第二章無限期限與世代交疊模型

第二章:無限期限與時(shí)代交疊模型◆拉姆塞-卡斯-庫普曼模型◆Diamond（代蒙德）模型拉姆塞-卡斯-庫普曼模型2.1假設(shè)2.2家庭與廠商的行為2.3經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)分析2.4福利2.5平衡增長(zhǎng)路徑2.6貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)2.7政府購買的效果Diamond模型2.8假定2.9家計(jì)行為2.10經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)2.11動(dòng)態(tài)無效的可能性2.12Diamond模型中的政府家庭存在大量且同質(zhì)的家庭，家庭的規(guī)模以n的速度增長(zhǎng)，家庭的每一個(gè)成員在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上供給一單位的勞動(dòng)。家庭擁有初始資本量為K(0)/H初始資本量。不存在折舊，家庭將其收入在消費(fèi)和儲(chǔ)蓄間進(jìn)行分配。以便其最大化其終身效用。家庭的效用函數(shù)為：瞬時(shí)效用函數(shù)采取如下形式：這個(gè)函數(shù)是著名的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡不變函數(shù)。（2.1）（2.2）2.1假設(shè)拉卡庫模型的假設(shè)廠商：

◆廠商的數(shù)量眾多，生產(chǎn)函數(shù)為Y=F(K,AL),其特征與第一章的假設(shè)相同。

◆

廠商所處的要素市場(chǎng)和產(chǎn)品市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的。

◆廠商將A當(dāng)做是固定的，A以g的速率外生的增長(zhǎng)。

的作用決定在不同期間的意愿，其越小，隨著消費(fèi)的上升，邊際效用的下降越慢，家庭越容許其消費(fèi)隨時(shí)間而變動(dòng)。如果接近于零，例如效用關(guān)于C幾乎是線性的，并因此家庭更愿意接受其消費(fèi)的更大的變動(dòng)，以便充分利用其貼現(xiàn)率與從儲(chǔ)蓄中獲得的報(bào)酬率中的微小差額。特別地，在任何時(shí)間點(diǎn)上消費(fèi)替代性等于。瞬時(shí)效用函數(shù)的三個(gè)特征

◆如果<1，關(guān)于C是遞增的；>1，則是遞減的。給除以可以確保無論取什么值，消費(fèi)的邊際效用是正的。◆在的特殊情形中，瞬時(shí)效用函數(shù)可以簡(jiǎn)化為lnc?！舸_保終身效用不會(huì)發(fā)散，否則，家庭可以獲得無限的終身效用，并且其最大化問題不會(huì)有良好的定義。2.2家庭與廠商的行為廠商：由于產(chǎn)品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)都是競(jìng)爭(zhēng)性的，因而廠商的利潤(rùn)為零真實(shí)利率是真實(shí)工資是每單位有效勞動(dòng)的工資是（2.3）（2.4）（2.5）家庭的預(yù)算約束家庭的預(yù)算約束是其終身消費(fèi)的貼現(xiàn)值不能超過其初始值的財(cái)富與其終身勞動(dòng)收入的先值之和我們可以寫出從t=0倒t=的積分形式的一種極限。則（2.7）等價(jià)于：（2.7）（2.8）（2.10）表明，在極限時(shí)形式中家庭所持有資產(chǎn)的現(xiàn)值不能是負(fù)的。這就是著名的非蓬齊條件。在s時(shí)刻，家庭和資本持有量為：（2.10）家庭最大化問題代表性家庭想在其預(yù)算約束限定下最大化其終身效用。為做到這一點(diǎn)，我們需要用每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)與勞動(dòng)去表示目標(biāo)函數(shù)與預(yù)算約束將c(t)設(shè)為每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)。因此每工人的消費(fèi)C(t),等于A(t)c(t).家庭的瞬時(shí)效用函數(shù)等于：（2.11）把（2.11）以及事實(shí)帶入目標(biāo)函數(shù)（2.1）-（2.2）中，得到：（2.12）現(xiàn)在考慮預(yù)算約束(2.6)。在t時(shí)刻，家庭的總消費(fèi)等于每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)乘以家庭的有效勞動(dòng)量。同理，在t時(shí)刻家庭的總勞動(dòng)收入等于每單位有效勞動(dòng)的工資乘以家庭的有效勞動(dòng)量。因此可以把（2.6）改寫成：（2.13）

A(t)L(t)等于。把這個(gè)事實(shí)帶入(2.13)，并給兩邊除以A(0)L(0)/H。從而得到：（2.14）最后，由于與成比例。我們可以把預(yù)算約束（2.10）的非蓬齊條件表達(dá)式改寫為：（2.15）家庭行為家庭的問題便是在預(yù)算約束（2.14）的限制下，選擇c(t)的路徑去最大化終身效用(2.12)。利用目標(biāo)函數(shù)(2.12)與預(yù)算約束（2.14）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：對(duì)于每一個(gè)單個(gè)的C(t)，一階條件是（2.16）（2.17）為明白（2.17）對(duì)消費(fèi)行為的含義，首先給上式兩邊取對(duì)數(shù)（2.18）兩邊求導(dǎo)可得：由于一個(gè)變量的對(duì)數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于其增長(zhǎng)率，則有（2.20）由于C(t)等于c(t)A(t)，C的增長(zhǎng)率等于c的增長(zhǎng)率加上A的增長(zhǎng)率。（2.20）隱含著每個(gè)工人的消費(fèi)以的速率增長(zhǎng)。因此闡明：如果實(shí)際報(bào)酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費(fèi)的速率，每個(gè)工人的消費(fèi)將上升。越小，則實(shí)際效用隨著消費(fèi)的變化就越少，從而，消費(fèi)對(duì)貼現(xiàn)率與實(shí)際利率之間的差異做出反應(yīng)，就越大。直覺上歐拉方程描述了在給定c(0)時(shí)，c必須如何隨時(shí)間變化：如果c不按(2.20)演化。那么家庭會(huì)在不改變終身消費(fèi)的現(xiàn)值的條件下，用提高終身生效用的方式重新安排其消費(fèi)。c(0)的選擇因此按如下決定，即在所形成的路徑上終身消費(fèi)的現(xiàn)值等于其初始財(cái)富與未來收入的現(xiàn)值之和。當(dāng)c(0）太低時(shí)，其消費(fèi)支出不會(huì)用盡其財(cái)富。當(dāng)c(0)太高時(shí)，消費(fèi)支出大于其可用盡的終身財(cái)富。因此這種路徑是不可行的。經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)C的動(dòng)態(tài)學(xué)由于則（2.20）可以改寫成：(2.23)C圖2.1c的動(dòng)態(tài)學(xué)K的動(dòng)態(tài)學(xué)假設(shè)不存在折舊，因此則有：對(duì)于既定的k,意味著的c的水平是由給出的。當(dāng)消費(fèi)等于實(shí)際產(chǎn)出與持平投資線的差額時(shí)，等于零。C的這個(gè)值關(guān)于k是遞增的直至。接著c關(guān)于k會(huì)下降。當(dāng)c超過可獲得的水平時(shí)，k則下降；當(dāng)c小于該水平時(shí)，k上升。對(duì)于充分大的k持平投資超過總產(chǎn)出故在此條件下，對(duì)于一切c的正值，是負(fù)的。這些信息總結(jié)在圖2.2中。（2.24）圖（2.2）k的動(dòng)態(tài)學(xué)kCck圖2.3c與k的動(dòng)態(tài)學(xué)說明：◆圖2.3把圖2.1和2.2中的信息結(jié)合在一起?！魣D2.3是畫出的水平小于黃金律k的水平。需要注意的是：小于k的黃金律水平。因?yàn)槭怯卸x的。而黃金律水平的k是由定義的。由于是負(fù)的。當(dāng)且僅當(dāng)這等價(jià)于因此處在曲線的頂點(diǎn)的左邊。C的初始值◆K的初始值是給定的，c的初始值必須被決定。圖2.3表明在給定c和k的初始值時(shí)，為滿足家庭的跨期最優(yōu)化條件。以及連接k的變化與產(chǎn)出和消費(fèi)的方程。C與k如何地必須隨時(shí)間而演化；k的初始值是給定的，但是C的初始值必須被決定?！暨@個(gè)問題在圖2.4中被強(qiáng)調(diào)。當(dāng)k被給定時(shí)，假定c的各種可能值，最后得到c的唯一取值。其中ABC三點(diǎn)的初始消費(fèi)之較高。最終經(jīng)濟(jì)處于消費(fèi)永久上升，而資本永久下降的路徑。而D點(diǎn)表明初始消費(fèi)很低的，最終經(jīng)濟(jì)處在消費(fèi)日益下降，而資本日益上升的路徑上。但如果經(jīng)濟(jì)正好處在臨界水平上它會(huì)最終收斂于c和k均不變的點(diǎn)上。值得說明的是：為排除由低于F的點(diǎn)開始的路徑，可以利用資本持有量的極限行為表示的預(yù)算約束DCBAFkc如果經(jīng)濟(jì)由與D點(diǎn)類似的點(diǎn)開始，最終k會(huì)超過黃金資本存量水平。過了這個(gè)時(shí)刻，實(shí)際利率因而日益上升。由于k也是發(fā)散的。因此發(fā)散。因此趨于無窮大。即等價(jià)于較之家庭的終身消費(fèi)的貼現(xiàn)值，其終身收入的貼現(xiàn)值是無窮大大。最后，如果經(jīng)濟(jì)從F開始，k收斂于。因此r收斂于。最終地，正在以的速率下降.由點(diǎn)F開始的路徑也是唯一可行的路徑。

鞍點(diǎn)路徑◆對(duì)于k的任何為正的初始水平，存在一個(gè)一個(gè)惟一的c的初始水平。它與家庭的跨期最優(yōu)化，資本存量的動(dòng)態(tài)學(xué)，家庭預(yù)算約束以及k不為負(fù)的要求相一致將這種初始的c作為k的一個(gè)函數(shù)的函數(shù)便是著名的鞍點(diǎn)路徑。2.4福利一個(gè)十分自然的問題是，這種經(jīng)濟(jì)的均衡是否代表一個(gè)可期望的值。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)第一福利定理告訴我們，如果市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的完全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡時(shí)帕累托的。由于福利定理在我們的模型中成立，均衡必為帕累托有效的。并且由于所有家庭擁有效用，這意味著分散化均衡在對(duì)所有家庭采用相同方式的配置中會(huì)產(chǎn)生最高的可能效用。2.5平衡增長(zhǎng)路徑經(jīng)濟(jì)行為一旦已經(jīng)收斂于點(diǎn)E，它便等同于處在平衡增長(zhǎng)路徑上的索羅經(jīng)濟(jì)的行為。因此索羅模型關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的驅(qū)動(dòng)力的核心含義并不能夠依據(jù)一個(gè)不變的儲(chǔ)蓄率的假設(shè)決定。即使當(dāng)儲(chǔ)蓄是內(nèi)生的，勞動(dòng)的有效性增長(zhǎng)仍是每工人產(chǎn)出不斷增長(zhǎng)的惟一可能的源泉。平衡增長(zhǎng)路徑和資本的黃金律水平索羅模型和拉-卡-庫模型的平衡增長(zhǎng)路徑之間的惟一顯著的差異是：擁有資本量大于黃金資本水平的平衡路徑時(shí)不可能的。在索羅模型中，充分高的儲(chǔ)蓄率引致經(jīng)濟(jì)達(dá)到一個(gè)平衡路徑，存在一些可行的選擇，它們涉及在美時(shí)刻跟高水平的消費(fèi)。因此k收斂于與一個(gè)低于黃金律水平的資本量。由于是經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長(zhǎng)路徑時(shí)的k的最優(yōu)水平，它便是著名的修正的黃金律資本存量。2.6貼現(xiàn)率下降的影響由于是主導(dǎo)家庭對(duì)現(xiàn)期與未來消費(fèi)之間偏好的參數(shù)，在這個(gè)模型中，其變化的效應(yīng)和索羅模型中儲(chǔ)蓄率的上升，十分相似。定性效應(yīng)的變化影響的方程，不影響的方程。當(dāng)下降時(shí)線向右邊移動(dòng)。在變動(dòng)的時(shí)刻，k的值，即每單位有效勞動(dòng)的資本存量由經(jīng)濟(jì)的歷史給定，且不能間斷的給定。而當(dāng)變動(dòng)時(shí)，c發(fā)生跳躍。貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)類似于索羅模型中儲(chǔ)蓄率上升的效應(yīng)。在兩種情形中，k逐漸上升到其新的較高的水平，而c初始下降但接著上升到其開始時(shí)的水平。因此貼現(xiàn)率的永久性下降會(huì)產(chǎn)生每工人資本增長(zhǎng)率與每工人資本增長(zhǎng)率與每工人產(chǎn)出的暫時(shí)性增長(zhǎng)。其唯一差異在于：下降的情形中，產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄部分在調(diào)整過程中一般是不變的。調(diào)整速率與鞍點(diǎn)路徑的斜率在與的附近取一階泰勒近似。這便是因而，方程（2.25）與（2.26）寫成：（2.25）（2.26）（2.27）（2.28）回憶利用這個(gè)表達(dá)式計(jì)算（2.27)中導(dǎo)數(shù)，并給它們?cè)?、處取值，可得?.29）同理利用求出（2.28）中的導(dǎo)數(shù)，這便獲得（2.30）進(jìn)而，給（2.29）和（2.30）兩邊除以則得到的增長(zhǎng)率的表達(dá)式。（2.31）（2.32）方程（2.31）和（2.32）意味著的增長(zhǎng)率只會(huì)依存于的比率。如果給定的值恰好使以相同的速度下降。那么意味著的比率不發(fā)生變化，其增長(zhǎng)率也不發(fā)生變化。因此增在持續(xù)以相等的比率下降。由（2.32）的條件因此為設(shè)方程（2.31)意味著（2.33）（2.34）（2.35）設(shè)如果為正，那么正在增長(zhǎng)，這邊是經(jīng)濟(jì)不是沿著一條直線走向（）的。相反它增在沿著一條直線偏離（）。因此如果經(jīng)濟(jì)收斂于（）。那么必定為負(fù)的。圖（2.7）表明了經(jīng)濟(jì)順利收斂于的直線。它由AA表示，這便是線性化系統(tǒng)的鞍點(diǎn)路徑。這個(gè)圖也表明經(jīng)濟(jì)沿哪條直線偏離該條件被標(biāo)為BB.如果c(0)與k(0)的初始值均處在這條路徑上。（2.32）表明將穩(wěn)定地以的速率增長(zhǎng)。由于是負(fù)的。則意味著之間的關(guān)系所具有的符號(hào)將不同于的。因此，鞍點(diǎn)路徑AA的斜率為正，BB線的斜率為負(fù)。調(diào)整的速率為了理解（2.37）對(duì)于收斂于平衡路徑的速度的含義。考慮我們常用的柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。則由于平衡增長(zhǎng)路徑上的消費(fèi)等于產(chǎn)出減去持平投資，沒單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)等于。因此可以把的表達(dá)式改寫為（2.38）（2.39）假設(shè)政府在每單位時(shí)間以每單位有效勞動(dòng)的速率購買產(chǎn)出。政府購買不會(huì)影響到由私人消費(fèi)獲得的效用，也不會(huì)影響未來產(chǎn)出。那么投資是在產(chǎn)出同私人消費(fèi)與政府購買之間的差額。因此k的運(yùn)動(dòng)方程（2.24）變成較高的G值把軌跡向下移動(dòng);如果k保持不變，那么由政府購買的產(chǎn)品越多，由私人購買的產(chǎn)品越少。2.7政府購買的效應(yīng)（2.40）政府購買融資的稅收會(huì)影響家庭預(yù)算約束。（2.14）會(huì)變成：(2.41)政府購買的永久性與暫時(shí)性變動(dòng)的效應(yīng)設(shè)G（t）在某個(gè)數(shù)量為的水平上保持不變，經(jīng)濟(jì)處在平衡增長(zhǎng)路徑，并且存在一個(gè)未預(yù)期的永久性的G的趨向的增加。由（2.39）可知的軌跡向下移動(dòng)的數(shù)量等于G的增加量。并且政府購買并不影響歐拉方程，的軌跡不受影響，這便是圖2.8所表示的情形。為應(yīng)對(duì)這種變化，c必須跳躍，使得經(jīng)濟(jì)處在其新的鞍點(diǎn)路徑上。其簡(jiǎn)單的調(diào)整方式是；c下降的數(shù)量等于G增加的數(shù)量，并且經(jīng)濟(jì)總會(huì)處在新的均衡增長(zhǎng)路徑上。直覺上，政府購買與稅收的永久性增加會(huì)減少家庭的終身財(cái)富，因此消費(fèi)立即下降。而且資本存量和實(shí)際利率不受影響。更為復(fù)雜的情形由G的非預(yù)期的增加提供,在這種情形下，C的數(shù)量下降并不等于真?zhèn)€G的增加量。具體變化過程由圖2.9所示。（a）部分表明G的增加時(shí)相對(duì)持久性的情形。在此情形中，c下降的數(shù)量正好等于整個(gè)G的增加量。隨著G恢復(fù)到的時(shí)刻的臨近。在預(yù)見到下降的情況下，家庭由增加了其消費(fèi)并減少了其資本持有量。由于?？梢杂蒶的行為來推斷r的行為。在政府支出較高并緩慢返回到其初始水平的期間，r逐漸上升。這由（b）部分表示。最后，（c）部分表明G的短期上升的情形，這里家庭較少地改變其消費(fèi)。相反，他選擇從其儲(chǔ)蓄中更多地支付暫時(shí)的高稅收。由于政府購買仔較短的時(shí)間內(nèi)事較高的，其對(duì)資本存量與實(shí)際利率印象較小。E(a)圖2.9政府支出暫時(shí)性增加的效應(yīng)代蒙德模型2.8假設(shè)代蒙德模型與拉姆塞模型之間的核心差異是存在人口的新老交替，而非一個(gè)數(shù)量固定的永久生存的家庭。這里，新的個(gè)體繼續(xù)出生，并且老的個(gè)人不斷消亡。當(dāng)存在新老代謝時(shí)，假設(shè)每個(gè)人只活兩個(gè)時(shí)期，代表出生于t時(shí)期的個(gè)人。由于人口以n的速率增長(zhǎng)，因此。由于個(gè)人只存活兩個(gè)時(shí)期，因此，在t時(shí)期，存在個(gè)正處在他們第一個(gè)時(shí)期的個(gè)人，并且個(gè)增處在其生命的第二個(gè)時(shí)期的個(gè)人。每個(gè)個(gè)人在其年輕的時(shí)候供給1單位的勞動(dòng)，并且經(jīng)其多獲得的勞動(dòng)在第一期的消費(fèi)與儲(chǔ)蓄之間進(jìn)行分配。在第二個(gè)時(shí)期，個(gè)人只簡(jiǎn)單地消費(fèi)其獲得的儲(chǔ)蓄與利息。2.9家計(jì)行為設(shè)代表年輕與年老的個(gè)人在t時(shí)期的消費(fèi)。因此，在t時(shí)期出生的一個(gè)人的效用依存與。因此，我們?cè)俅渭僭O(shè)不變相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)為：（2.42）2.9家庭行為在t時(shí)刻出生的一個(gè)個(gè)人的第二期消費(fèi)時(shí)進(jìn)而可得（2.43）（2.44）在預(yù)算約束（2.45的限制下。個(gè)人最大化效用?？紤]求解最大化效用的兩種方式。一種是沿用推導(dǎo)拉姆塞模型中的歐拉方程的直覺性方式。假設(shè)個(gè)人將消費(fèi)減少了較小的數(shù)量接著利用新增的儲(chǔ)蓄與資本收入把提高了。這種改變并不影響個(gè)人鐘聲消費(fèi)的現(xiàn)值。因此，如果個(gè)人正在進(jìn)行最優(yōu)化，效用成本與變動(dòng)的收益必定是相等的。如果成本小于收益，個(gè)人將會(huì)通過作出改變?cè)黾咏K生效用。如果成本大于收益，個(gè)人通過做出相反的改變而增加效用。與對(duì)終生效用的邊際貢獻(xiàn)分別是因此，我們?cè)O(shè)趨于零。變動(dòng)的邊際成本趨于。并且效用收益接近。當(dāng)個(gè)人正在進(jìn)行最優(yōu)化時(shí)，他們是相等的。因此最優(yōu)化要求:進(jìn)而有（2.45）（2.46）或者（2.47）表達(dá)式(2.47）類似于拉姆塞模型中的歐拉方程。它意味著個(gè)人消費(fèi)是否隨著時(shí)間正在遞增或者遞降。這依存于是否實(shí)際報(bào)酬大于或小于貼現(xiàn)率。再次決定個(gè)人消費(fèi)如何變化以便對(duì)之間的差異做出反應(yīng)。第二種方式是構(gòu)造拉格朗日函數(shù)去求解個(gè)人的最大化問題，（2.49）（2.50）（2.51）我們可以利用歐拉方程與預(yù)算約束寫出用勞動(dòng)收入與實(shí)際利率表達(dá)式的。特別地，給（2.48）兩邊乘以，并帶入預(yù)算方程，從而得出（2.52）（2.53）這意味著：（2.53）方程（2.53）意味著利率決定第一個(gè)時(shí)期的單個(gè)消費(fèi)者的收入份額。設(shè)s(r)表示收入被儲(chǔ)蓄的部分，那么（2.53）意味著（2.55）方程（2.55）意味著，年輕人的儲(chǔ)蓄關(guān)于r是遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于r是遞增的。直覺上，r的上升具有收入和替代雙重效應(yīng)。兩個(gè)時(shí)期的消費(fèi)之間的替代會(huì)對(duì)第二時(shí)期的消費(fèi)更有利，這個(gè)事實(shí)趨向于增加儲(chǔ)蓄（替代效應(yīng)).但既定的儲(chǔ)蓄將會(huì)帶來第二個(gè)時(shí)期的更大的消費(fèi)，這個(gè)事實(shí)傾向于減少儲(chǔ)蓄(收入效應(yīng)）。因此當(dāng)個(gè)人十分樂于在兩個(gè)時(shí)期進(jìn)行消費(fèi)替代以利用報(bào)酬率激勵(lì)（這是很低的時(shí)候）替代效應(yīng)占優(yōu)。當(dāng)個(gè)人對(duì)兩個(gè)時(shí)期的相似消費(fèi)水平有強(qiáng)有力的偏好時(shí)(這便是當(dāng)很高時(shí)收入效應(yīng)占優(yōu)。并且在的特殊情形中，這兩個(gè)效應(yīng)平衡，并且年輕人的儲(chǔ)蓄與r不相關(guān)。2.10經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)K的運(yùn)動(dòng)方程t+1時(shí)期的資本存量等于t時(shí)期年輕人的儲(chǔ)蓄量。因此有：兩邊除以，便得到了一個(gè)關(guān)于每單位有效勞動(dòng)的表達(dá)式。因此，替換從而得到（2.56）（2.57）（2.58）K的演化方程（2.58）隱含著把定義為的函數(shù)。給定k的初始值，該式因此決定k如何隨時(shí)間而演化。使得=滿足（2.58）的值是一個(gè)均衡值:一旦k達(dá)到該值，它變會(huì)留在那里。因此我們想知道是否存在k的一個(gè)或者一些均衡值，并且如果k并不是從這樣的值開始的，是否它收斂于這樣的一個(gè)值。為回答這些問題，我們采用對(duì)數(shù)效用與柯布道格拉斯生產(chǎn)的情形來說明分析。對(duì)數(shù)效用和柯布道格拉斯生產(chǎn)當(dāng)?shù)?/p>