第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)的位移計算

結(jié)構(gòu)力學(xué)(StructuralMechanics)授課人：王新杰環(huán)境學(xué)院土木工程系第五章結(jié)構(gòu)的位移計算(DisplacementCalculationofStructure)2/3/20232結(jié)構(gòu)力學(xué)目錄

(contents)5-1結(jié)構(gòu)位移計算概述5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式5-3荷載作用下的位移計算5-4荷載作用下的位移計算舉例5-5圖乘法5-6溫度作用時的位移計算5-7互等定理--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2/3/20233結(jié)構(gòu)力學(xué)基本要求理解：實功與虛功、廣義力與廣義位移。掌握：荷載產(chǎn)生的位移計算、支座移動和溫度改變引起的位移計算、用圖乘法求位移、互等定理。了解：變形體虛功原理。2/3/20234結(jié)構(gòu)力學(xué)§

5-1結(jié)構(gòu)位移計算概述1.結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，將產(chǎn)生尺寸形狀的改變，這種改變稱為變形；由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點位置的移動，于是產(chǎn)生位移。2/3/20235結(jié)構(gòu)力學(xué)位移產(chǎn)生的原因：1)載荷作用2)溫度作用和材料脹縮3)支座沉降和制造誤差結(jié)構(gòu)各點產(chǎn)生位移時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部是否也同時產(chǎn)生應(yīng)變呢？目的：1）驗算結(jié)構(gòu)的剛度；2）超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ)。2/3/20236結(jié)構(gòu)力學(xué)

有位移無應(yīng)變剛體位移和變形位移：有位移有應(yīng)變ABCD(a)剛體位移(b)變形位移2/3/20237結(jié)構(gòu)力學(xué)(1)線位移

①水平線位移：H

②鉛直線位移：V(2)角位移：(3)位移有“相對位移”與“絕對位移”之分。

(4)上述各種位移統(tǒng)稱為“廣義位移”。與廣義位移相對應(yīng)的力稱為廣義力。位移的種類：第一種分類方法:第二種分類方法:(1)剛體位移；(2)變形位移。2/3/20238結(jié)構(gòu)力學(xué)2.推導(dǎo)位移計算一般公式的基本思路第一步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動而引起的位移計算問題。(計算剛體位移）第二步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形而引起的位移計算問題。(計算變形位移）第三步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形而引起的位移計算問題。(計算總位移）基本思路：化整為零和積零為整。AB2/3/20239結(jié)構(gòu)力學(xué)3.應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移-單位荷載法解：根據(jù)平衡條件，可求出支座A的反力：虛功方程：首先要說明一點：在靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動時并不引起內(nèi)力也不引起應(yīng)變，故可用剛體體系虛功原理來求解。（虛設(shè)單位力，求位移）即2/3/202310結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-1如圖所示支座A有給定的豎向上位移cA，求ΔC(b)ΔCcAA解：根據(jù)平衡條件，可求出支座A的反力：虛功方程：即4.支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算2/3/202311結(jié)構(gòu)力學(xué)歸納起來，當(dāng)支座有結(jié)定位移cK時，任意靜定結(jié)構(gòu)的位移可用虛功原理求出，共計算步驟如下：（1）沿擬求位移Δ方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力。（2）令虛設(shè)力系在實際位移上作虛功，寫出虛功方程：（3）由虛功方程，解出擬求位移C’ABCB’2/3/202312結(jié)構(gòu)力學(xué)§

5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式計算變形體體系的位移，有兩種途徑：根據(jù)剛體體系的虛功原理，導(dǎo)出變形體體系的虛功原理，再導(dǎo)出變形體體系的位移公式。應(yīng)用剛體體系的虛功原理導(dǎo)出局部變形時的位移公式，然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出整體變形時的位移公式。這里選擇第二種。AB2/3/202313結(jié)構(gòu)力學(xué)1.局部變形時的位移公式設(shè)懸臂梁在C點附近的微元段CD有局部變形外，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。A1CDAP=1B微元段CD局部變形包括三部：2/3/202314結(jié)構(gòu)力學(xué)三種相對應(yīng)的位移：CDCDA1CDAP=1BCD2/3/202315結(jié)構(gòu)力學(xué)應(yīng)用剛體體系的虛功原理取DA段為隔離體，列虛功方程：即亦有A1CDAP=1BAD2/3/202316結(jié)構(gòu)力學(xué)2.結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式考慮多個桿件考慮支座位移dx2/3/202317結(jié)構(gòu)力學(xué)式(5-15)是一個普遍性公式，它的普遍性表現(xiàn)在下列幾個方面：

從變形類型來看，它既可以考慮彎曲變形，也可以考慮拉伸或剪切變形。

從變形因素來看，它既可以考慮荷載引起的位移，也可以考慮溫度或支座移動引起的位移。從結(jié)構(gòu)類型來看，它可用于梁、剛架、桁架、拱等各類型式的結(jié)構(gòu)，也可用于靜定或超靜定結(jié)構(gòu)。從材料性質(zhì)來看，它可用于彈性材料，也可用于非彈性材料。（5-15）2/3/202318結(jié)構(gòu)力學(xué)（5-15）（5-15）式還有一層物理意義：外虛功W內(nèi)虛功Wi變形體虛功方程=2/3/202319結(jié)構(gòu)力學(xué)3.結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟在某點沿擬求位移的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載。在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力、、和支座反力。最后根據(jù)公式（5-15）可求出位移。（5-15）2/3/202320結(jié)構(gòu)力學(xué)4.廣義位移的計算例如，如圖所示為一簡支梁，在彎曲變形時．截面A產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)角θA，截面B產(chǎn)生反時針轉(zhuǎn)角θB，以⊿表示其相對轉(zhuǎn)角。廣義單位力廣義位移2/3/202321結(jié)構(gòu)力學(xué)廣義位移和廣義單位荷載示例2/3/202322結(jié)構(gòu)力學(xué)2/3/202323結(jié)構(gòu)力學(xué)（5-15）2/3/202324結(jié)構(gòu)力學(xué)根據(jù)實際載荷，求得截面彎矩、軸力、剪力§

5-3荷載作用下的位移計算1.計算步驟2/3/202325結(jié)構(gòu)力學(xué)荷載作用下彈性位移的一般公式2/3/202326結(jié)構(gòu)力學(xué)荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)位移具體計算的步驟：（1）在某點沿擬求位移的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載。（2）在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力、、和支座反力。（3）根據(jù)實際載荷，求得截面彎矩、軸力、剪力（4）最后根據(jù)如下公式可求出位移。2/3/202327結(jié)構(gòu)力學(xué)2.各類結(jié)構(gòu)的位移公式1）梁和剛架2）桁架3）桁梁混合結(jié)構(gòu)4）拱2/3/202328結(jié)構(gòu)力學(xué)3.截面平均切應(yīng)變和系數(shù)取微元體:做虛功2/3/202329結(jié)構(gòu)力學(xué)而這樣又而故(k為一常數(shù),只與截面形狀有關(guān))2/3/202330結(jié)構(gòu)力學(xué)切應(yīng)變的截面形狀系數(shù)k2/3/202331結(jié)構(gòu)力學(xué)荷載作用下彈性位移的一般公式為正負號規(guī)定：FN

、FNP

拉力為正；FQ、FQP

同材料力學(xué)M、MP使桿件同側(cè)纖維受拉時，乘積為正?！?/p>

5-4荷載作用下的位移計算舉例2/3/202332結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-3試求圖(a)所示懸臂梁在A端的豎向位移△，并比較彎曲變形與剪切變形對位移的影響。梁的截面為矩形。實際荷載作用下的內(nèi)力如圖(a)虛設(shè)單位荷載作用下的內(nèi)力如圖(b)總位移設(shè)μ=1/3，E/G=8/3I/A=h2/121.梁的位移計算2/3/202333結(jié)構(gòu)力學(xué)qACB(a)實際狀態(tài)P=1ACB(b)虛設(shè)狀態(tài)AC段CB段例5-4.試計算懸臂梁A點的豎向位移。1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：2/3/202334結(jié)構(gòu)力學(xué)AC段CB段2)將上面各式代入位移公式分段積分計算AC段在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段2/3/202335結(jié)構(gòu)力學(xué)CB段設(shè)為矩形截面k=1.22/3/202336結(jié)構(gòu)力學(xué)3）討論比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。設(shè)材料的泊松比,由材料力學(xué)公式。設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為h，則有代入上式2/3/202337結(jié)構(gòu)力學(xué)2.靜定平面桁架在載荷作用下的位移計算位移公式：注：桁架中，各桿只有軸力，軸力值沿桿長不變。通常各桿所用材料及桿的截面面積沿桿長不變?？紤]支座位移：2/3/202338結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-5.計算桁架結(jié)點C的豎向位移，設(shè)各桿EA都相同。分析內(nèi)力：本問題因為桁架與載荷均對稱，所有只需計算一半桁架的內(nèi)力。ABDE解：如圖虛設(shè)單位力P=11）計算結(jié)構(gòu)在外荷載作用下各桿的內(nèi)力。利用體系整體平衡關(guān)系：由A點的Y方向平衡得：2/3/202339結(jié)構(gòu)力學(xué)ABDE利用三角形關(guān)系(壓力)同理A點X方向平衡得：(拉力)D點X方向平衡：(壓力)顯然DC桿的桿力為零。2/3/202340結(jié)構(gòu)力學(xué)2）計算結(jié)構(gòu)在單位荷載P=1作用下各桿的內(nèi)力。BADE2/3/202341結(jié)構(gòu)力學(xué)為正值表示，C處的位移與虛設(shè)單位力的方向相同。由位移公式：3）計算位移BADEABDE2/3/202342結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-6圖(a)所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧

AB的圓心角為α，半徑為R。試求B點的豎向位移△。解：虛設(shè)荷載如圖(b)圖(a)中圖(b)中12.曲桿的位移計算2/3/202343結(jié)構(gòu)力學(xué)設(shè)h/R=1/10，E/G=8/3，I/A=h2

/12，k=1.2如果：（h為截面高度）計算結(jié)果表明，在給定的條件下，軸力和剪力所引起的位移可以忽略不記。2/3/202344結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-7試求圖(a)所示簡支梁兩端截面A、B的相對轉(zhuǎn)角△。解：虛設(shè)力系如圖(b)實際荷載作用下的彎矩圖虛設(shè)力系如圖(c)2/3/202345結(jié)構(gòu)力學(xué)4.剛架在載荷作用下的位移計算剛架的位移，主要由彎矩引起，軸力和剪力的影響均較小，可忽略不計。位移公式：例5-8，如圖計算剛架C端的水平位移和角位移，已知EI為常數(shù)。2/3/202346結(jié)構(gòu)力學(xué)解：在載荷作用下，剛架的圖如圖所示，AB柱BC梁2/3/202347結(jié)構(gòu)力學(xué)1）求C點的水平位移，可在C點加一單位力。得圖：BC梁AB柱代入位移公式，得：2/3/202348結(jié)構(gòu)力學(xué)2）求C點的角位移，可在C點加一單位彎矩。得圖：BC梁AB柱代入位移公式，得：2/3/202349結(jié)構(gòu)力學(xué)§5-5圖乘法靜定梁和剛架的位移計算：如果桿軸符合下列條件時：(1)桿軸為直線時；(2)EI＝常數(shù)；需先計算各段、，計算較為復(fù)雜。(3)與兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。則可用圖乘法代替積分運算。1.圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時為莫斯科鐵路運輸學(xué)院的學(xué)生。2/3/202350結(jié)構(gòu)力學(xué)yxoBA微面積形心C面積BA(1)因為是直桿，所以可用dx代替ds。(2)因為EI是常數(shù)，所以EI可提到積分號外。常數(shù)(3)直線變化，故有微分面積對y軸的面積矩2/3/202351結(jié)構(gòu)力學(xué)yxoBA微面積形心C面積BA所以得到：注意事項：(1)應(yīng)用條件：桿件應(yīng)是等截面桿，兩個圖形中應(yīng)有一個是直線，取自直線圖中。(2)正負號規(guī)則：與在桿的同一側(cè)，乘積取正；反之取負。積分化為：面積×相應(yīng)形心豎標(biāo)2/3/202352結(jié)構(gòu)力學(xué)2.幾種常見圖形的面積和形心位置2/3/202353結(jié)構(gòu)力學(xué)2/3/202354結(jié)構(gòu)力學(xué)3.應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題(1)yo必須取自直線圖形。(2)如果一個圖形是曲線，另一個圖形是折線，則應(yīng)分段計算。2/3/202355結(jié)構(gòu)力學(xué)(3)圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘。2/3/202356結(jié)構(gòu)力學(xué)(4)當(dāng)圖乘面積中有正有負時，必須分別圖乘。（圖乘面積不能同時包含正負面積）2/3/202357結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-9：圖乘法解如圖所示簡支梁在均布荷載q作用下的B端轉(zhuǎn)角。解：虛設(shè)單位力分別作出和：有直線，可利用圖乘法，則：2/3/202358結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-10：如圖所示為懸臂梁，在A點作用荷載P，求中點C的撓度。解：2/3/202359結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-11：如圖所示為一預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝上墻板起吊過程中的計算圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N／m3。A和B為起吊點。求C點的撓度。解：板自重：截面慣性矩：混凝土彈性模量：2/3/202360結(jié)構(gòu)力學(xué)2/3/202361結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-12：求圖示剛架結(jié)點B的水平位移Δ，設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為b×h，慣性矩I=bh3/12，只考慮彎曲變形的影響。解：2/3/202362結(jié)構(gòu)力學(xué)§5-6溫度作用時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度改變并不引起內(nèi)力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。桿件的微段，和分別為軸至上、下邊緣的距離。2/3/202363結(jié)構(gòu)力學(xué)上邊緣溫度上升下邊緣溫度上升沿桿截面厚度為線性分布，軸線溫度上下溫差2/3/202364結(jié)構(gòu)力學(xué)軸線溫度：上下邊緣的溫差：伸長應(yīng)變：曲率：線膨脹系數(shù)d溫度引起的位移計算公式：2/3/202365結(jié)構(gòu)力學(xué)若沿每一桿件的全長為常數(shù)，則：以溫度升高為正，彎矩和溫差引起的彎矩為同一方向時，其乘積取正，反之取負。2/3/202366結(jié)構(gòu)力學(xué)例5-13：試求圖a所示剛架C點的水平位移。已知剛架各桿外側(cè)溫度無變化，內(nèi)側(cè)溫度上升10°C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對稱，線膨脹系數(shù)為。解：在C點沿水平方向加一單位力P＝1。P＝12/3/202367結(jié)構(gòu)力學(xué)作出相應(yīng)的、圖。并有：軸向上的溫度上升值。2/3/202368結(jié)構(gòu)力學(xué)式中h為截面高度。所得結(jié)果為正值，表示C點位移與單位力方向相同。桿件由于溫度改變而發(fā)生的彎曲變形，該變形與由于所產(chǎn)生的彎曲變形方向相同(如圖虛線所示)，2/3/202369結(jié)構(gòu)力學(xué)荷載引起的變形位移：溫度引起的變形位移：2/3/202370結(jié)構(gòu)力學(xué)應(yīng)用條件：材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。結(jié)構(gòu)變形很小，不影響力的作用。狀態(tài)I的力系在狀態(tài)Ⅱ的位移和變形上作虛功，可寫出虛功方程為狀態(tài)Ⅱ的力系在狀態(tài)I的位移和變形上作虛功，可寫出虛功方程為顯然即外虛功內(nèi)虛功§5-9互等定理1.功的互等定理2/3/202371結(jié)構(gòu)力學(xué)如圖(a)、(b)，由功的互等定理令或—稱為位移影響系數(shù)可得即2.位移的互等定理2/3/202372結(jié)構(gòu)力學(xué)即位移互等定理：在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移影響系數(shù)，等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)。2/3/202373結(jié)構(gòu)力學(xué)3.反力的互等定理由功的互等定理：在線性變形體系中，反力與位移的比值是一個常數(shù)，記為，即：反力互等定理：在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的位移影響系數(shù)，等于由位移c2所引起的與位移c