高二物理競賽滿足晶體宏觀對(duì)稱性要求的基本點(diǎn)對(duì)稱操作課件

滿足晶體宏觀對(duì)稱性要求的基本點(diǎn)對(duì)稱操作

滿足晶體宏觀對(duì)稱性要求的基本點(diǎn)對(duì)稱操作A、點(diǎn)對(duì)稱操作在操作（變換）過程中，至少保持一點(diǎn)不動(dòng)的操作（旋轉(zhuǎn)、中心反演、平面反映）。B、滿足晶體宏觀對(duì)稱性要求的基本點(diǎn)對(duì)稱操作（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸

Cn晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)

2

/

n

后能自身重合的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作。對(duì)應(yīng)的固定旋轉(zhuǎn)軸稱為

n

次對(duì)稱軸

Cn

。晶體對(duì)稱性定律：晶體只有

C1,C2

,C3

,C4

,C6軸不存在。5種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，C5

和6次以上的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱n1

n1n2

n2cos

n3

sinn3

n2sin

n3cosn1

n2

n3

整數(shù)

（n2

n3

)

cos

(n2

n3

)sin1 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)取

n1

n2

n3

1

，得到：整數(shù)

1

2cos因?yàn)椋?

cos

1所以：1

1

2cos

3

3

2cos

1cos

1/

2cos

02

cos

13

1

1

2cos

01

2cos

11

2cos

21

2cos

3

1

2cos2cos

1

24CC1C23C6C4623熊夫利符號(hào)

國際符號(hào)圖形符號(hào)不可能使五邊形互相連接充滿整個(gè)平面n

次象轉(zhuǎn)軸

SnS1

C1

S2

C2

iS3

C3S4

C4S6

C6

C3i中心反演鏡面反映非獨(dú)立的對(duì)稱操作獨(dú)立對(duì)稱操作非獨(dú)立的對(duì)稱操作將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)

2

/

n

后再垂直于該軸的平面

進(jìn)行平面反映，使晶體重合，則稱晶體具有

n

次象轉(zhuǎn)軸

Sn

。25634134象轉(zhuǎn)操作示意圖S2

C2

iS3

C31231S42S6

C6個(gè)滿足晶體宏觀對(duì)稱性要求的基本點(diǎn)對(duì)稱操作C1,C2

,C3

,C4

,C6

,i,

,

S4 旋轉(zhuǎn)反演軸將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)

2

/

n

后再經(jīng)過中心反演，使晶體重合，則晶體具有

n 度旋轉(zhuǎn)-反演軸，記為

n 。1

C1i

i

S22

C2i

S13

C3i

S64

C4i

S46

C6i

C3

S3中心反演鏡面反映非獨(dú)立的對(duì)稱操作獨(dú)立對(duì)稱操作非獨(dú)立的對(duì)稱操作立方晶格的48種對(duì)稱操作123圍繞立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)90、180、270度，有三個(gè)立方軸，共9種對(duì)稱操作；圍繞面對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)180度，有六條對(duì)角線，共6種對(duì)稱操作；圍繞立方體對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)120、240度，共4條立方體對(duì)角線，共8種對(duì)稱操作；不動(dòng)操作，1種對(duì)稱操作；（以上共24種對(duì)稱操作）以上轉(zhuǎn)動(dòng)操作加中心反演，使立方體保持不變，共48種對(duì)稱操作；晶體的全部對(duì)稱操作集合構(gòu)成對(duì)稱操作群。對(duì)稱操作群包括了晶體的全部宏觀對(duì)稱性。所有晶體的宏觀對(duì)稱性都可以由8中獨(dú)立對(duì)稱操作的組合來表達(dá)。（1）群的有關(guān)知識(shí)如果滿足以下性質(zhì)，則稱為群。A、集合G中任意兩個(gè)元素的乘積仍為集合內(nèi)的元素，即定義：一組元素的集合，G

a,b,

c,

d,，并在它們之間規(guī)定一種“乘法法則”，a、b

G,則

abG,B、元素間的乘法滿足結(jié)合律：a、b、c

G, 則(ab)c

a(bc),C、集合中存在單位元素

e

，使得集合內(nèi)所有元素滿足：ae

ea

aD、對(duì)集合中任意元素

a，一定存在逆元素

a1

，滿足：aa1

a1a

ea、b

G,ab

ba(ab)c

a(bc)a

1

1

a

aa1

1a

1a ax單位元素為1，正實(shí)數(shù)

x

的逆為

1 。），集合，以連續(xù)操作為乘法運(yùn)算例2：C 群：元素 （轉(zhuǎn)動(dòng)13 3e,

C321 123 3 3C

C

C法則，單位元素為

e

（不動(dòng)操作），

C1

的逆為

C

1

。3 31 23 3 3C

e,C,C

例1：正實(shí)數(shù)群

G

1,

a,b,

c,

：所有正實(shí)數(shù)集合，以普通乘法為運(yùn)算法則，（2）晶體對(duì)稱操作群——點(diǎn)群由8種基本（獨(dú)立）點(diǎn)對(duì)稱操作組合的對(duì)稱操作集合稱為點(diǎn)群。其中不動(dòng)操作作為單位元素，“乘法”為連續(xù)操作，繞某軸旋轉(zhuǎn)

角的逆為繞該稠旋轉(zhuǎn)

度，中心反演的逆是中心反演。（3）晶體的32種宏觀對(duì)稱類型（32種）點(diǎn)群具體分析結(jié)果表明，由于晶格周期性的限制，8個(gè)基本（獨(dú)立）點(diǎn)對(duì)稱操作只能組成32個(gè)不同的點(diǎn)群。所以，所有晶體的宏觀對(duì)稱類型只有32種。按操作分類及相應(yīng)名稱（表1.3-1)：名稱標(biāo)記意義具體類型不動(dòng)操作C1晶體沒有任何對(duì)稱性C1回轉(zhuǎn)群Cn晶體只含有一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸C2

,C3

,C4

,C6雙面群Dn晶體包含一個(gè)n

重旋轉(zhuǎn)軸和n

個(gè)與之垂直的二重軸D2

,

D3

,

D4

,

D6Ci 群CiC1

加上中心反演CiCs

群CsC1

加上鏡面反映CsCnh

群CnhCn群加上與n

重旋轉(zhuǎn)軸垂直的鏡面組成C2h

,C3h

,C4h

,C6hCnv

群CnvCn群加上

n

個(gè)含

n重旋轉(zhuǎn)軸的鏡面組成C2v

,C3v

,C4v

,C6vDnh

群DnhDn群加上與n 重旋轉(zhuǎn)軸垂直的鏡面組成D2h

,

D3h

,

D4h

,

D6hDnd

群DndDn

群加上通過n

重軸及兩根二重軸的角平分線的鏡面反映面組成D2d,

D3dSn

群Sn晶體只包含象轉(zhuǎn)軸S4,

S6名稱標(biāo)記意義具體類型立方點(diǎn)群Oh包含立方對(duì)稱的48個(gè)對(duì)稱操作Oh正四面體點(diǎn)群Td包含正四面體的24個(gè)對(duì)稱操作TdO

群OOh

群中24個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作組成O,

OhT 群TTd

群中12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作TTh

群ThT

群加上中心反演Th從微觀看，晶體格點(diǎn)的排列是無限的，為描述晶體的微觀對(duì)稱性，需要引入平移對(duì)稱操作。A4A3A24321TA1A（1）

n

度螺旋軸C倍距離，格點(diǎn)重合。n2nT繞軸旋轉(zhuǎn) 度，再沿旋轉(zhuǎn)軸的方向平移

的

ll

nT

：旋轉(zhuǎn)軸方向上的晶格周期例:

4度螺旋軸n

4（2）滑移反映面TA2A’2