第2章-2不確定度評定

§2.2測量不確定度評定§2.2.1不確定度的起源和基本概念一、為什么用不確定度代替誤差？二、不確定度的發(fā)展歷史三、有關(guān)不確定度的基本概念§2.2.2不確定度評定步驟§2.2.3不確定度評定舉例1§2.2.1不確定度的起源和基本概念一、為什么用不確定度代替誤差？誤差概念的缺點(diǎn)：邏輯概念混亂和評定方法不統(tǒng)一。首先，由于被測量真值在嚴(yán)格意義上是無法獲得的，所以也無法真正得到誤差；其次，“誤差”這一術(shù)語的使用經(jīng)常出現(xiàn)概念混亂的情況，這是經(jīng)典誤差評定遇到的一個(gè)主要問題；再次，在分析誤差來源時(shí)，存在評定方法不統(tǒng)一的問題。最終造成不僅各國的誤差評定方法不同，而且不同領(lǐng)域或不同的人員對測量誤差的處理方法也往往各不相同。

2二、不確定度的發(fā)展歷史1963年，NBS的數(shù)理統(tǒng)計(jì)專家Eisenhart在研究“儀器校準(zhǔn)系統(tǒng)的精密度和準(zhǔn)確度估計(jì)”時(shí)提出了測量不確定度的概念；1980年國際計(jì)量局發(fā)出了推薦采用測量不確定度來評定測量結(jié)果的建議書，即INC-1(1980)；1981年第70屆國際計(jì)量委員會(CIPM)討論通過了該建議書，并發(fā)布了一份CIPM建議書，即CI-1981；要求所有CIPM及其各咨詢委員會參與的國際比對及其他工作中，在給出測量結(jié)果的同時(shí)必須給出合成不確定度。3為了統(tǒng)一測量不確定度的評定和表示方法，ISO于1986年成立了一個(gè)名為ISO/TAG4/WG3工作組，參加該工作組的國際組織除了ISO外，還有IEC（國際電工委員會）、BIPM（國際計(jì)量局）、OIML（國際法制計(jì)量組織）、IUPAC（國際理論化學(xué)與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會）、IUPAP（國際理論物理與應(yīng)用物理聯(lián)合會）以及IFCC（國際臨床化學(xué)聯(lián)合會）等六個(gè)國際組織。1993年國際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO出版了《測量不確定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement，簡稱GUM），該指南是不確定度的權(quán)威性文獻(xiàn)，協(xié)調(diào)統(tǒng)一了評定和表示測量結(jié)果的通用規(guī)則，得到了世界各國的廣泛推廣和應(yīng)用。經(jīng)過多次修訂，目前的最新版本是2008版。

4三、有關(guān)不確定度的基本概念根據(jù)ISO不確定度評定指南的規(guī)范，測量結(jié)果的不確定度定義為：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)，或說明了置信水平的區(qū)間半寬度。測量不確定度由多個(gè)分量組成。其中一些分量可用測量列結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布估算，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。另一些分量則可用基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。測量結(jié)果應(yīng)理解為被測量之值的最佳估計(jì)，而所有的不確定度分量均貢獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的分量。5標(biāo)準(zhǔn)不確定度

Standarduncertainty用標(biāo)準(zhǔn)差表示的測量結(jié)果的不確定度，一般用符號U或u表示。對于不確定度分量，常加腳標(biāo)進(jìn)行表示，如等。標(biāo)準(zhǔn)不確定度按照其評定方法不同分為A類不確定度和B類不確定度。

6A類不確定度是基于測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)用單次測量值作為被測量的估計(jì)值時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度就是單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即

當(dāng)用n次測量的平均值作為測量的估計(jì)值時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為次測量平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。即7B類不確定度是基于經(jīng)驗(yàn)和其它信息假定的概率分布給出的標(biāo)準(zhǔn)偏差。其評定結(jié)果一般是根據(jù)極限值和被測量分布的信息直接估計(jì)出來的?？梢栽u定B類不確定度的信息來源有許多，如根據(jù)過去的測量數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠家的技術(shù)說明書、測量儀器的特性和其他相關(guān)資料、測量者的經(jīng)驗(yàn)與知識、假設(shè)的概率分布及其數(shù)字特征、檢定證書或校準(zhǔn)證書提供的擴(kuò)展不確定度導(dǎo)出等。

8相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度

用標(biāo)準(zhǔn)不確定度除以測量結(jié)果的最佳估計(jì)值，即可得到相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度。9

—第個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量；

—第和第個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量間的相關(guān)系數(shù)；

—不確定度分量的個(gè)數(shù)；

—合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

combinedstandarduncertainty

當(dāng)測量結(jié)果受多個(gè)因素影響而形成若干個(gè)不確定度分量時(shí)，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可通過這些標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到，稱其為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。10對于間接測量的情況，標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式

—輸出量估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

—輸入量估計(jì)值和的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

—由n個(gè)輸入量x影響的測量量，即

—偏導(dǎo)數(shù)，稱為靈敏系數(shù)；

—和在的相關(guān)系數(shù)。11特別地，當(dāng)和相互獨(dú)立時(shí)，，合成公式簡化為可以標(biāo)記

為靈敏度因子12擴(kuò)展不確定度expandeduncertainty擴(kuò)展不確定度規(guī)定了測量結(jié)果取值區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。JJF1059-1999規(guī)定，除計(jì)量學(xué)基礎(chǔ)研究、基本物理常數(shù)測量以及復(fù)現(xiàn)國際單位制單位的國際比對可以僅給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其余絕大部分測量均要求給出測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度。其中，包含因子k的值取決于被測量的概率分布情況。

正態(tài)分布包含因子與置信概率的關(guān)系包含因子k32.57621.96置信概率P99.739995.459513自由度degreesoffreedomJJF1001-1998《通用計(jì)量術(shù)語及定義》中給出自由度的定義為：在方差計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對和的限制數(shù)。一般地說，在沒有其他約束條件時(shí)，和的項(xiàng)數(shù)即是多次重復(fù)測量的次數(shù)n。由于每一個(gè)被測量都要采用其平均值，即要滿足殘差之和為零的約束條件，因而對和的限制數(shù)就是被測量的個(gè)數(shù)t。自由度就是n-t。14當(dāng)采用不確定度的A類評定時(shí)，可以證明自由度與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的準(zhǔn)確程度之間的關(guān)系為：

——被測量x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

——標(biāo)準(zhǔn)不確定度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

——標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度。由上式可見，自由度與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度有關(guān)，因此可以說，自由度是一種二階不確定度。一般來說，自由度表示所給標(biāo)準(zhǔn)不確定度的可靠程度或準(zhǔn)確程度，自由度越大，所得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度就越可靠。

15§2.2.2不確定度評定步驟一、找出所有影響測量不確定度的影響量二、建立滿足測量不確定度評定所需的數(shù)學(xué)模型三、確定各輸入量的估計(jì)值以及對應(yīng)于各輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（A類評定和B類評定）四、確定對應(yīng)于各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量并列出不確定度分量匯總表

五、確定合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度六、確定擴(kuò)展不確定度并給出測量不確定度報(bào)告1617一、找出所有影響測量不確定度的影響量原則：測量不確定度來源既不能遺漏，也不能重復(fù)計(jì)算，特別是對于比較大的不確定度分量。測量中導(dǎo)致測量不確定度的來源很多，一般說來主要有測量設(shè)備測量人員測量方法被測對象的不完善

18測量中，可能導(dǎo)致測量不確定度的因素很多，大體有以下幾個(gè)方面：1、被測量的定義不完整；2、復(fù)現(xiàn)被測量的方法不理想；3、取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代表所定義的被測量；4、對測量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識不充分，獲得環(huán)境參數(shù)的測量與控制不完善；5、對模擬式儀表的讀數(shù)存在人為的偏移；6、測量儀器的計(jì)量性能的局限性；7、測量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的不確定度；8、引用的數(shù)據(jù)或其他參數(shù)的不確定度；9、測量方法和測量程序的近似和假設(shè)；10、在相同條件下被測量在重復(fù)觀測中的變化。19二、建立滿足測量不確定度評定所需的數(shù)學(xué)模型建立被測量Y和所有各不確定度影響因素Xi之間的函數(shù)關(guān)系好的數(shù)學(xué)模型要求包括所有對測量不確定度有影響的輸入量，在測量不確定度的評定中，所考慮的各不確定度分量，要與數(shù)學(xué)模型中的輸入量一一對應(yīng)，既不重復(fù)，也不遺漏。這樣建立了數(shù)學(xué)模型后，測量不確定度就可以完全根據(jù)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了。

20三、確定各輸入量的估計(jì)值以及對應(yīng)于各輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度包括A類評定和B類評定兩種：A類評定指通過對一組觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并以實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征其標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方法；而所有不同于A類評定的其他方法均稱為B類評定，如基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的估算，也用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。21A類評定A類評定的基本方法——貝塞爾法在相同條件下對被測量X作n次獨(dú)立重復(fù)測量，得到的測量結(jié)果為，則X的最佳估計(jì)值可以用n次獨(dú)立測量結(jié)果的平均值表示：單次測量結(jié)果的不確定度，即上述測量列中的任何一個(gè)觀測值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用貝塞爾公式表示：n次測量結(jié)果的平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為：22對于A類評定，各種情況下的自由度為：用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，若測量次數(shù)為n，則自由度為；當(dāng)同時(shí)測量t個(gè)被測量時(shí)，自由度；若t個(gè)被測量之間有m個(gè)約束條件時(shí)，自由度。23B類評定當(dāng)信息來源為校準(zhǔn)證書或檢定證書時(shí)這些證書通常給出的是測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度和包含因子k。包含因子k的取值和被測量的分布有關(guān)，若證書指出了被測量的分布，則按照分布對應(yīng)的k值計(jì)算，若證書未給出被測量的分布，則按照國家技術(shù)規(guī)范JJF1059-1999，可以按照正態(tài)分布計(jì)算。根據(jù)擴(kuò)展不確定度和標(biāo)準(zhǔn)不確定度之間的關(guān)系，可以直接得到被測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

24當(dāng)信息來源于其他各種資料或手冊時(shí)通常得到的是被測量分布的極限范圍，也就是說，得到了被測量的可能值的分布區(qū)間的半寬a，即允許誤差限的絕對值。由于a可以看作為對應(yīng)于置信概率p=100%的置信區(qū)間的半寬度，所以實(shí)際上a就是該被測量的擴(kuò)展不確定度，于是被測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可表示為，包含因子k的取值和被測量的分布有關(guān)。

25四、確定對應(yīng)于各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量并列出不確定度分量匯總表設(shè)不確定度來源的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為，被測量與之間的函數(shù)關(guān)系為，則對應(yīng)于該來源的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為

這一步實(shí)際上是進(jìn)行單位換算，由單位通過換算到被測量的單位。26列出不確定度匯總表有利于對不確定度評定進(jìn)行分析，檢查，比較和交流。尤其是對測量準(zhǔn)確度要求較高、不確定度分量較多的測量，由匯總表可以立即看出哪些不確定度分量對測量結(jié)果起主要作用。

27五、確定合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度若一個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)或多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和，則該隨機(jī)變量的方差等于各個(gè)分量方差之和，即若隨機(jī)變量Y和各輸入量Xi之間滿足且各輸入量之間相互獨(dú)立，則根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的定義，方差即是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方，故28若Y滿足一般式，則

，稱為不確定度分量。29方差合成定理是測量不確定度評定的基礎(chǔ)。根據(jù)方差合成定理，對各相互獨(dú)立的不確定度分量進(jìn)行合成時(shí)，滿足方差相加的原則，而與各個(gè)分量的來源、性質(zhì)以及分布無關(guān)。根據(jù)方差合成定理，當(dāng)各不確定度來源彼此間獨(dú)立無關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為30六、確定擴(kuò)展不確定度并給出

測量不確定度報(bào)告從測量過程到運(yùn)算結(jié)果作為整體來考慮，分析被測量大致屬于什么概率分布形式，選擇置信概率P來確定包含因子k，擴(kuò)展不確定度等于合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與包含因子k的乘積，用符號表示。31無法判斷被測量Y的分布此時(shí)，只能假設(shè)一個(gè)包含因子數(shù)值，一般取2或3，在大多數(shù)情況下取2，擴(kuò)展不確定度為。這時(shí)無法確定擴(kuò)展不確定度所對應(yīng)的置信概率。32測量不確定度報(bào)告中簡要給出測量結(jié)果及其不確定度，以及如何由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到擴(kuò)展不確定度。報(bào)告應(yīng)給出盡可能多的信息，避免用戶對所給不確定度產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解。報(bào)告中測量結(jié)果及其不確定度的表達(dá)方式應(yīng)符合JJF1059—1999的規(guī)定，同時(shí)應(yīng)注意測量結(jié)果及其不確定度的有效數(shù)字位數(shù)。33比較重要的測量，不確定度報(bào)告應(yīng)包括以下內(nèi)容：數(shù)學(xué)模型和對應(yīng)于各輸入量的靈敏系數(shù)；修正值和常數(shù)的來源及其不確定度；輸入量的實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)及其估計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定方法及其量值和自由度，并將其列表；對所有相關(guān)輸入量給相互協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)及其獲得方法；測量結(jié)果對數(shù)據(jù)處理程序，該程序應(yīng)易于重復(fù)，必要時(shí)報(bào)告結(jié)果的計(jì)算應(yīng)能獨(dú)立重復(fù)。34§2.2.3不確定度評定舉例例1對電壓進(jìn)行了10次測量，測量結(jié)果分別為：解：1、計(jì)算算數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差：測量次數(shù)12345678910電壓值V401.0400.1400.9399.4396.8400.0401.0402.0399.9399.8352、計(jì)算有無錯(cuò)值：殘差的絕對值最大值為，查表得到（置信概率為95%）表達(dá)式成立，因此為錯(cuò)值，剔除。

測量次數(shù)12345678910電壓值V401.0400.1400.9399.4396.8400.0401.0402.0399.9399.8殘差3.29363、重新計(jì)算9個(gè)數(shù)據(jù)的算數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差：374、再次計(jì)算有無錯(cuò)值：殘差的絕對值最大值為，查表得到（置信概率為95%）表達(dá)式成立，因此9個(gè)數(shù)據(jù)中沒有錯(cuò)值。測量次數(shù)123456789電壓值V401.0400.1400.939