高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 第二章演繹推理

第二章推理與證明合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．對a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，……大前提x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))，……小前提所以x＋eq\f(1,x)≥2.……結(jié)論以上推理過程中()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．結(jié)論錯誤 D．無錯誤解析：小前提錯誤，因為只有當(dāng)x＞0時，才有x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x)).答案：B2．有一段演繹推理是這樣的：“若直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線，已知直線b在平面α外，直線a在平面α內(nèi)，直線b∥平面α，則直線b∥直線a.”結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤解析：若直線平行平面α，則該直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，故大前提錯誤．答案：A3．下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x＞0，y＞0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．冪函數(shù) B．對數(shù)函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．余弦函數(shù)解析：只有指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，滿足條件．答案：C4．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行線的同旁內(nèi)角，那么∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．某高校共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式解析：選項A中的推理是演繹推理，選項B中的推理是類比推理，選項C、D中的推理是歸納推理．答案：A5．有這樣一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)．”結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤解析：用小前提“S是M”，判斷得到的結(jié)論“S是P”時，大前提“M是P”必須是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演繹推理規(guī)則．答案：C二、填空題6．用演繹推理證明“y＝sinx是周期函數(shù)”時的大前提為___________，小前提為________________．解析：用演繹推理證明“y＝sinx是周期函數(shù)”時的大前提是“三角函數(shù)是周期函數(shù)”，小前提是“y＝sinx是三角函數(shù)”．答案：三角函數(shù)是周期函數(shù)y＝sinx是三角函數(shù)7．在求函數(shù)y＝eq\r(log2x－2)的定義域時，第一步推理中大前提是當(dāng)eq\r(a)有意義時，即a≥0；小前提是eq\r(log2x－2)有意義；結(jié)論是_______．解析：要使函數(shù)有意義，則log2x－2≥0，解得x≥4，所以函數(shù)y＝eq\r(log2x－2)的定義域是[4，＋∞)．答案：函數(shù)y＝eq\r(log2x－2)的定義域是[4，＋∞)8．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命題：①其圖象關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)x＞0時，f(x)為增函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④當(dāng)－1＜x＜0，或x＞1時，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中正確結(jié)論的序號是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，①正確；當(dāng)x＞0時，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))；因為在g(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，故②不正確；而f(x)有最小值lg2，所以③正確；④也正確；⑤不正確．答案：①③④三、解答題9．設(shè)m為實數(shù)，利用三段論求證方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．證明：因為如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac＞0，一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩相異實根．(結(jié)論)10．已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，當(dāng)|x|≤1時，|f(x)|≤1，證明|c|≤1，并分析證明過程中的三段論．證明：因為|x|≤1時，|f(x)|≤1.x＝0滿足|x|≤1，所以|f(0)|≤1，又f(0)＝c，所以|c|≤1.證明過程中的三段論分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；結(jié)論是|f(0)|≤1.B級能力提升1．下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)＞0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1，1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1，1)內(nèi)，f′(x)＝3x2＞0恒成立，以上推理中()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤解析：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0對x∈(a，b)恒成立．所以大前提錯誤．答案：A2．設(shè)a＞0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)是R上的偶函數(shù)，則a的值為____．解析：因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0對于一切x∈R恒成立，由此得a－eq\f(1,a)＝0，即a2＝1.又a＞0，所以a＝1.答案：13．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E為PC的中點．(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；(2)求證：BE∥平面PAD.證明：(1)因為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥PA,CD⊥DA,PA∩