高中數(shù)學(xué)人教A版1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 第4節(jié)

第一講第四節(jié)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在△ABC中，CD⊥AB于點D，下列不能判定△ABC為直角三角形的是()A．AC＝2，AB＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(2)B．AC＝3，AD＝2，BD＝3C．AC＝3，BC＝4，CD＝eq\f(12,5)D．AC＝7，BD＝4，CD＝2eq\r(3)解析：根據(jù)勾股定理可知A、C正確，根據(jù)射影定理的逆定理知D正確．答案：B2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．若BC＝m，∠B＝α，則AD長為()A．msin2α B．mcos2αC．msinαcosα D．msinαtanα解析：由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα，故選C．答案：C3．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列條件中，一定能確定△ABC為直角三角形的個數(shù)為()①∠1＝∠A②eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5.A．1 B．2C．3 D．4解析：①能．∵∠1＋∠B＝90°，若∠1＝∠A，則∠A＋∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形．②能．若eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)，則CD2＝AD·BD，∴AB2＝(AD＋BD)2＝AD2＋BD2＋2AD·BD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋CD2)＋(BD2＋CD2)＝AC2＋BC2，∴△ABC為直角三角形．③不能．∠B＋∠2＝90°，又∠B＋∠1＝90°，則∠1＝∠2，并不能得到△ABC為直角三角形．④能．設(shè)BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，則AB2＝BC2＋AC2，△ABC為直角三角形．答案：C4．已知△ABC中，AD是高，且AD2＝BD·DC，則∠BAC()A．大于90° B．等于90°C．小于90° D．不能確定答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．CD是Rt△ACB斜邊AB上的高，則cosA用線段的比表示為________或________或________.答案：eq\f(AD,AC)eq\f(AC,AB)eq\f(CD,BC)6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(4,5)，則CD＝________.解析：在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(4,5)，由sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，得AC＝eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(4,\f(4,5))＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝eq\f(AC2,AD)＝eq\f(25,4).∴BD＝AB－AD＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，由射影定理CD2＝AD·BD＝4×eq\f(9,4)＝9，∴CD＝3.答案：3三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知直角三角形周長為48cm，一銳角平分線分對邊為3∶(1)求直角三角形的三邊長；(2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長．解析：(1)如圖，設(shè)CD＝3x，BD＝5x，由BC＝8x，過D作DE⊥AB，由題意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三邊長分別為：20cm,12(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(122,20)＝eq\f(36,5)(cm)．同理：BF＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(162,20)＝eq\f(64,5)(cm)．∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為eq\f(36,5)cm，eq\f(64,5)cm.8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.求證：EF∶DF＝BC∶AC．證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD．∴eq\f(EF,AD)＝eq\f(CF,CD)，∴eq\f(EF2,CF2)＝eq\f(AD2,CD2).又∵BD·CF2＝CD·EF2，∴eq\f(EF2,CF2)＝eq\f(BD,CD).∴eq\f(AD2,CD2)＝eq\f(BD,CD)，即AD2＝BD·CD．∴∠BAC＝90°.∴AC2＝BC·CD．∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.又EF∥AD，∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,DC).∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,DC)＝eq\f(AC·BC,AC2)＝eq\f(BC,AC)，即EF∶DF＝BC∶AC．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AE平分∠BAC交BC于E，CE∶EB＝4∶5，CD＝24，求AD∶DB及S△ABC．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(AC2,BC2)＝eq\f(AD,BD).而AC2＋BC2＝AB2，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC2,AB2－AC2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AC)))2－1)，又AE平分∠BAC，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CE)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\