第3章 動(dòng)量角動(dòng)量

一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式為則該質(zhì)點(diǎn)作（）（A）勻速直線運(yùn)動(dòng)（B）變速直線運(yùn)動(dòng)（C）拋物線運(yùn)動(dòng)（D）一般曲線運(yùn)動(dòng)B一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，僅受到力的作用，式中k為常量,為從某一定點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的矢徑。該質(zhì)點(diǎn)在處被釋放，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)它到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的速率為

。解：一冰塊由靜止開始沿與水平方向成傾角的光滑斜屋頂下滑10m后達(dá)到屋緣。若屋緣高出地面10m，則冰塊從脫離屋緣到落地過程中越過的水平距離為

。（忽略空氣阻力，g值?。┙猓簩⒈鶋K的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)過程來(lái)分析：第一個(gè)過程，即冰塊從靜止沿光滑斜面運(yùn)動(dòng)到屋緣處。mgNxyX方向：運(yùn)動(dòng)到屋檐處時(shí)的速度大小為：第二個(gè)過程為拋體運(yùn)動(dòng)，建立坐標(biāo)系如圖所示。我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在時(shí)間上的積累效應(yīng)：平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量

牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。但在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射第三章

動(dòng)量與角動(dòng)量

本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動(dòng)量定理

§3-6質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理

§3-2動(dòng)量守恒定律§3-7角動(dòng)量守恒定律§3-3火箭飛行原理

§3-8質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理§3-4質(zhì)心

§3-9質(zhì)心參考系中的角動(dòng)量§3-5質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§3-1沖量與動(dòng)量定理

沖量力對(duì)時(shí)間的積累定義：力與作用時(shí)間的乘積，常用表示單位：牛頓·秒

沖量的計(jì)算

恒力的沖量

變力的沖量積分，得：

沖量的分量形式說明：沖量是矢量，是過程量。

動(dòng)量定義：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，即：

動(dòng)量的分量形式：

動(dòng)量是矢量動(dòng)量是描述物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量——狀態(tài)量。

動(dòng)量定理從牛頓第二定律出發(fā)，并根據(jù)動(dòng)量的定義可得：——

力的作用可以使動(dòng)量變化上式可改寫為：——

力對(duì)時(shí)間的積累等于動(dòng)量增量微分形式考慮一段過程，力作用一段時(shí)間，兩端積分：積分形式動(dòng)量定理的分量形式：注意：動(dòng)量定理只適用于慣性系。

沖力物體受到?jīng)_擊，動(dòng)量會(huì)明顯改變。沖擊過程持續(xù)一般時(shí)間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時(shí)間短、量值大的特點(diǎn)，通常是變力。Fx(t)t平均沖力：沖量可表為F為恒力時(shí)，可以得出I＝FtF為變力時(shí)，為求平均值提供了一個(gè)有效方法:例：質(zhì)量分別為和，速度分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A和B，受到相同的沖量作用，則[](A)A的動(dòng)量增量的絕對(duì)值比B小(B)A的動(dòng)量增量的絕對(duì)值比B大(C)A、B的動(dòng)量增量相等(D)A、B的速量增量相等C例、質(zhì)量為2.5g的乒乓球以10m/s的速率飛來(lái)，被板推擋后，又以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為45o和30o，求：（1）乒乓球得到的沖量；（2）若撞擊時(shí)間為0.01s，求板施于球的平均沖力的大小和方向。45o30o

nv2v145o30o

nv2v1Oxy解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用時(shí)間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對(duì)球的沖力為則有：取坐標(biāo)系，將上式投影，有：為I與x方向的夾角。

[例]

一柔軟繩長(zhǎng)l

，線密度r，一端著地開始自由下落，下落的任意時(shí)刻，給地面的壓力為多少？ox證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時(shí)刻已有(l-y)長(zhǎng)的柔繩落至桌面，隨后的dt時(shí)間內(nèi)將有質(zhì)量為

dy的柔繩以

dy/dt的速率碰到桌面而停止，它的動(dòng)量變化為：根據(jù)動(dòng)量定理的微分形式，有：桌面對(duì)柔繩的沖力為：柔繩對(duì)桌面的沖力F＝－F’即：而已落到桌面上的柔繩的重量為所以給地面的壓力為：例：如圖所示，圓錐擺的擺球質(zhì)量為，速率為，圓半徑為。當(dāng)擺球在軌道上運(yùn)動(dòng)半周時(shí)，求擺球所受重力沖量的大小，拉力沖量的大小和合外力的沖量大小。解：根據(jù)沖量定義可得擺球所受重力的沖量大小為：根據(jù)動(dòng)量定理可得合外力沖量為：選擺球初速度的方向?yàn)檎鮿?dòng)量為，在軌道上運(yùn)動(dòng)半周后，此時(shí)擺球速度的方向恰好與正方向相反，即擺球的末動(dòng)量為即合外力沖量的大小為，負(fù)號(hào)表示與所選正方向相反。小球所受拉力沖量的大小為：例：力作用在質(zhì)量m=2kg的物體上,使之從靜止開始運(yùn)動(dòng),則物體在3秒末的速度為

。解：由動(dòng)量定理分量式，有[例]一輛運(yùn)煤車以的速率v從煤斗下面通過，煤從煤斗中以恒定的速率b

=

dm/dt裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時(shí)刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時(shí)間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點(diǎn)系。水平方向運(yùn)用動(dòng)量定理：鉛直方向:略去二階無(wú)窮小量：解得克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對(duì)車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動(dòng)量所需牽引力解的意義：§3-2動(dòng)量守恒定律

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

（外力、內(nèi)力）n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以矢量和為零。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式最后簡(jiǎn)寫右邊令：（積分形式）如果質(zhì)點(diǎn)系所受和外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：守恒動(dòng)量守恒定律：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變。

動(dòng)量守恒是指質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量不變。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)

點(diǎn)的動(dòng)量是可以變化的，質(zhì)點(diǎn)通過內(nèi)力的作用交換

動(dòng)量。說明：則有，常矢量

動(dòng)量守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無(wú)關(guān)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力時(shí)，可以忽略外力的作用，近似地認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒。例如：碰撞、爆炸等問題。

動(dòng)量守恒定律的分量形式：若某個(gè)方向上合外力為零，則該方向上動(dòng)量守恒，盡管總動(dòng)量可能并不守恒。

動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律只在慣性系中成立。動(dòng)量守恒定律是牛頓定律的必然推論，但它是自然界的普遍規(guī)律，不依賴于牛頓定律而成立，宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。解題步驟：1．選好系統(tǒng)，分析要研究的物理過程；2．進(jìn)行受力分析，判斷守恒條件；3．確定系統(tǒng)的初動(dòng)量與末動(dòng)量；4．建立坐標(biāo)系，列方程求解；5．必要時(shí)進(jìn)行討論。例題：水平光滑鐵軌上有一車，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m2，車的一端有一人，質(zhì)量為m1，人和車原來(lái)都靜止不動(dòng)。當(dāng)人從車的一端走到另一端時(shí)，人、車各移動(dòng)了多少距離？

解：以人、車為系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，動(dòng)量守恒。設(shè)人和車相對(duì)地面的速度分別為和，建立坐標(biāo)系如圖所示，則有：人相對(duì)于車的速度設(shè)人在時(shí)間t內(nèi)從車的一端走到另一端，則有在這段時(shí)間內(nèi)人相對(duì)于地面的位移為

小車相對(duì)于地面的位移為

§3-3火箭飛行原理

“神州”號(hào)飛船升空火箭在無(wú)大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動(dòng)力。由于無(wú)外力作用，動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律設(shè)M為火箭在t時(shí)刻的總質(zhì)量，dt時(shí)間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對(duì)火箭以u(píng)的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時(shí)刻t+dt時(shí)刻t時(shí)刻總動(dòng)量t+dt時(shí)刻總動(dòng)量積分火箭受燃料的反沖力為多級(jí)火箭第一宇宙速度

結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對(duì)噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對(duì)數(shù)。

火箭通過噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt?！?-4質(zhì)心

質(zhì)心——質(zhì)量中心。質(zhì)心的位置矢量表為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)

。則質(zhì)心

C的坐標(biāo)定義為xzOy

質(zhì)心的定義質(zhì)心的位矢隨坐標(biāo)系的選取而變化；但對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心的位置是固定的。對(duì)于密度均勻,形狀對(duì)稱的物體,其質(zhì)心在物體的幾何中心處;質(zhì)心不一定在物體上，例如圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上；質(zhì)心和重心是兩個(gè)不同的概念,對(duì)于不太大的實(shí)物，質(zhì)心與重心重合。(重心：重力作用點(diǎn))說明：對(duì)連續(xù)質(zhì)量的物體，質(zhì)心位置可用積分式計(jì)算：質(zhì)元dm視為質(zhì)點(diǎn)

[例]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和

m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點(diǎn)在地球中心。

LmMOxC

[例]

求質(zhì)量均勻分布的半球體的質(zhì)心位置。解：由對(duì)稱性可知，質(zhì)心在半球體的對(duì)稱軸（圖中z軸）上，只需算出zC。如圖，取的薄片dm，設(shè)密度為。zCzdz即質(zhì)心到圓心的距離為半徑的?！?-5質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度的乘積。質(zhì)心速度與質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理說明質(zhì)心速度不變就是動(dòng)量守恒（同義語(yǔ)）（1）它與牛頓第二定律在形式上完全相同，相當(dāng)于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中于系統(tǒng)的質(zhì)心，在合外力的作用下，質(zhì)心以加速度ac

運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心代替質(zhì)點(diǎn)系整體的平動(dòng)。不變（2）當(dāng)合外力為零時(shí)，質(zhì)心加速度ac=0，運(yùn)動(dòng)員跳水投擲手榴彈（3）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明了“質(zhì)心”的重要性只要外力確定，不管作用點(diǎn)怎樣，質(zhì)心的加速度就確定，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡就確定，即質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)就確定。例題：水平光滑鐵軌上有一車，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m2，車的一端有一人，質(zhì)量為m1，人和車原來(lái)都靜止不動(dòng)。當(dāng)人從車的一端走到另一端時(shí)，人、車各移動(dòng)了多少距離？

解：動(dòng)量守恒問題也可以利用質(zhì)心速度不變求解。

分析：人和車構(gòu)成的系統(tǒng)，在水平方向上不受力，因而水平方向的質(zhì)心速度不變。又因?yàn)樵瓉?lái)質(zhì)心靜止，所以在人走動(dòng)過程中質(zhì)心始終靜止，因而質(zhì)心的坐標(biāo)值不變。當(dāng)人在左端時(shí)，人和車的質(zhì)心坐標(biāo)為當(dāng)人在右端時(shí)，人和車的質(zhì)心坐標(biāo)為由得：又有：則：

[例]

一柔軟繩長(zhǎng)l

，線密度r，一端著地開始自由下落，下落的任意時(shí)刻，給地面的壓力為多少？\yoy解：由圖中可看出,下落的繩子質(zhì)心的坐標(biāo)yC

是隨繩子的下落而改變的,按如圖所選的坐標(biāo),其質(zhì)心位于

\yoyyC作用于繩子的合力為：其中，為桌面對(duì)繩子的壓力。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，因此，繩子對(duì)桌面的壓力的大小為例3：水平桌面上拉動(dòng)紙，紙張上有一均勻球，球的質(zhì)量M，紙被拉動(dòng)時(shí)與球的摩擦力為F，求：t

秒后球心相對(duì)桌面移動(dòng)多少距離？xo解：即：球心做勻加速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)：t=0時(shí),xco=o，vco=0

思考：摩擦力F的方向?c則有：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：§3-6質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理

引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量（定義）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)具有動(dòng)量，由慣性系中某一固定點(diǎn)O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為的大?。旱姆较颍捍怪庇诤蜆?gòu)成的平面。右手螺旋法則贗矢量單位：kg·m2·s-1說明：角動(dòng)量是矢量。

角動(dòng)量的分量式：同一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于不同的點(diǎn)，角動(dòng)量不同。在說明質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言的。在角動(dòng)量的定義中并未對(duì)質(zhì)點(diǎn)做何種運(yùn)動(dòng)加以限制，即使質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，在選定固定點(diǎn)后，仍可引進(jìn)角動(dòng)量的概念。例1、一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：其中a、b、皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解：已知質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度沿一直線運(yùn)動(dòng)，則它對(duì)直線外垂直距離為d的一點(diǎn)的角動(dòng)量大小是

。解：例：已知地球的質(zhì)量，地球與太陽(yáng)的中心距離，若近似認(rèn)為地球繞太陽(yáng)作勻速率運(yùn)動(dòng)，，求地球?qū)μ?yáng)的角動(dòng)量。解：如圖所示，O點(diǎn)為太陽(yáng)中心，地球?qū)μ?yáng)中心的角動(dòng)量為：因?yàn)榕c垂直，角動(dòng)量大小為：方向：垂直于和構(gòu)成的平面，方向向上。

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

力矩的定義（對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系中的某一固定點(diǎn)，由它指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的力矩為的大小：

角動(dòng)量定理（對(duì)點(diǎn)）考慮角動(dòng)量的變化率：角動(dòng)量定理

：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即注意：合外力矩和角動(dòng)量是對(duì)某慣性系中同一固定點(diǎn)的。微分形式?jīng)_量矩積分形式§3-7角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律：如果對(duì)于某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的

角動(dòng)量保持不變。角動(dòng)量定理：說明（1）角動(dòng)量守恒定律是自然界普遍適用的一條規(guī)律。（2）角動(dòng)量守恒的條件：（3）動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒是相互獨(dú)立的定律實(shí)現(xiàn)上述條件，可以是還可能是

與

平行或反平行，例如有心力情況。動(dòng)量不守恒角動(dòng)量守恒如行星運(yùn)動(dòng)例：我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅”繞地球運(yùn)行的軌道為一橢圓，地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)距地心分別為和，在近地點(diǎn)時(shí)的速度為，求衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度。解：衛(wèi)星在軌道上任一處受地球的引力始終指向地心，引力對(duì)地心的力矩為零，因此衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量守恒，即近地點(diǎn)的角動(dòng)量等于遠(yuǎn)地點(diǎn)的角動(dòng)量。例：光滑水平臺(tái)面上有一質(zhì)量為m的物體栓在繩的一端，輕繩的另一端穿過臺(tái)面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初始角速度作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。手拉著繩以勻速率v向下運(yùn)動(dòng)，使半徑逐漸減小，求半徑減小為是物體的角速度；若以向下開始拉動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求角速度與時(shí)間的關(guān)系。解：在水平方向上，物體只受繩的拉力作用，拉力對(duì)小孔的力矩為零，物體對(duì)小孔的角動(dòng)量守恒，即：考慮到，應(yīng)有：再按題意，，代入上式，§3-8質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的總角動(dòng)量定義為：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和，即質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量