第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity吳森講師senwu@天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity

內(nèi)容提要2.1基本邏輯運(yùn)算2.2邏輯代數(shù)的基本公式和定理2.3邏輯函數(shù)的表示方法2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1基本邏輯運(yùn)算三種基本運(yùn)算

2.1基本邏輯運(yùn)算“0”、“1”表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)；只存在這兩種狀態(tài)的信號(hào)之間的因果關(guān)系稱為二值邏輯；按照指定因果關(guān)系進(jìn)行的推理即邏輯運(yùn)算，邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法稱為邏輯代數(shù)，又稱布爾代數(shù)（GeorgeBoole）與（AND）或（OR）非（NOT）常見(jiàn)擴(kuò)展運(yùn)算與非（NAND）或非（NOR）異或（ExclusiveOR,xor）同或（InclusiveOR,xnor）復(fù)雜組合

2.1基本邏輯運(yùn)算一.“與”運(yùn)算當(dāng)決定事件的所有條件都具備時(shí)事件才發(fā)生。功能表開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y電源ABY斷斷滅斷通滅通斷滅通通亮真值表ABY000010100111邏輯函數(shù)表達(dá)式：Y=A?B=ABABY&圖形符號(hào)：邏輯乘與門(mén)

2.1基本邏輯運(yùn)算二.“或”運(yùn)算當(dāng)決定事件的所有條件中有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)事件就發(fā)生。邏輯函數(shù)表達(dá)式：Y=A+BABY≥1圖形符號(hào)：邏輯加或門(mén)開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y電源功能表ABY斷斷滅斷通亮通斷亮通通亮真值表ABY000011101111

2.1基本邏輯運(yùn)算三.“非”運(yùn)算決定事件的條件只有1個(gè)，當(dāng)條件具備時(shí)事件不發(fā)生，條件不具備時(shí)事件發(fā)生。邏輯函數(shù)表達(dá)式：Y=A圖形符號(hào)：邏輯反非門(mén)功能表AY斷亮通滅真值表AY0110開(kāi)關(guān)A燈Y電源R（也可寫(xiě)成Y=A’)AY1

2.1基本邏輯運(yùn)算四.基本邏輯的常用擴(kuò)展與非門(mén)Y=ABYAB&真值表ABABY0001010110011110真值表或非門(mén)Y=A+BYAB≥1ABA+BY0001011010101110

2.1基本邏輯運(yùn)算四.基本邏輯的常用擴(kuò)展異或門(mén)YAB=1真值表ABY000011101110真值表同或門(mén)YAB=1ABY001010100111Y=A⊙B

2.1基本邏輯運(yùn)算IEEE符號(hào)AY國(guó)標(biāo)符號(hào)AB&A1AB≥1YYYABABYYIEEE符號(hào)國(guó)標(biāo)符號(hào)AB&AB=1AB≥1YYYABABYYYABAB=YABYA≥1&BCDYY=(AB+CD)’

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.2基本公式和定理

2.2基本公式和定理一、基本公式0?A=00，1律0+A=A1?A=A0，1律1+A=1A?A=A重疊律A+A=AA?A′=0互補(bǔ)律A+A′=1A?B=B?A交換律A+B=B+AA(BC)=(AB)C結(jié)合律A+(B+C)=(A+B)+CA(B+C)=AB+AC分配率A+BC=(A+B)(A+C)(AB)′=A′+B′反演律(A+B)′=A′B′(A′)′=A還原律證明公式：A(B+C)=AB+ACABCA(B+C)ABACAB+AC00000000010000010000001100001000000101101111011011111111左=右枚舉法真值表

2.2基本公式和定理證明公式：A+BC=(A+B)(A+C)推演法

2.2基本公式和定理

2.2基本公式和定理二、常用其他公式A+AB=AA+A′B=A+BAB+AB′=AA(A+B)=AAB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CA(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′證明公式：A+A’B=A+

B右

=A+B

=(A+A’)(A+B)=A+A’B=左

證明公式：AB+A’C

+

BC=AB+

A’C左=AB+A’C

+BC=AB+A’C+BC(A+

A’)

=

AB+

ABC+

A’C+

A’CB=

AB+A’C=右

證明公式：AB+A’C

+

BCD=AB+

A’C左=AB+A’C

+BCD=AB+A’C+BC+BCD

=

AB+

A’C+

BC=

AB+A’C=右

證明公式：A(AB)’

=AB’

左=A(AB)’

=A(A’

+

B’)=AB’

=右

2.2基本公式和定理三、基本定理代入定理

在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。例：分配律公式A(B+C)=AB+AC

，用C+D代替C

得:A[B+(C+D)]=AB+

A(C+D)

=AB+

AC+

AD代入定理可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍例：反演律公式(A

+

B)’

=A’B’，用B

+C代替B

得:[A+(B+C)]’=A’(B+C)’=A’B’C’

2.2基本公式和定理2.反演定理

對(duì)于任意邏輯表達(dá)式，按照以下方式變換可得到原函數(shù)的反函數(shù)。運(yùn)算符“與”、“或”置換，“同或”、“異或”置換；變量、反變量置換；常量0、1置換。例：函數(shù)Y=A’B’+CD的反演函數(shù)如下A’B’+CD(A+B)(C’+D’)Y’=(A’B’+CD)’=(A’B’)’(CD)’=(A+B)(C’+D’)例：函數(shù)Y=A’(B’C(D’E)’)’的反演函數(shù)如下A’(B’C(D’E)’)’A+(B+C’+(D+E’)’)’=

Y’

括號(hào)不變，括號(hào)上的反號(hào)也不變

2.2基本公式和定理3.對(duì)偶定理

兩個(gè)相等邏輯式的對(duì)偶式也相等。任意邏輯表達(dá)式的對(duì)偶式可按照以下方式得到。運(yùn)算符“與”、“或”置換，“同或”

、“異或”置換；常量0、1置換。例：Y=A’B’+CD的對(duì)偶式如下A’B’+CD(A’+B’)(C’+D’)例：Y=A’(B’C(D’E)’)’的對(duì)偶式如下A’(B’C(D’E)’)’A’+(B’+C+(D’+E)’)’

對(duì)偶式不改變括號(hào)和反號(hào)

2.2基本公式和定理例：A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)A(B+C+D)(AB)+(AC)+(AD)用對(duì)偶定理證明=例：AB+A’C+BC

=AB+A’CAB+A’C+BC

(A+B)(A’+C)(B+C)=AC+A’B+BCAB+A’C(A+B)(A’+C)=AC+A’B+BC(A+B)(A’+C)(B+C)=(A+B)(A’+C)AB+A’C+BC

=AB+A’CA+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)

2.2基本公式和定理

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.3邏輯函數(shù)的表示方法

2.3邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯函數(shù)邏輯關(guān)系變量——輸入邏輯運(yùn)算結(jié)果——輸出邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C…)二、表示方法Y=A(B+C)YABC輸入輸出ABCY00000010010001101000101111011111YCBAtttt

2.3邏輯函數(shù)的表示方法三、邏輯函數(shù)的變換

同一個(gè)邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式，不同的表達(dá)式對(duì)應(yīng)不同的邏輯電路。Y=(A(AB)’+B(AB)’)’=((A+B)(AB)’)’=((A’B’)’(AB)’)’=A’B’+ABABYABYABYABY

2.3邏輯函數(shù)的表示方法四、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)之和最大項(xiàng)之積最小項(xiàng)：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為n個(gè)變量的乘積，且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則m為該組變量的最小項(xiàng)。例：n=2，m=A’B’、AB…最大項(xiàng)：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量的和，且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則M為該組變量的最大項(xiàng)。例：n=2，M=A’+B’、A+B…例：n=2，Y=A’B’+AB例：n=2，Y=(A’+B’)(A+B)與-或或-與

2.3邏輯函數(shù)的表示方法最小項(xiàng)的特性：n變量邏輯函數(shù)總共有2n個(gè)最小項(xiàng)；任一最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1；任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；全體最小項(xiàng)之和為1。取值A(chǔ)’B’C’A’B’CA’BC’A’BCAB’C’AB’CABC’ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001

2.3邏輯函數(shù)的表示方法

把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)（原變量為1，反變量為0），與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)，用mi表示。00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7

2.3邏輯函數(shù)的表示方法例：

寫(xiě)出下列函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式（與或式）：或m6m7m1m3任何一個(gè)邏輯函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)形式一定不可能是全部最小項(xiàng)之和。并且在化簡(jiǎn)之后一定不超過(guò)全部最小項(xiàng)個(gè)數(shù)的一半。

2.3邏輯函數(shù)的表示方法例：

寫(xiě)出下列函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式（與或式）：m7m6m5m4m1m0m8m0與前面m0相重

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與-或式在若干個(gè)邏輯關(guān)系相同的與-或表達(dá)式中，將其中包含的與項(xiàng)數(shù)最少，且每個(gè)與項(xiàng)中變量數(shù)最少的表達(dá)式稱為最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式。二、公式化簡(jiǎn)法運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)并項(xiàng):例：例：

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)吸收:例：例：例：

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)消去:例：例：

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)配項(xiàng):例：例：或或冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)練習(xí):

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)要求對(duì)所有公式熟練掌握；無(wú)一套完善流程可循，依賴于人的經(jīng)驗(yàn)和靈活性；不利于判斷結(jié)果是否為最簡(jiǎn)式。公式法化簡(jiǎn)在使用中遇到的困難：

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)三、卡諾圖（

Karnaughmaps）卡諾圖即按格雷碼排列的最小項(xiàng)方格圖——將n變量的全部最小項(xiàng)都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項(xiàng)幾何相鄰。邏輯相鄰：兩最小項(xiàng)只有一個(gè)變量互為反變量。幾何相鄰：相接—上下左右挨著相對(duì)—同一行或列的兩頭相重—對(duì)折起來(lái)位置重合AB二變量的卡諾圖：4個(gè)最小項(xiàng)

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)ABC01000110111110邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰m0m1m2m3m4m5m6m7ABCD0001111000011110CDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三變量卡諾圖：8個(gè)最小項(xiàng)四變量卡諾圖：16個(gè)最小項(xiàng)五變量卡諾圖：32個(gè)最小項(xiàng)五個(gè)以上變量不適用卡諾圖AB

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的卡諾圖；將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置填入1，其余位置填0或不填。例：ABC010001111011110000利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)就是按一定規(guī)則對(duì)相鄰的1進(jìn)行合并與消去

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)卡諾圖最小項(xiàng)合并規(guī)律2N個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去N個(gè)因子，留下的是這些最小項(xiàng)中相同的部分。ABC01000111101111ABCD00011110000111101111

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)ABCD000111100001111011111111ABCD00011110000111101111BD1111

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)ABCD000111100001111011111111ABCD00011110000111101111B111111111111

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)步驟根據(jù)邏輯函數(shù)填寫(xiě)卡諾圖；對(duì)相鄰的1方格畫(huà)包圍圈，畫(huà)圈原則如下：對(duì)每個(gè)包圍圈進(jìn)行合并得到一個(gè)乘積項(xiàng)，各包圍圈所得乘積項(xiàng)之和即是該邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式。ABCD000111100001111011111111不正確的畫(huà)圈每個(gè)圈都必須為矩形，且含有2n個(gè)1；先圈孤立1，再圈只有一種合并方式的1，每個(gè)1都必須被圈上；圈內(nèi)的1越多越好，圈的個(gè)數(shù)越少越好；不同的圈可包含相同的1，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)不同的1.

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)例：解(1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2)畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)利用圖形法求下列函數(shù)的反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式例：解(1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABC010001111011110000(2)合并函數(shù)值為0的最小項(xiàng)(3)寫(xiě)出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)求下列函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式例：0111111111111110011111111111111