北師大八年級上勾股定理題型總結(jié)

《勾股定理》典型例題分析一、知識要點(diǎn)：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+ b2=C2。公式的變形：a2=C2- b2，b2=C2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2+b2=C2,那么三角形ABC是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：①已知的條件：某三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方二最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=C2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3,4,5）（5，12，13）（6,8，10）（7,24,25）（8,15,17）（9,12,15）4、最短距離問題：主要運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短。二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓.第1頁一總15頁

2.如圖，以RtAABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系.3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（ ）A.S1-S2=S3 B.S】+S2=S3 C.S2+S3<S] D.S^S3=S]4、四邊形ABCD中，NB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。5、在直線/上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S、S、S、S，則S+S+S+S=1 2 3 4 1 2 3 4第2頁一總15頁

考點(diǎn)二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊.在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為5cm,12cm，則斜邊長為.已知直角三角形的兩邊長為3、4,則另一條邊長的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長分別為6和8，求斜邊上的高.4、把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的（ ）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍5、在Rt^ABC中，NC=90°①若a=5,b=12,則c=;②若a=15,c=25,則b=；③若c=61,b=60,則a=；④若a：b=3：4,c=10則RtAABC的面積是二。6、如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2-1,2n（n>1）,那么它的斜邊長是（ ）A、2n B、n+1 C、n2-1 D、n2+17、在Rt^ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（ ）A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.c2+b2=a2 D.以上都有可能8、已知Rt^ABC中，NC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則Rt^ABC的面積是（）A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm29、已知x、y為正數(shù)，且IX2-4I+（y2-3）2=0,如果以x、y的長為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（ ）A、5BA、5B、25C、7D、15考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰△由C中，A3=AC,題是底邊上的高，若兒兀孫求①AD的長；②AABC的面積.第3頁一總15頁

考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（ ）A.4,5，6B.2，3,4C.11，12，13D.8，15，172、若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（ ）A、2：3：4 B、3：4：6 C、5：12：13 D、4：6：73、下面的三角形中：①4ABC中，NC=NA—NB；②4ABC中，NA：NB：NC=1：2：3；③4ABC中，a：b：c=3：4：5；④4ABC中，三邊長分別為8，15，17.其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（ ）.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4、若三角形的三邊之比為丑：上:14、若三角形的三邊之比為丑：上:12 %；2則這個(gè)三角形一定是（A.等腰三角形A.等腰三角形C.等腰直角三角形B.直角三角形D.不等邊三角形5、已知a，b，c為4ABC三邊，且滿足（a2—b2）（a2+b2—C2）=O，則它的形狀為（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形7、若4ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2+C2+200=12a+16b+20c,試判斷4ABC的形狀。8、AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為此三角形為。例3：求（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25,則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：竊：2,則其最小角為。第4頁一總15頁

考點(diǎn)五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中AB=5,BC=3米，=91T,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為.AA考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎?端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎?2、一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m2、一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m,那么梯子底端將向左滑動(dòng)米863、如圖，一個(gè)長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑2米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離米.cAO第5頁一總15頁4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為.6、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.第6題圖1

第6題圖5^28第6頁一總15頁

7、如圖18-15所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km,又往北走2km,遇到障礙后又往西走3km,再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km□就找到了寶藏，問：登陸點(diǎn)（A處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B處）的直線距離是多少？考點(diǎn)七：折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,BC=8,將4ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則CD等于（)a25c22c7 n5A.—B.——C.— D.-434 32、如圖所示，已知H\BC中，NC=90°,AB的垂直平分線交BC口于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的長.3、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。4、如圖，在長方形ABCD中，DC=5,在DC邊上存在一點(diǎn)E,沿直線AE把4ADE折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F,若4ABF的面積為30,求折疊的4AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9cm,寬AB=3cm,將

其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長是多少？第7頁一總15頁

6、如圖，在長方形ABCD中，將AABC沿AC對折至AAEC位置,CE與AD交于點(diǎn)F。(1)試說明：AF=FC；(2)如果AB=3,BC=4，求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D正好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為.8、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C'的位置上，已知AB=D3,BC=7,重合部分4EBD的面積為.9、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：4：5。第8頁一總15頁

10、如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長為（）A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77A ED11、如圖1-3-11,有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C?若能，請你求出這時(shí)AP的長；若不能，請說明理由.②再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過點(diǎn)B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q,與BC交于點(diǎn)E,能否使CE=2cm?若能，請你求出這時(shí)AP的長；若不能，請你說明理由.第9頁一總15頁

12、如圖所示，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE^DF,若BE=12,CF=5,求線段EF的長。13、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且NQPN=30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？1010第10頁一總15頁考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5,則正方形A,B，C，D的面積的和為2、已知4ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt^ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt^ACD，再以Rt^ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt^ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是考點(diǎn)九、圖形問題1、如圖1,求該考點(diǎn)九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形的面積1111第11頁一總15頁如圖2,已知，在如圖2,已知，在^ABC中,NA=45°,AC=2,,AB二4+1，則邊BC的長為3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5m,寬為1.6m,問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、將一根長24cm的筷子置于地面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為hem,則h的取值范圍。5、如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊，DA口垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15km,BC=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E12第12頁一總15頁12站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處?考點(diǎn)十、航海問題1、一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距 海里2、如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km,那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？13第13頁一總15頁

13考點(diǎn)十一、網(wǎng)格問題，邊長為無理1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中數(shù)的邊數(shù)是（），邊長為無理A.0 B.1 C.2 D.32、如圖