高二物理競賽一維晶格振動課件

n2n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1 n n1a a a a amx0um

一維晶格振動一、一維單原子鏈晶格振動1、一維單原子鏈模型正離子密區(qū)負(fù)離子疏區(qū)正離子疏區(qū)負(fù)離子密區(qū)正離子密區(qū)負(fù)離子疏區(qū)正離子疏區(qū)負(fù)離子密區(qū)正離子密區(qū)負(fù)離子疏區(qū)壓縮膨脹膨脹壓縮膨脹長縱波（波長比原子間距大很多倍）波傳播方向波傳播方向-+-+-+-+--+--晶格振動- +-++-- ++--+++-+-+---+-+-+-+離子圍繞平衡位置上下振動，形成橫波。波傳播方向- + - +- + - + +- + - +例二:橫波：原胞中兩個原子沿同一方向振動，等效于原胞中原子質(zhì)心振動。橫波：原胞中兩個原子相對振動，原子質(zhì)心不動。波傳播方向波傳播方向+-V

電子

VV

電子V晶格振動對于晶體特性的影響例、對于晶體電學(xué)特性的影響：假設(shè)：1、N個同種原子構(gòu)成一維布拉菲格子，晶格常數(shù)a ；2、原子質(zhì)量m

；nx

na03、第

n

個原子的平衡位置（格點位置）

；nx (t)

x0

un n4、一定溫度下，第

n

個原子偏離平衡位置的位移:un

una,t

un5、在

t

時刻，第

n

個原子的瞬時位置:nx(t)

x

x0

u(t)

x0

u

na

un n n n n n一維單原子鏈動力學(xué)方程第

n、m

個原子的瞬時位置：mm

ma

ux (t)

x

x0

u (t)

x0

um m m m m在

t

時刻，兩個原子之間的相互作用勢能：mn

mnnmm nn nm mmnm n

la

umn

x

ux

x

x

)

(x

uu

)0

(x

x0

u0

(x0

u

)0l

1,2

2202 )

x

mn

x

mn

0mnmnmnmnumnxumnx0mn0mn1

2

)

((x )

(x

u假設(shè)溫度不高，原子圍繞格點位置微小振動，兩原子間相對位移遠(yuǎn)小于兩原子間

unm nmn平衡距離，umn

um

x0

la

，則可將兩原子相互作用勢能函數(shù)在兩原

x0﹤﹤

x0mn子平衡間距

x0 作泰勒級數(shù)展開：NUn

(xm

xn

)m(n)得到第n

個原子受到其它原子的總相互作用勢能：Nmnn m(n)0U

0

(x

)

Nmnnu

xUn

U m(n)

2mn

02012

2

N

mn mnn nU

U

m(n)u

2012mnx0mnmnxf

(

)

0（兩個原子處于平衡位置時，相互作用力等于零。）第

n

個原子受到其它原子的總相互作用勢能表達(dá)式：

N

mn

mnnnu

Unfnm(n)u22

u

1

n

m(n)2

u

1

N

(u

u)2

mn m nN

mn

(um

un

)

m(n)第

n

個原子振動而偏離平衡位置時受到其它原子的總作用力：得到第

n

個原子的動力學(xué)方程（牛頓第二定律Nm(n)dt

2d

2umn

(um

un

)

m

n

n

1,2,3,,

N

）：F

maNnmn

mm(n)dt

2d

2u(u

u

)m

n

一維單原子鏈動力學(xué)方程的近似處理簡諧近似假設(shè)溫度不高，原子圍繞格點平衡位置彈性振動，位移與彈性力成正比關(guān)系:f

kx則第

n個原子的動力學(xué)方程簡化為：n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1 n n1 n2a a a a amx0umd

2un

2un

)un)

(un1 un1(un1 (un1m

un

)

dt

2假定

n1

n1

，動力學(xué)方程簡化為：最近鄰近似只考慮第

n

個原子最近鄰兩個原子的相互作用勢能及作用力，uNn

un由周期性邊界條件，一維原子鏈中所有原子的動力學(xué)方程都表示為：nd

2udt

2m

un1

2un

)n1

(un1

un

)

(un1

un

)

(u周期性邊界條件近似設(shè)想將長度為L

Na

的一維原子鏈圍成環(huán)形，則原子鏈端點原子的運動狀態(tài)與鏈內(nèi)原子的運動狀態(tài)完全一樣，并且有邊界條件：n

1,2,3,N

,代表聯(lián)立的

N

個線性齊次方程組連續(xù)介質(zhì)近似下的一維單原子鏈動力學(xué)方程的解分析：一定溫度下，原子圍繞格點位置諧振。由于原子之間存在相互作用力，每個原子的振動必