第九章預測及決策

第九章預測與決策§9-1預測與決策的一般概念§9-2常用預測方法§9-3常用決策方法引例一：某大學食堂師傅們開學時面臨的難題

暑假剛過，某大學按照預定的時間開學了?？擅磕甑倪@個時候，是學校食堂的師傅們最犯難的時候。因為他們老是搞不明白開學這一天究竟要準備多少飯菜。剛開學的這一兩天，就餐人員的數(shù)目不像正常上課期間那樣穩(wěn)定，如果準備的量過多，則剩余部分將被浪費；如果不足，則不能保證到校師生的伙食供應。由于食堂師傅和管理者不能找到有效的方法判斷出最可能的就餐人數(shù)，并依此組織相應的資源作充足且經(jīng)濟合理的準備，于是食堂的采購環(huán)節(jié)陷入了兩難境地：要么從后勤保證方面影響了學校的正常開學，這樣不僅會受到學校有關(guān)部門的嚴厲批評，要么自己遭受一定的損失，不能實現(xiàn)期望的利潤目標。引例二：穿越人生的麥田

柏拉圖問老師蘇格拉底什么是愛情？老師就讓他到麥田里去，摘一棵最大最金黃的麥穗，只能摘一次，并且只可向前走，不能回頭。柏拉圖于是按照老師說的去做了。結(jié)果他兩手空空地走出了田地。老師問他為什么摘不到？他說：因為只能摘一次，又不能走回頭路，即使見到最大最金黃的，因為不知前面是否有更好的，所以沒有摘；走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的好，原來最大最金黃的麥穗早已錯過了；于是我什么也沒摘。老師說：這就是愛情。

之后又有一天，柏拉圖問他的老師什么是婚姻，他的老師就叫他到樹林里，砍下一棵最大最茂盛、最適合放在家作圣誕樹的樹。同樣只能砍一次，只可以向前走，不能回頭。柏拉圖照著老師說的話去做。今次，他帶了一棵普普通通，不是很茂盛，也不是太差的樹回來。老師問他，怎么帶這棵普普通通的樹回來？他說：“有了上一次經(jīng)驗，當我走到大半路程還兩手空空時，看到這棵樹也不太差，便砍下來，免得錯過了后，又什么也帶不出來?！崩蠋熣f：“這就是婚姻！”§9-1預測與決策的一般概念

一、預測概述1、預測：根據(jù)事物過去和現(xiàn)在的有關(guān)資料，通過一定的科學方法，對事物的發(fā)展變化和它的未來趨勢做出分析和判斷。我國兩千多年前的《禮記·中庸》中就有“凡事預則立，不預則廢”。1530年哥白尼預測地球繞太陽運轉(zhuǎn)的天體運動規(guī)律1869年門捷列夫發(fā)現(xiàn)元素周期表等都是預測的光輝范例.2、預測原理

預測的基礎(chǔ)是事物發(fā)展的內(nèi)部客觀規(guī)律，它具有慣性與滯后(農(nóng)民種地）的特點。因此各種預測方法都建立在預測對象已有的歷史資料基礎(chǔ)上，認為歷史具有連續(xù)性，未來有規(guī)律可循。預測的實質(zhì)在于根據(jù)系統(tǒng)的過去和現(xiàn)在，掌握事物內(nèi)部隱蔽的規(guī)律，從而推斷未來。預測要以事物發(fā)展的客觀規(guī)律為依據(jù)，又要以事物發(fā)展的結(jié)局來檢驗。3、預測分類

依據(jù)預測范圍：宏觀預測和微觀預測依據(jù)預測內(nèi)容：定性預測和定量預測依據(jù)預測領(lǐng)域:社會預測、經(jīng)濟預測、科學預測、技術(shù)預測、軍事預測等依據(jù)預測時間：近期預測、短期預測、中期預測、長期預測4、預測的目的和意義：為科學決策提供必要的信息，降低決策失誤。二、決策概述

1、決策：通俗地講,決策就是“做出決定”。嚴謹?shù)卣f是為實現(xiàn)某一特定目標，借助一定的科學手段和方法，從兩個以上的可行方案中選擇一個最優(yōu)或滿意的方案，并組織實施的全部過程。2、經(jīng)驗決策：憑借個人的閱歷、知識和智慧進行的決定。（農(nóng)民種地，煮餃子）3、經(jīng)驗決策上升到科學決策：嚴格實行科學的決策程序；（發(fā)現(xiàn)問題-確定目標-擬定方案-分析評估-方案選擇-實驗實證-普遍實施）依靠專家運用科學的決策技術(shù)；領(lǐng)導者用科學的思維方法作出決斷。4、決策的分類按思維方式分：邏輯型與推測型按科學性分：經(jīng)驗決策與科學決策按內(nèi)容分：定性決策與定量決策按確定性分：確定型決策、不確定型決策、風險型決策按效果分：最優(yōu)決策與滿意決策5、決策的原則

決策時必須遵循的指導原理與行為準則，它是科學決策思想的反應，也是決策經(jīng)驗的概括。

方向性是決策的根本，信息性是決策的基礎(chǔ)，預測性是決策的前提，科學性是決策的保證，民主性是決策的保障，系統(tǒng)性是決策的全局，行動性是決策的歸宿?！?-2常用預測方法一、定性預測法1、專家預測法：依靠專家，對預測對象的未來的發(fā)展趨勢與狀況作出判斷。特點：最大限度的發(fā)揮專家的個人才智，充分發(fā)揮個人的創(chuàng)造能力。由于受專家知識的深度和廣度以及興趣、愛好等的影響，預測帶有片面性。2、頭腦風暴法

10-15人的專家組，面對面的信息交流，引起思維共振，產(chǎn)生組合效應。特點：專家有限，代表可能不全面；容易受到權(quán)威的影響，隨大流。時間不宜過長，40—60分鐘為宜。

3、德爾菲法（聰明智慧的含意）一定數(shù)量的專家，背對背的信息交流，各抒已見，引起思維共振，產(chǎn)生組合效應。特點：預測精度較高，但預測花費的時間較長，費用較高。4、主觀概率預測法對于缺乏大量重復生產(chǎn)實踐，又不很了解客觀機理時，依據(jù)個人主觀信念對事物發(fā)生的可能性做出分析。主觀概率預測法就是請各專家對所述事件給出主觀概率，經(jīng)過綜合處理，給出事件發(fā)生的預測概率平均值。

二、時間序列預測法將收集到的預測對象過去、現(xiàn)在的數(shù)據(jù)資料，整理后按時間順序排列，考慮到季節(jié)、隨機等因素的影響，來推測事物的未來發(fā)展。（一）平均預測法1、算術(shù)平均法設(shè)X1,X2,……,Xn為變量n個時期的樣本值，求出它們的算術(shù)平均值作為預測值。

預測的誤差用標準差Sx來反映：當樣本服從正態(tài)分布N（m，s2）時有：P﹛︳X-m︳﹤s﹜≈0.683P﹛︳X-m︳﹤2s﹜≈0.954P﹛︳X-m︳﹤3s﹜≈0.997

?=--=n1i2ix)xx(*1n1s例1：某商店在過去24個月的商品銷售額為237，255，244，216，246，221，271，219，244，288，269，269，240，267，289，266，225，238，272，236，279，227，243，（百元），試預測今年的月銷售額。

解：X（平均）=1/24（237+255+‥+243）=250

SX=22

X（平均）-2Sx=250-2×22=206

X（平均）+2Sx=250+2×22=294

所以預計今年的月平均銷售額250，月銷售額介于206與294間的概率為95.4%?=--=n1i2ix)xx(*1241s算術(shù)平均法只能說明一般情況，看不出時間序列變動的高點和低點。2、移動平均法使用此方法要合理選擇步長。移動平均法適用于近期預測和短期預測。例２：某商店在過去12月銷售情況見下表中第二列。試預測今后兩個月的銷售額。當n較大時，靈敏度差，有較顯著的滯后現(xiàn)象；當n較小時，能靈敏反映變化趨勢，但消除隨機變動與周期變動性較差。一般采用不同的n值，對預測對象進行檢驗，從中選滿意者。月份Xt(銷售額:萬元)三項移動平均五項移動平均

123456789101112505248556065656870728590

---------50.0051.6754.3360.0063.3366.0067.6770.0075.67---------------53.0056.0058.6062.6065.6068.0072.00131482.3385.7877.0078.803、加權(quán)移動平均法

用不同的權(quán)重區(qū)分各期資料影響的程度。例三:某市房地產(chǎn)管理局對該市2012年至2003年與地產(chǎn)市場有關(guān)的數(shù)據(jù)建立了數(shù)據(jù)庫,下表為該數(shù)據(jù)的一部分,就該表提供的數(shù)據(jù)用加權(quán)移動平均法(n=4,權(quán)重自近至遠為4,3,2,1)對2013年該市房地產(chǎn)交易額做出預測.年份地產(chǎn)銷售額y(億元)當?shù)匦浇鹂傤~(百億元)

20031060200412652005136820061370200715722008187420091977201019792011248020122683求和解:Y2013=(4×Y2012+3×Y2011+2×Y2010+1×Y2009)÷(4+3+2+1)=(26×4+24×3+19×2+19×1)÷10=23.3(億元)其中權(quán)重α1，α2，……,αn為正數(shù)且滿足(二)指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法對短期預測有較高的準確性,在市場預測中扮演重要角色,是常用的一種預測方法.計算公式:Xt+1(估計值)=αXt(實際值)+(1-α)Xt(估計值),其中α為平滑指數(shù),滿足條件0≤

α

≤1.當時間序列波動較大時，可取0.3≤α≤0.5Xt+1(估計值)=αXt(實際值)+(1-α)Xt(估計值)

=αXt(實際值)+Xt(估計值)-αXt(估計值)=Xt(估計值)+α〔Xt(實際值)-Xt(估計值)〕

例4:某地2011年至2004年的棉花產(chǎn)量資料如下表的第二列,試用指數(shù)平滑法預測2011年的產(chǎn)量.解:為確定α取何值為宜,可計算實際值與估計值離差平方和的均值為

TST2=1/T∑〔Xt(實際值)-Xt(估計值)〕2t=1取ST2小者對應的α值為最佳．t年份Xt

α=0.2

α=0.3Xt(估)〔Xt(實)-Xt(估)〕2Xt(估)〔Xt(實)-Xt(估)〕2200420052006200720082009201020114.34.965.586.26.87.317.674.34.34.4324.6624.975.3365.7316.11900.43561.31792.36543.34893.86973.75974.34.34.4984.8235.2365.7056.1876.63200.43561.17071.89722.44672.57582.2006

∑1/T∑ST15.09722.15671.468610.72661.53241.2379(三)季節(jié)系數(shù)法實際生活中，許多產(chǎn)品的產(chǎn)量、銷量等隨著季節(jié)發(fā)生變化，反映在時間序列資料上，統(tǒng)計數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的、有規(guī)律的季節(jié)變動。季節(jié)系數(shù)法就是根據(jù)這一規(guī)律進行預測的方法。其預測步驟為：1、收集歷年各月（或各季度）的時間序列資料（三年以上）2、求出月或季的算術(shù)平均值；

3、求出同月（或同季）的算術(shù)平均值；4、用3求出的同月算術(shù)平均值除以2求出的總平均值，得出相應月（或季）的季節(jié)系數(shù)。5、以消除了季節(jié)影響的數(shù)據(jù)資料與預測月份（或季）的季節(jié)系數(shù)相乘，求得該月份（或季度）的預測值。通常，以表格形式進行計算，舉例如下：例5：某商店按照季度統(tǒng)計的從2011年至2009年的12個季度的銷售資料如下表：季度銷售額（萬元）年份1234總計20095814184520106101622542011812192564總計19304965163季平均6.33331016.33321.66713.583季節(jié)系數(shù)0.4660.7361.2021.5954總的季度平均值=163÷12=13.5833第一季度的平均值=19÷3=6.3333第一季度的季節(jié)系數(shù)=6.3333÷13.5833=0.4633其它類推。若已知2009年第二季度的銷售額為17萬元,則可利用它預測第三、第四季度銷售額預測值為：第三季度銷售額=17÷0.7362×1.2025=27.7676萬元第四季度銷售額=17÷0.7362×1.5951=36.8333萬元如果2011年的總銷售額預測值為100萬元時,則各季度銷售額預測值為:一季度銷售額=100÷4×0.4663=11.6575(萬元)二季度銷售額=100÷4×0.7362=18.4050(萬元)三季度銷售額=100÷4×1.2025=30.0625(萬元)四季度銷售額=100÷4×1.5951=39.8775(萬元)三、回歸分析法事物間的關(guān)系有兩類：其一是存在確定性關(guān)系，可用函數(shù)微分方程等來表示，由此能精確算出結(jié)果；其二是存在非確定性關(guān)系，須借助數(shù)理統(tǒng)計方法尋求其統(tǒng)計規(guī)律性。回歸分析是研究隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的一種重要方法。可判斷因素之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)的密切程度，并確定出相應的數(shù)學估計式，用于預測。因果關(guān)系回歸分析，首先要確定有哪些可能的相關(guān)因素，然后收集這些相關(guān)因素的統(tǒng)計資料，并作出足夠數(shù)量數(shù)據(jù)的散點圖來分析預測變量和相關(guān)因素之間的關(guān)系，確定采取線性模型還是非線性模型，用最小二乘法回歸方程系數(shù)。因果關(guān)系一元線性回歸方程為：Y=a+bx，Ｙ為預測變量，Ｘ為影響Ｙ變化的因素，a、b為方程系數(shù)，b=〔∑xy-1/n∑x∑y〕/〔∑(x2)-1/n(∑x)2〕a=1/n∑y-b/n∑x例6：某電視機廠2008—2013年銷售量依次為0.89、4.40、8.45、10.89、13.53、16.00(萬臺)，試作回歸分析并預測2014年和2015年銷售量。解：（1）作散點圖，如下圖所示。由圖可見，數(shù)據(jù)點聯(lián)線近似于一條直線設(shè)yi=a+bxi(i=1,2,3,…,6)(2)回歸方程的計算n=6,∑yi=54.16,∑xi=21,∑xi2=91,∑xiyi=242.23b=〔∑xy-1/n∑x∑y〕/〔∑(x2)-1/n(∑x)2〕=3.0097a=1/n∑y-b/n∑x=-1.5039代入x7=7，x8=8，可得2014年、2015年銷售量預測值分別為19.57萬臺和22.59萬臺.§9-3常用決策方法一般將具有下列四個特征的問題稱為決策問題：⑴有明確的目標;⑵每一問題都有一種或幾種自然狀態(tài)；⑶每一問題都有幾種行動方案；⑷每一種行動方案，在各種自然狀態(tài)下的效應值都可以計算或預測出來。一、確定型決策方法決策問題只有一種自然狀態(tài)，在確定的自然狀態(tài)下，從眾多方案中選擇最優(yōu)方案以獲得最好的結(jié)果。

例1：某工廠在計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時A、B兩種原材料的消耗為甲乙資源量設(shè)備128材料A4016材料B0412生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品獲利2元，生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品獲利3元，問應如何安排計劃工廠獲利最大？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x1、x2,則目標函數(shù)為Zmax=2x1+3x2

約束條件：4x1≤164x2≤12

x1+2x2≤8由于產(chǎn)量不能為負，又有x1≥0，x2≥0解決這個問題有很多種方法，如計算機輔助運算等，以下介紹一種最簡單直觀的方法：圖解法。該法只能適用有兩個變量的問題決策。以x1、x2為坐標軸的直角坐標系中，非負條件x1≥0，x2≥0代表下圖的第一象限，同樣，其他每一個約束條件都代表一個半平面，所有約束條件的半平面的交集構(gòu)成的區(qū)域為0Q1Q2Q3Q4。.．這個區(qū)域中每一個點包括邊界點都是這個線性規(guī)劃問題的一個可行解，故這個區(qū)域也可稱為可行域。目標函數(shù)Z=2x1+3x2在坐標平面上可表示為以Z為參數(shù)的一簇平行線x2=-2/3x1+1/3Z。當Z值由小變大時，直線x2=-2/3x1+1/3Z沿其法線方向（即垂直方向）向右上方移動。當移到Q2點時，在可行域內(nèi)Z的取值最大，這就得到了本案例問題的最優(yōu)解。Q2的坐標為（4，2），于是可算出Z值為14。這說明該廠應生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件，可得利潤最大為14元。X1X2X1+2x2≤8Q1(4,0)Q2(4,2)Q3(2,3)Q4(0,3)0二、風險型決策

問題的自然狀態(tài)有多種情況，并且各自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率是已知的或是可以估計的。方案的最優(yōu)選擇沒有確定性，需要冒一定的風險。（一）最大可能性法（二）期望值法（三）決策樹法（一）最大可能性法最大可能性法是按照可能性最大的那種自然狀態(tài)來選取最優(yōu)策略，即挑選一個概率最大的自然狀態(tài)進行決策，其他狀態(tài)不予考慮。實際上，它是將一個風險型決策問題歸結(jié)為一個相應的確定型問題。例2：某企業(yè)根據(jù)市場情況采取不同推銷策略，其決策損益如下表所示：最大可能性法狀態(tài)收益方案S1（行情好）S2（行情一般）S3（行情差）P（S1）=0.3P（S2）=0.5P（S3）=0.2d1942d2573d3456由于P（S2）=0.5最大,依據(jù)最大可能性法,只考慮在狀態(tài)S2(行情一般)下的方案選擇。顯然，此時行動方案d2是決策的最佳選擇，企業(yè)收益預計為7萬元。需要指出，只有當自然狀態(tài)集合S中的某個狀態(tài)Sk出現(xiàn)的概率特別大，且各狀態(tài)下的效應值差別不很大時，應用最大可能性法的效果才比較好。否則，可能導致嚴重失誤。（二）期望值法期望值法是把每個行動方案的期望值求出來，然后根據(jù)期望值的大小確定最優(yōu)方案。對于例２，有E(d1)＝９×0.3+4×0.5+2×0.2=5.1E(d2)=5×0.3+7×0.5+3×0.2=5.6E(d3)=4×0.3+5×0.5+6×0.2=4.9比較結(jié)果,選d2作為決策最優(yōu)方案,此時平均來講,企業(yè)可獲得收益5.6萬元.決策樹法－－風險型決策方法決策樹技術(shù)的含義是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。決策樹技術(shù)的優(yōu)點便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；便于集體討論和決策；便于處理復雜問題的決策。決策樹的一般圖形例：某項目工程,施工管理人員要決定下個月是否開工。若開工后遇天氣不下雨，則可按期完工，獲利潤5萬元；遇天氣下雨，則要造成1萬元的損失；假如不開工，不論下雨還是不下雨都要付窩工費1000元。據(jù)氣象預測下月天氣不下雨的概率為0.2，下雨概率為0.8。施工管理人員如何作出決策？2概率分枝可能結(jié)果點3自然狀態(tài)點畫圖計算-1000開工不開工下雨P(guān)1=0.8－10000123不下雨P(guān)2＝0.22000-1000P1＝0.8P2＝0.250000-1000淘汰方案分枝決策點1某沿河岸臺地鋪設(shè)地下管道。工程施工期內(nèi)(1年)有可能遭到洪水的襲擊。據(jù)氣象預測，施工期內(nèi)不出現(xiàn)洪水或出現(xiàn)洪水不超過警戒水位的可能性為60%，出現(xiàn)超過警戒水位的洪水的可能性為40%。施工部門采取的相應措施：不超過警戒水位時只需進行洪水期間邊坡維護，工地可正常施工，工程費約10000元；出現(xiàn)超警戒水位時為維護正常施工，普遍加高堤岸，工程費約70000元。工地面臨兩個選擇：僅做邊坡維護，但若出現(xiàn)超警戒水位的洪水，工地要損失10萬元；普遍加高堤岸，即使出現(xiàn)警戒水位也萬無一失。試問應如何決策，并對洪水出現(xiàn)的概率估計誤差的影響作出分析。

解：護坡-1萬元加高-7萬元I12不超P1=0.6超P2＝0.4不超P1＝0.6超P2＝0.40-10萬元00-5-7節(jié)點①E1＝0×0.6＋(－10×0.4)－1=－5萬元節(jié)點②E2＝0×0.6＋0×0.4－7＝－7萬元E1>E2，選護坡方案為優(yōu)。設(shè)洪水超警戒水位的轉(zhuǎn)折概率為Px，則P1=(1－Px)。由題意知①,②兩節(jié)點損失值相等時，有：0×(1－Px)＋(－10×Px)－1＝0×(1－Px)＋0×Px－7Px＝0.6P1＝1－0.6＝0.4即當P2>0.6時，應選擇堤岸加高的方案；當P20.6時，則選擇護坡方案為佳。多級決策－有兩個或以上決策點

前一級決策是后一級問題進行決策的前提條件。例：某地區(qū)為滿足水泥產(chǎn)品的市場需求擬擴大生產(chǎn)能力規(guī)劃建水泥廠，提出了三個可行方案：1.新建大廠，投資900萬元；據(jù)估計銷路好時每年獲利350萬元，銷路差時虧損100萬元，經(jīng)營限期10年。2.新建小廠，投資350萬元；銷路好時每年可獲利110萬元，銷路差時仍可以獲利30萬元，經(jīng)營限期10年。3.先建小廠，三年后銷路好時再擴建，追加投資550萬元，經(jīng)營限期7年，每年可獲利400萬元。據(jù)市場銷售形勢預測，10年內(nèi)產(chǎn)品銷路好的概率為0.7，銷路差的概率為0.3。按上述情況用靜態(tài)方法進行決策樹分析,選擇最優(yōu)方案。110解：Ⅱ34擴建不擴建好P1=0.7差P2=0.3P＝1.0P＝1.0后7年共10年40030-550I12建大廠建小廠-900-35012501546350-100好P1=0.7差P2=0.32250770前3年節(jié)點①:(350×0.7－100×0.3)×10－900＝1250萬元節(jié)點③:400×1.0×7－550＝2250萬元節(jié)點④：110×1.0×7＝770萬元決策點Ⅱ：比較擴建與不擴建∵2250>770，應選3年后擴建的方案。節(jié)點②:

2250×0.7+110×0.7×3+30×0.3×10－350=1546萬元決策點I：比較建大廠建小廠∵1546>1250∴應選先建小廠。問題:若已知ic＝5％，試用動態(tài)分析法計算此題。決策樹分析的一般步驟是:（1）列出要考慮的各種風險因素，如投資、經(jīng)營成本、銷售價格等；（2）設(shè)想各種風險因素可能發(fā)生的狀態(tài)，即確定其數(shù)值發(fā)生變化個數(shù)；（3）分別確定各種狀態(tài)可能出現(xiàn)的概率，并使可能發(fā)生狀態(tài)概率之和等于1；（4）分別求出各種風險因素發(fā)生變化時，方案凈現(xiàn)金流量各狀態(tài)發(fā)生的概率和相應狀態(tài)下的凈現(xiàn)值NPV(j)；（5）求方案凈現(xiàn)值的期望值（均值）E（NPV）（6）求出方案凈現(xiàn)值非負的累計概率；（7）對概率分析結(jié)果作說明。；決策樹分析在建筑經(jīng)濟中的應用【例】：某商品住宅小區(qū)開發(fā)項目現(xiàn)金流量的估計值如下表1所示，根據(jù)經(jīng)驗推斷，銷售收入和開發(fā)成本為離散型隨機變量，其值在估計值的基礎(chǔ)上可能發(fā)生的變化及其概率見下表2。試確定該項目凈現(xiàn)值大于等于零的概率?；鶞适找媛蔵c=12%年份123銷售收入開發(fā)成本其他稅費85758885671434873464880069001196凈現(xiàn)金流量-508718069350變幅概率因素－20%0+20%銷售收入開發(fā)成本0.20.10.60.30.20.6解：（1）項目凈現(xiàn)金流量未來可能發(fā)生的9種狀態(tài)如下圖。（2）分別計算項目凈現(xiàn)金流量各種狀態(tài)的概率

Pj（j=1，2，…，9）：P1=0.2×0.6=0.12P2=0.2×0.3=0.06P3=0.2×0.1=0.02余類推。結(jié)果見下圖。估算狀態(tài)0.20.60.60.30.10.60.30.10.60.30.10.2銷售收入狀態(tài)概率開發(fā)成本狀態(tài)概率可能狀態(tài)（j）狀態(tài)概率（Pj）NPV（j）