北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第一章測試題含答案解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第一章測試題含答案解析第一章數(shù)列單元檢測卷一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．242．已知數(shù)列滿足，，，則（）A．6 B．7 C．8 D．93．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，則（

）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有大夫?不更?簪裹?上造?公士五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”已知問題中五個(gè)爵位是由高到底排列的，古代數(shù)學(xué)中“以爵次分之”一般表示等差分配，若已知上選得三分鹿之二，即上造分得鹿.則以下說法不正確的有（

）A．大夫分得二鹿 B．不更?上造分得的鹿之和是簪褭的兩倍C．不更分得一鹿加三分鹿之一 D．不更?上造分得的鹿之和與大夫?公士分得的鹿之和相等5．已知數(shù)列是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，若，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．166．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．338．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．2021二、多選題9．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是其公比，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．C． D．11．已知下圖的一個(gè)數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列C． D．三、填空題13．已知公差為1的等差數(shù)列中，，若，則n＝______．14．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，則______.15．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若存在正數(shù)k，使對一切恒成立，則k的取值范圍為________．16．在《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，蘊(yùn)含了無限分割、等比數(shù)列的思想，體現(xiàn)了古人的智慧．如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點(diǎn)、、、，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)、、、，作第三個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，記第一個(gè)正方形的面積為，第二個(gè)正方形的面積為，，第個(gè)正方形的面積為，則前個(gè)正方形的面積之和為______________．四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，為其前n項(xiàng)和，且.(1)證明：；(2)若，數(shù)列為等比數(shù)列，，.求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.19．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，已知．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的取值范圍．20．已知等比數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，，，成等差數(shù)列，且滿足；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.答案第=page6363頁，共=sectionpages5757頁參考答案：1．B【解析】【分析】先令，求出，再令，可求出【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，，所以令，則，即，令，則，即，故選：B2．B【解析】【分析】先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求結(jié)果.【詳解】∵，∴是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，∴，，∴．故選：B．3．D【解析】【分析】求出的值，由可得出，分析可知數(shù)列從第二項(xiàng)開始成以為公比的等比數(shù)列，由此可求得的值.【詳解】由已知可得，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，則，所以，數(shù)列從第二項(xiàng)開始成以為公比的等比數(shù)列，則.故選：D.4．A【解析】【分析】由題意可得五個(gè)人分得鹿的數(shù)量成遞減的等差數(shù)列，且，從而可求出，進(jìn)而分析判斷即可【詳解】由題意得大夫、不更、簪褭、上造、公士五人分得鹿的數(shù)量成遞減的等差數(shù)列，分別記為，設(shè)公差為，則由題意得，所以，解得，所以，所以大夫、不更、簪褭、上造、公士各分得鹿的數(shù)量分別為，所以A錯(cuò)誤，B正確，不更、上造分得的鹿之和為，所以C正確，不更、上造分得的鹿之和與大夫、公士分得的鹿之和都為2，所以D正確，故選：A.5．D【解析】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，由，即，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故選：D6．D【解析】【分析】根據(jù)遞推公式和等比數(shù)列的定義，可證明是等比數(shù)列，進(jìn)而可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，.又所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以即，所以.故選：D.7．B【解析】【分析】先由已知條件判斷出的取值范圍，即可判斷使得的最小正數(shù)n的數(shù)值.【詳解】由得：，.，又，，，，則使得的最小正數(shù)n為35.故選：B.8．A【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)n的取值討論并判斷即可.【詳解】①，令，得，解得．，②，由①②可得，整理得，根據(jù)可知，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，．∴，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．∵，，∴使成立的的最小值為．故選：A．9．BD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時(shí)或時(shí).【詳解】由題意知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時(shí)或時(shí).故，，故選：BD10．ABC【解析】【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得，進(jìn)而可得，利用計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】由題意知，，得，即，解得，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，當(dāng)時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．ABC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列特性結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得，然后根據(jù)通項(xiàng)公式求出和，逐項(xiàng)分析便可得答案.【詳解】解：由題意得：A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B正確；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，故C正確．故選：ABC12．BC【解析】【分析】根據(jù)，，進(jìn)行遞推得到數(shù)列的規(guī)律逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，，所?，，,，,，，，，，，可以看出：偶數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列，可看作是以1為公比的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)不是等差數(shù)列，，，，，，故選：BC.13．【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算得，再求出通項(xiàng)即可求解.【詳解】由，有，從而，所以若時(shí)，得.故答案為：14．【解析】【分析】先求出，根據(jù)等比中項(xiàng)求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，所以.因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，解得：.故答案為：15．【解析】【分析】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法可得，進(jìn)而可得恒成立，再利用基本不等式即得.【詳解】因?yàn)?，即，所以?shù)列為公比為2的等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以，所以，，所以，①，②②－①得，，所以．因?yàn)椴坏仁綄σ磺泻愠闪?，所以對一切恒成立，即對一切恒成立，只需滿足，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故k的取值范圍是．故答案為：．16．【解析】【分析】分析出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)第個(gè)正方形的邊長為，由題意可得，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，前個(gè)正方形的面積之和為.故答案為：.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組求、，寫出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知時(shí)，，而，，分別求出、時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，解得，∴.（2）由（1）知：，則，得，又，∴時(shí)，，而，，∴數(shù)列的前項(xiàng)和，而，，∴，故.18．(1)證明見解析；(2)4044.【解析】【分析】（1）由題設(shè)遞推式可得，結(jié)合已知條件即可證結(jié)論.（2）由（1）及等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，進(jìn)而有，根據(jù)奇偶項(xiàng)的正負(fù)性，應(yīng)用分組求和法及（1）的結(jié)論求即可.(1)因?yàn)棰?，則②，②-①得：，又，所以.(2)由得：，于是，由得：的公比.所以，.由得：由得：，因此.19．(1)(2)【解析】【分析】(1)由前n項(xiàng)和的意義和等差數(shù)列性質(zhì)求出，然后可得；(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式解不等式即可.(1)，所以．所以．(2)由（1）知，所以．，由得，所以，解得，即d的取值范是．20．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，求出首項(xiàng)與公比即可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，由條件，，成等差數(shù)列，可得，即，可得，解得或（舍去），又因?yàn)?，即，?所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.(2)因?yàn)?，所以，?shù)列的前項(xiàng)和.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為d，則由題意列出關(guān)于的兩個(gè)方程，求出，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法求出(1)設(shè)的公差為d，則．又，，成等比數(shù)列，則，即，整理得．又因?yàn)椋裕c聯(lián)立，得，，故．(2)由（1）知，則，，兩式相減得，所以．22．(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用，整理可得數(shù)列是等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式即可；（2）求出，然后分組求和.(1)當(dāng)時(shí)，，整理得，又，得則數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.則，(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則第一章數(shù)列章末檢測單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案。每題5分，8題共40分）1．已知是公差為的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則（）A． B．14 C．12 D．16【答案】B【分析】由成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡可得，,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】解設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，由成等比數(shù)列,所以，整理得，故，所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.2．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得數(shù)列的周期為3，從而可求得．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，，，所以?shù)列的周期為3，因?yàn)?，所以．故選：．3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a10，S3S10，則Sn取最大值時(shí)n的值為（）A．6 B．7 C．6或7 D．7或8【答案】C【分析】判斷出等差數(shù)列{an}的第7項(xiàng)為0，結(jié)合a10，即可求Sn取最大值時(shí)n的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)閧an}為差數(shù)列且a10，所以Sn取最大值時(shí)n的值為6或7.故選：C.4．?dāng)?shù)列，滿足，，，則的前10項(xiàng)之和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求前10項(xiàng)之和.【詳解】因?yàn)椋?，故，故的?0項(xiàng)之和為，故選：D.5．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)得出、、、成等差數(shù)列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，因?yàn)椋?，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，所以，所以.故選：A．6．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，∵，且，∴，解得.則，故選：C.7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A．192

里 B．96

里 C．48

里 D．24

里【答案】B【分析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B．8．?dāng)?shù)列{Fn}：F1=F21，，最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年所著的《算盤全書》.若將數(shù)列{Fn}的每一項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2021項(xiàng)和為（）A．1345 B．1346 C．1347 D．1348【答案】D【分析】根據(jù)題意寫出數(shù)列的前若干項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即可得到所求和．【詳解】由“兔子數(shù)列”的各項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，可得此數(shù)列被2除后的余數(shù)依次為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，即，，，，，，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為：．故答案為：1348．二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則以下結(jié)論正確的有（）A． B．最小 C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由，然后逐項(xiàng)分析即可得解．【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其等差為d，由于，即，即，故A正確；當(dāng)d＜0時(shí)，Sn沒有最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；，故D正確．故選：ACD．10．已知數(shù)列滿足，，是其前項(xiàng)和，則（）．A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分別令可得是以為周期的周期數(shù)列，可得，在分別檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，有，即，解得，由以上可得數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，所以，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，，，所以，故選項(xiàng)C正確；，，所以，故選項(xiàng)D不正確，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得數(shù)列是周期數(shù)列.11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，，則下列命題中正確的是（）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列【答案】ABD【分析】由代入得出的遞推關(guān)系，得證是等差數(shù)列，可判斷A，求出后，可判斷B，由的值可判斷C，求出后可判斷D．【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以是公差?的等差數(shù)列，A正確；因?yàn)椋?，，B正確；時(shí)，由，得，但不滿足此式，因此C錯(cuò)誤；由得，所以是等比數(shù)列，D正確．故選：ABD．12．若數(shù)列滿足，，，則稱為斐波那契數(shù)列．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由遞推式分別求出，，，，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，，，，，，所以，，，故錯(cuò)誤；，，，故正確；，故正確；，，所以，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題（每題5分，4題共20分）13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值為______．【答案】30【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出，，得到后，再求出的最大值．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，，或時(shí)，取最大值．故答案為：30．14．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的值為______．【答案】40【分析】可結(jié)合等比推論也成等比數(shù)列直接求解【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，即也成等比數(shù)列，解得，，即故答案為：4015．?dāng)?shù)列滿足，對任意的都有，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，利用累加法可得，解得，再裂項(xiàng)相消即可得解.【詳解】由可得，所以：，由解得，所以，所以.故答案為：.16．為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn).在軸正半軸上依次取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，…，中點(diǎn)，…記，.則（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式___________；（2）記，數(shù)列的最大值為___________.【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可得答案；（2）根據(jù)題意，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析數(shù)列的單調(diào)性，據(jù)此分析可得答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，有，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則；（2）根據(jù)題意，，則，則，若，即，解可得，又由，則有，即當(dāng)，，數(shù)列遞增，即，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞減，則有，又，故數(shù)列的最大值為；故答案為：（1）；（2）．四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．在①對任意滿足；②；③.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________，若數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列不是等差數(shù)列，說明理由.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）等比數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換，用通項(xiàng)公式代入列方程組解得；（2）由，判斷為等差數(shù)列，套公式求和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意得：解得所以（2）所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以．【點(diǎn)睛】(1)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換；(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法．18．“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中是沙漠（其余為綠洲），從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第n年綠洲面積為萬平方公里．（1）求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；（2）判斷是否是等比數(shù)列，并說明理由；（3）至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過？【答案】(1)(2)是等比數(shù)列，理由見解析.(3)至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%．【分析】（1）由題意得化簡可得答案；（2）由（1）得，整理得，從而得是等比數(shù)列.

（3）由（2）得，整理并在兩邊取常用對數(shù)可求得從而得出結(jié)論．【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比數(shù)列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，兩邊取常用對數(shù)得：，所以，∴．∴至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，常用的解題思路是審題——建模——研究模型——返回實(shí)際．研究模型時(shí)需注意：(1)量(多個(gè)量)；(2)量間的關(guān)系(規(guī)律)：等差、等比規(guī)律；遞推關(guān)系；其它規(guī)律——由特殊到一般——?dú)w納總結(jié)；(3)與通項(xiàng)公式有關(guān)或與前n項(xiàng)和有關(guān)等．19．在金融危機(jī)中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有根.現(xiàn)將它們堆放在一起.（1）若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼?（2）若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，且不少于七層，（Ⅰ）共有幾種不同的方案?（Ⅱ）已知每根圓鋼的直徑為，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場地？【答案】（1）當(dāng)時(shí)，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余56根圓鋼；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場地.【分析】（1）n層一共放了根圓鋼，需滿足條件，求解不等式使剩余圓鋼盡可能少；（2）分析出從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式列出圓鋼總數(shù)，根據(jù)與n的奇偶性不同來確定方案；（3）層數(shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以討論當(dāng)與兩種情況是否符合題意即可.【詳解】（1）由題意可知：第一層放1根，第二層放2根，第3層放3根，，第n層放n根，所以n層一共放了根圓鋼，由題意可知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余56根圓鋼；（2）（Ⅰ）當(dāng)縱截面為等腰梯形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因與n的奇偶性不同，所以與n的奇偶性也不同，且，從而由上述等式得：或或或，共有4中方案可供選擇；（Ⅱ）因?yàn)閷訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：若，則，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時(shí)，兩腰之長為400cm，上下底之長為280cm和680cm，從而梯形的高為，且，所以符合條件；若，則，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時(shí)兩腰之長為480cm，上下底之長為160cm和640cm，從而梯形的高為，顯然大于4m，不合條件，舍去.綜上所述，選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場地.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，______．從①數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）條件性選擇見解析，；（2）．【分析】（1）選①：由題意可得，再利用等比數(shù)列的公比為可求，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②：，令可求，當(dāng)時(shí)，可得，與已知條件兩式相減可求得，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與已知條件兩式相減可求得，檢驗(yàn)也滿足，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，則，利用乘公比錯(cuò)位相減即可求和.【詳解】（1）選①：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又因?yàn)閿?shù)列的公比為2，所以，即，解得，所以．選②：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以．即．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．故．選③：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，依然成立．所以．（2）由（1）知，則，所以，①，②①－②得．所以．所以數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.21．已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，再從①；②；③這三個(gè)條件中選擇___________，___________兩個(gè)作為已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】答案見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組，求解后可得的通項(xiàng)公式.（2）利用公式法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴解得，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴.選擇條件①和條件③：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴.（2），設(shè)等比數(shù)列的公比為，.∴，解得，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴.選擇條件②和條件③：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴，解得，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，又，故.∴.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由（1）可知.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運(yùn)用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問題．22．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，.【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以又因?yàn)樗裕瑪?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以，（2）證明：因?yàn)椋傻盟?，?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以，因?yàn)椋运?，兩式作差得：所以，第一章?shù)列章末檢測一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案。每題5分，8題共40分）1．是等差數(shù)列，，，的第（）項(xiàng)．A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)．【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)．故選：C．2．?dāng)?shù)列2，－4，6，－8，…的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列各項(xiàng)變化的規(guī)律，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，，6，，，其中，，，，其通項(xiàng)公式可以為，故選：．3．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至?大寒?雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D4．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，（）A．2022 B．2021 C．2019 D．2018【答案】B【分析】先求出等差數(shù)列的公差，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得:解得，則所以故選：B5．九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若，且，則解下個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得出，即為所求.【詳解】數(shù)列滿足．且，所以，，，，.所以解下個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為．故選：C．6．等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比變化時(shí)，是一個(gè)定值，則一定為定值的項(xiàng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：，首項(xiàng)與公比變化時(shí)，是一個(gè)定值，故選：．7．設(shè)是無窮數(shù)列，，給出命題：①若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列；③若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及定義判斷，，；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷【詳解】解：對于①：若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，則，所以是等差數(shù)列，故①正確；對于②：若是等比數(shù)列，設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，故不是等比數(shù)列，故②不正確；對于③：若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，故③正確；故選：．8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列中的整數(shù)從小到大排列得到新數(shù)列，則的前100項(xiàng)和為（）A．9900 B．10200 C．10000 D．11000【答案】B【分析】因?yàn)閿?shù)列中的整數(shù)從小到大排列得到新數(shù)列，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，，，，通過觀察歸納，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的求和公式求解即可．【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以對應(yīng)中的是完全平方數(shù)，且，所以，，，，觀察可知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，即，所以．故選：．二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．在等差數(shù)列中，已知，，是其前項(xiàng)和，則（）．A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件得出、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知條件得，解得.對于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.若，則以下結(jié)論一定正確的是（）A． B．的最小值為C． D．存在最大值【答案】AC【分析】首先根據(jù)，得到，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，解?對選項(xiàng)A，，故A正確；對選項(xiàng)B，，因?yàn)椋?，，，所以的最小值為或，故B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C，，又因?yàn)?，所以，即，故C正確；對選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以無最大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．等比數(shù)列中，，公比，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列中的所有偶數(shù)項(xiàng)可以組成一個(gè)公比為的等比數(shù)列B．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對，，恒成立C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)和公差都小于0的等差數(shù)列【答案】ABC【分析】由，可判斷A；當(dāng)，時(shí)，，可判斷B；由，公比，可判斷C；與1無法比較大小，可判斷D．【詳解】由可知A對；由，公比，可知，當(dāng)，時(shí)，恒成立，故B對；由，公比，可知數(shù)列是遞增數(shù)列，故C對；與1無法比較大小，數(shù)列是首項(xiàng)無法和0比較，故D錯(cuò)．故選：ABC12．若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)?化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用．則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】AB項(xiàng)直接計(jì)算，CD項(xiàng)找出性質(zhì)，按照性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】按照規(guī)律有，，，，，，，，，故A對C錯(cuò)…故B對，故D錯(cuò)故選：AB【點(diǎn)睛】遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，進(jìn)行求解.三、填空題（每題5分，4題共20分）13．在數(shù)列中，若，，則________．【答案】【分析】根據(jù)題干遞推關(guān)系可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出.【詳解】因?yàn)?，即，所以?shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.14．已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，則___________．【答案】10【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，因?yàn)?，則由等差數(shù)列的性質(zhì)得．故答案為：10．15．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢”問：良馬與駑馬_______日相逢？(用數(shù)字作答)【答案】9【分析】由已知條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等差數(shù)列的前和為2250的問題，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】由題可知，良馬每日行程an構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為103，公差13的等差數(shù)列，駑馬每日行程bn構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為97，公差為﹣0.5的等差數(shù)列，則an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，則數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1125×2＝2250，又∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（103+13n+90）（193+13n），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為（97+97.5﹣0.5n）（194.5n），∴（193+13n）（194.5n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．故答案為：916．是2與8的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭?與8的等比中項(xiàng)，所以，因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，、所以，解得，所以故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時(shí)發(fā)現(xiàn)原來曾經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞，導(dǎo)致一個(gè)條件看不清，具體如下：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知_____，（1）判斷，，的關(guān)系；（2）若，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，證明：.甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)a1的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是，，成等差數(shù)列.如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的，請你通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）可補(bǔ)充公比q的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，計(jì)算可得所求結(jié)論；（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】（1）由題意可得，，，可得，即，，成等差數(shù)列；（2）證明：由，可得，解得，，則，，上面兩式相減可得，化簡可得，由，可得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查證明數(shù)列是等差數(shù)列，考查錯(cuò)位相減求和法，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.18．已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）等比數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換，用通項(xiàng)公式代入列方程組解得；（2）由，判斷為等差數(shù)列，套公式求和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意得：解得所以（2）所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以．【點(diǎn)睛】(1)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換；(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法．19．從條件①，②，③任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答．問題：己知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為