高二物理競(jìng)賽薛定諤方程課件

尋找波函數(shù)滿足的動(dòng)力學(xué)方程

(x,t

)薛定諤方程一.自由粒子薛定諤方程E

(

x

,

t

)

(

x,t

)

t

i

－xi

(p x

Et

)一維自由粒子波函數(shù)

(

x,

t

)

0

e

微分,得到方程p2

m2xE

＝得一維自由粒子的薛定諤方程(x,

t)

22i

t

(x,

t)

2m

x2

tE

i

xpx

ix

(

x

,t

)

i

p

(

x

,

t

)

x 能量算符動(dòng)量算符

2

(x,

t)x2

U

(x,

t)

(x,

t)2i

t

(x,

t)

2m推廣到勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中的粒子三維情況：222m

i

(r,t)

t

(r,t)

U

(r

,t)

(r,t)

pU2

m2xE

＝薛定諤方程為：222 2x y k

z2

x

y2

z22E

U

(r

)2m2---能量算符---

E

i

tp

i(i

j

)

i

---動(dòng)量算符---拉普拉斯算符22i

t

2m

U(r

)2f

(t)

dt

i

df

(t)

12

(r)

[

2m

(r

)

U

(r

)(r

)]

E

const設(shè)作用在粒子上的力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能

U

(r

)

中不顯含時(shí)間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量：

(r,t)

(r)f(t

)二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。dtdf

(t)

Ef

(t)i

i

Etf(t)

Ce解出：22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2E為能量

i

Et

(r,

t)

(r)e2Et

(r)

2

(r,t)

2

(r)e

i----

定態(tài)薛定諤方程2f

(t)

dt

i

df

(t)

12

(r)

[

2m

(r

)

U

(r

)(r

)]

E

const與時(shí)間無(wú)關(guān)的薛定諤方程---能量本征值方程22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2----

定態(tài)薛定諤方程22mH

U

(r

)2H

E量子力學(xué)哈密頓算符：(r

)

能量算符本征函數(shù)E能量算符本征值經(jīng)典力學(xué)哈密頓函數(shù)：以動(dòng)量和坐標(biāo)表示的能量式子p22mH

U

(r

)1．定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量2．定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化3.自然條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù)22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2

i

Et

(r,t)

(r)e定態(tài)波函數(shù):----

定態(tài)薛定諤方程2Et

(r)

2

(r,t)

2

(r)e

i幾率密度:在量子力學(xué)中，力學(xué)量都是用算符表示的，要求某個(gè)力學(xué)量的量子力學(xué)可能取值，只要列出該力學(xué)量的本征值方程，求解本征值與本征函數(shù)即可。1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予埃爾文·薛定諤（ErwinSchr?dinger）和保羅·阿德里安·莫里斯·狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac），“因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了原子理論的新的生產(chǎn)形式”。埃爾文·薛定諤狄拉克解：由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有

2

d

2dx2由于勢(shì)能

U(x)

中不顯含時(shí)間，i

Et

(x,t)

(x)e 方程的完整解為U

(x) (x)

E(x)一維定態(tài)薛定諤方程為

2 d2(x)

2m dx20xU(x)=0a故用定態(tài)薛定諤方程求解。2

a

b

0y

ay

by

0二階常系數(shù)齊次線性方程的解特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根

r1

r2實(shí)根

r1

r2復(fù)根

r1,2

iy

C1er1

x

C2er2

xy

(C1

C2

x)er1

xy

ex(C1cosx

C

2sinx)1．方程的通解x

0,x

a U

x

0,x

a(1)所以波函數(shù)為零，即

(x)

0粒子不可能跑到阱外去，0

x

a

Ed

22m dx22(2)時(shí)，U

0

，方程為

2 2dx d

2

2mE22mEdx2d

2

K2

0令K

二階齊次微分方程，它的通解為

(x)

Asin

Kx

B

cos

Kx

式中A、B為兩常數(shù)。U

(x)

(x)

E(x)

d (x)

2 22m dx20xU(x)=0a2．常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，x

0(0)

Bcos0

0x

a

(a)

A

sin

Ka

0A

0sinKa

0Ka

n

n

1,2,3(

n

0

？)a

(x)

Asin

n

x當(dāng)n

0

時(shí)，

(x)

0表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。

B

00

(

x)

A

sin

Kx

B

cos

KxK2

2mE2