高中數(shù)學北師大版3第一章計數(shù)原理組合 第1章3組合的應用

第2課時組合的應用1．能應用組合知識解決有關組合的簡單實際問題．(重點)2．能解決有限制條件的組合問題．(難點)[基礎·初探]教材整理組合的實際應用閱讀教材P15～P16，完成下列問題．1．組合與排列的異同點共同點：排列與組合都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素．不同點：排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關．2．應用組合知識解決實際問題的四個步驟(1)判斷：判斷實際問題是否是組合問題．(2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題．(3)計算：利用組合數(shù)公式結(jié)合兩個計數(shù)原理計算．(4)結(jié)論：根據(jù)計算結(jié)果寫出方案個數(shù)．1．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有________．【解析】把三張票分給10個人中的3人，不同分法有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(種)．【答案】1202．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有______種．【解析】甲選修2門，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同方案．乙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．丙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．【答案】96[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]無限制條件的組合問題在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．【精彩點撥】本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問題．【自主解答】(1)從中任取5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．解答簡單的組合問題的思考方法1．弄清要做的這件事是什么事．2．選出的元素是否與順序有關，也就是看看是不是組合問題．3．結(jié)合兩個計數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結(jié)果．[再練一題]1．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有多少種？【解】(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法，即Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(種)．有限制條件的組合問題高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動．(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？【精彩點撥】可從整體上分析，進行合理分類，弄清關鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用兩個計數(shù)原理解決．【自主解答】(1)從余下的34名學生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的取法有561種．(2)從34名可選學生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984種．∴不同的取法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種．∴不同的取法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3名女生有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方式N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的取法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，因此選取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．∴不同的取法有6090種．常見的限制條件及解題方法1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解．[再練一題]2．“抗震救災，眾志成城”，在我國“四川5·12”(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？【解】(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(種)抽調(diào)方法．法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有：Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①沒有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名外科專家參加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(種)抽調(diào)方法．[探究共研型]組合在幾何中的應用探究1已知平面α∥β，在α內(nèi)有4個點，在β內(nèi)有6個點．過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同平面？【提示】所作出的平面有三類：①α內(nèi)1點，β內(nèi)2點確定的平面，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個；②α內(nèi)2點，β內(nèi)1點確定的平面，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個；③α，β本身．∴所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98個．探究2上述問題中，以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？【提示】所作的三棱錐有三類：①α內(nèi)1點，β內(nèi)3點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個；②α內(nèi)2點，β內(nèi)2點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個；③α內(nèi)3點，β內(nèi)1點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個．∴最多可作出的三棱錐有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194個．探究3上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？【提示】∵等底面積、等高的情況下，三棱錐的體積相等，且平面α∥β，∴體積不相同的三棱錐最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114個．在一個正方體中，各棱、各面對角線和體對角線中，共有多少對異面直線？【精彩點撥】解答本題可用間接法求解，28條線段任取2條的組合中除去不能構(gòu)成異面直線的情況．或者構(gòu)造模型，借助三棱錐中有且僅有3對異面直線來解決．【自主解答】法一：一個正方體的棱、面對角線和體對角線共28條．底面、側(cè)面和對角面共12個面，每一個面中，任兩條直線都不構(gòu)成異面直線，8個頂點中過每個頂點的3條面對角線不能構(gòu)成異面直線，故共有Ceq\o\al(2,28)－12Ceq\o\al(2,6)－8Ceq\o\al(2,3)＝174對異面直線．法二：因為一個三棱錐的6條棱中有且僅有3對異面直線，而一個正方體的8個頂點中取4個點的取法有Ceq\o\al(4,8)種，上述12個底面、側(cè)面和對角面每個面的4個頂點不能構(gòu)成三棱錐，故一個正方體的8個頂點可構(gòu)成Ceq\o\al(4,8)－12＝58個三棱錐，所以一個正方體中符合題設要求的異面直線共有3·(Ceq\o\al(4,8)－12)＝3×58＝174對．幾何中的計數(shù)問題一般為組合問題，要注意分清“對應關系”，如不共線的三點對應一個三角形，不共面的四點確定一個四面體等.解題時可借助圖形幫助思考，并要善于利用幾何性質(zhì)，但要注意共點、共線、共面等特殊情況，避免多算或漏算.[再練一題]3．四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們與點A在同一平面上，有多少種不同的取法？【解】如圖所示，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外每個面都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)種取法，含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33種．[構(gòu)建·體系]1．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關掉3盞不相鄰的燈，則關燈方案有()A．72種 B．84種C．120種 D．168種【解析】需關掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈的空中，所以關燈方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)．故選C.【答案】C2．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種【解析】均為奇數(shù)時，有Ceq\o\al(4,5)＝5種；均為偶數(shù)時，有Ceq\o\al(4,4)＝1種；兩奇兩偶時，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60種，共有66種．【答案】D3．由三個3和四個4可以組成________個不同的七位數(shù)．【解析】在七個位置上選出3個位置放入3，其余放入4，所以有Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(4,7)＝35個不同的數(shù)．【答案】354．在直角坐標平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個.【導學號：62690015】【解析】在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225個．【答案】2255．在12件產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品，從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件．(1)共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？【解】(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220種抽法．(2)分兩步：先從2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)種方法；再從10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)種方法，所以共有Ce