高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何 名師獲獎(jiǎng)

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．【解析】由{a，b，c}是空間的一個(gè)基底知，a，b，c不共面．由空間向量基本定理得x＝y(tǒng)＝z＝0.【答案】x＝y(tǒng)＝z＝02．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b＝________.【解析】b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．【答案】(2，－4,2)3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)是a∥b的________條件．【解析】設(shè)eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)＝k，易知a∥b，即條件具有充分性．又若b＝0時(shí)，b＝(0,0,0)，顯然有a∥b，但條件eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)顯然不成立，所以條件不具有必要性．【答案】充分不必要4．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，則向量a，b，c中與m，n可以構(gòu)成空間向量另一個(gè)基底的向量是________．【解析】顯然a或b均與m，n共面，c與m，n不共面，故為c.【答案】c5．如圖3-1-20所示，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＋xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OA,\s\up8(→))，則x＝_________，y＝________.圖3-1-20【解析】∵eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(OE,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up8(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).【答案】eq\f(1,2)－eq\f(3,2)6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，則x＝________，y＝________.【解析】∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，顯然y≠0，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).【答案】eq\f(1,6)－eq\f(3,2)7．底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC和PD的中點(diǎn)，若PA＝AB＝2，則向量eq\o(EF,\s\up8(→))的坐標(biāo)為________．【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則E(2,1,0)，F(xiàn)(0,1,1)，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝(－2,0,1)．【答案】(－2,0,1)(答案不惟一)8．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，點(diǎn)M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG＝2GN，用基底向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))表示向量eq\o(OG,\s\up8(→))為________．圖3-1-21【解析】eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(MG,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).【答案】eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))二、解答題9．如圖3-1-22所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC圖3-1-22(1)化簡：eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)且eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up8(→))，若eq\o(EO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))＋zeq\o(AA1,\s\up8(→))，試求x，y，z的值．【解】(1)∵eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→)).(2)∵eq\o(EO,\s\up8(→))＝eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(DO,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up8(→)).即x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).10．如圖3-1-23，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，點(diǎn)P是線段BD1上一動(dòng)點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PE∥A1圖3-1-23【解】以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)．∵E為BC的中點(diǎn)，∴E(2,4,0)．∴eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，eq\o(BD1,\s\up8(→))＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，eq\o(EB,\s\up8(→))＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．設(shè)eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BD1,\s\up8(→))，則eq\o(EP,\s\up8(→))＝eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\o(EB,\s\up8(→))＋λeq\o(BD1,\s\up8(→)).∵eq\o(EB,\s\up8(→))＝(2,0,0)，λeq\o(BD1,\s\up8(→))＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴eq\o(EP,\s\up8(→))＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE∥A1B，得eq\o(EP,\s\up8(→))∥eq\o(A1B,\s\up8(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－4λ＝0，,\f(－4λ,4)＝\f(3λ,－3)，))∴λ＝eq\f(1,2).此時(shí)點(diǎn)P為BD1的中點(diǎn)．故當(dāng)點(diǎn)P為BD1的中點(diǎn)時(shí)，PE∥A1B.能力提升]1．有以下命題：①如果向量a，b與任何向量均不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么a，b的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，則向量a＋b，a－b，c也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是________.【導(dǎo)學(xué)號：09390074】【解析】①錯(cuò)誤，當(dāng)a，b共線時(shí)，才可與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底；②由于eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，即O，A，B，C四點(diǎn)共面，即②正確；③如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則a＋b＝eq\o(AC,\s\up8(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up8(→))，顯然eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))不共面，也是基底，③正確．【答案】②③2．已知點(diǎn)A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C為線段AB上一點(diǎn)，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，則C點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AC,\s\up8(→))＝(x－4，y－1，z－3)．∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－6，－2)，∴eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(－2，－6，－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－2，－\f(2,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10,3)，,y＝－1，,z＝\f(7,3).))【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))3．一個(gè)向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，則p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝a＋2b＋3c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))∴x＝eq\f(3,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝3.∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))4．如圖3-1-24所示，M，N分別是四面體O-ABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))表示eq\o(OP,\s\up8(→))和eq\o(OQ,\s\up8(→)).圖3-1-24【解】eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\a\vs4\al(\f(2,3)\o(MN,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(ON,\s\up8(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))))