為________．【解析】eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝4－×9＝－，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.【答案】eq\o(y,\s\up6(^))＝－3．某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表：時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m3324由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，樣本中心點為(10,38)．(1)表中數(shù)據(jù)m＝__________.(2)氣象部門預(yù)測三月中旬的平均氣溫約為22℃，據(jù)此估計，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為__________件．【解析】(1)由eq\x\to(y)＝38，得m＝40.(2)由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，故eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，當x＝22時，eq\o(y,\s\up6(^))＝14，故三月中旬的銷售量約為14件．【答案】(1)40(2)144．(2023·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．圖3-1-2eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))5631469表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,)wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),eq\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).【解】(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f,＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×＝，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為