高二物理競賽Sommerfeld展開式及其應(yīng)用課件

Sommerfeld展開式及其應(yīng)用

Sommerfeld展開式及其應(yīng)用1）問題的提出在定量計算金屬性質(zhì)時，常會遇到以下形式的積分和這里，f(E)為F—D分布函數(shù)，，這種積分不能用精確的解析表達(dá)式積出，因而給定量計算金屬的性質(zhì)帶來困難。所幸的是，由于金屬的費(fèi)米能EF0>>kBT，當(dāng)T>0時，只有在費(fèi)米面附近的一小部分電子被激發(fā)而躍遷到高能態(tài)，而比EF0低幾個kBT的電子仍保持原來的狀態(tài)，因此，上述的積分可以作適當(dāng)?shù)慕铺幚怼?kxky0時，電子在電場的作用下沿電場的反方向作加速運(yùn)動：這表明，在電場作用下，整個電子分布將在k空間沿的反方向移動。所以，費(fèi)米球的球心將偏離原點位置，從而使原來對稱的分布偏向一邊，這樣就有一部分電子對電流的貢獻(xiàn)不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀電流。0kxkykFⅠⅡ右圖中Ⅰ和Ⅱ是關(guān)于ky－kz面對稱的這兩個區(qū)域的電子對電流的貢獻(xiàn)相互抵消，只有在費(fèi)米面附近未被補(bǔ)償部分的電子才對傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)，這部分電子所占的分?jǐn)?shù)為這部分電子對電流的貢獻(xiàn)為

根據(jù)這一模型，對傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目雖然少，但其運(yùn)動速度很快，其結(jié)果與高濃度但低漂移速度的電子對電流的貢獻(xiàn)相同。嚴(yán)格理論計算結(jié)果支持了后一種說法。這主要是由于Pauli不相容原理的結(jié)果。能量比EF低得多的電子，其附近的狀態(tài)仍被其他電子所占據(jù)，沒有空狀態(tài)來接納它，因此，這些電子不能吸收電場的能量而躍遷到較高的能態(tài)，也無法對電導(dǎo)作出貢獻(xiàn)，能被電場激發(fā)的只有在費(fèi)米面附近的一小部分電子。Sommerfeld電導(dǎo)率Sommerfeld展開式設(shè)函數(shù)Q(E)在（-，+）上連續(xù)可微，Q(0)＝0，并且滿足條件，其中α為大于0的常數(shù)。在kBT<<EF的情況下，有其中為F－D分布函數(shù)證明：考察：分部積分(-df/dE)是（E－EF）的偶函數(shù)；

(-df/dE)的值集中在E－EFkBT的一小范圍內(nèi)，當(dāng)

E－EF>幾個kBT時，函數(shù)的值迅速趨于0，具有

類似于函數(shù)的性質(zhì)。

因此，積分的貢獻(xiàn)主要來自E~EF附近的區(qū)域，由于EF>>kBT，所以，我們可以將積分的下限由0改為-∞，而并不會影響積分值。

由于值集中在E=EF附近，因此，可將Q(E)在E=EF附近展開成Taylor級數(shù)。利用Taylor展開式：3）Sommerfeld展開式的應(yīng)用（1）EF的確定

對于金屬，由于TF>>T，所以EF

EF0

。我們可以定性地分析為什么EF會略低于EF0

。當(dāng)T>0時，由于TF>>T，所以電子的分布函數(shù)只在費(fèi)米能附近幾個kBT的范圍內(nèi)有變化，而離費(fèi)米能較遠(yuǎn)處電子的分布于T=0時相同。在有限溫度下，EF0以下能態(tài)的占有幾率減小，而EF0以上能態(tài)的占有幾率增大，可以認(rèn)為，EF0上下電子占有幾率的增大和減小是關(guān)于EF0對稱的。但是，由于電子的能態(tài)密度N(E)隨E的增加而增大，即EF0以上的N(E)大于以下的N(E)

，因此，若EF0上、下電子能態(tài)占有率的增加、減少相同，則EF0以上要多填一些電子。因此，若保持EF

=EF0

，那么系統(tǒng)的電子數(shù)就要增加，但實際上系統(tǒng)的電子數(shù)是一定的，因此，EF必