第3章 流體動力學(xué)

第3章

流體動力學(xué)流體動力學(xué)主要研究流體在外力作用下的運動規(guī)律。

實際流體有粘性，運動流體中存在粘性力,研究起來復(fù)雜。為簡單起見，先從理想流體（無粘性流體）開始。流場：充滿運動流體的空間。

動力學(xué)：研究流體質(zhì)點在流場中所占有的空間的一切點上，運動參數(shù)（速度、加速度、密度、壓力、粘性力）隨時間和空間位置的分布和連續(xù)變化規(guī)律。3.1.1研究流體運動的兩種方法

歐拉法

——出發(fā)點是流場中的空間點，研究流體質(zhì)點通過空間固定點時的運動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。以速度作為描述流體在空間變化的變量，即主要研究流體速度在空間的分布。在研究流體運動時得到廣泛應(yīng)用?！?.1流體運動的基本概念

拉格朗日法——出發(fā)點是流體空間內(nèi)每一流體質(zhì)點的運動軌跡以及運動參數(shù)（速度、壓強、加速度等）隨時間的變化。綜合所有流體質(zhì)點的運動，得到整個流體的運動規(guī)律。研究流體的波動和振動問題時常用此法。研究流體運動時，希望了解整個流場的速度分布，壓力分布及其變化規(guī)律

速度可表示為空間（x，y，z）及時間（t）的函數(shù),即加速度(以x方向為例):將上式兩端除以dt,得↑↓（3.1）（3.2）壓強也可表示為類似可得到y(tǒng)和z方向的(全)加速度加速度可進一步表示為↑↓當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）,即通過空間固定點的流體質(zhì)點速度隨時間的變化率。

遷移加速度

（位變加速度）

，即同一瞬間流體質(zhì)點從一個空間點轉(zhuǎn)移到另一個空間點的速度變化率。3.1.2穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流非穩(wěn)定流--運動參數(shù)隨位置、時間變化。

穩(wěn)定流--運動參數(shù)只隨位置變化，不隨時間變化。

↑↓穩(wěn)定流的數(shù)學(xué)條件：

示例:↑↓3.1.3流場的描述1、

跡線：同一質(zhì)點一段時間內(nèi)運動的軌跡線。每一質(zhì)點有一跡線，與時間無關(guān)。觀看錄像1，22、

流線：同一時刻，不同質(zhì)點的流動方向線。如下圖示?！骶€含義：

（1）流場中某時間的一條空間曲線；

（2）在該線上各流體質(zhì)點的速度方向與該曲線的切線方向相重合。觀看錄像流線特征：（1）非穩(wěn)定流時，隨時間改變；

（2）穩(wěn)定流時，不隨時間改變(此時流線上質(zhì)點的跡線與流線重合)；（3）流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折；（4）流線疏密的含義：反映流速大小。

↑↓3.1.4流管與流束

流線只能表示流場中質(zhì)點的流動參量，但不能表明流過的流體數(shù)量。

流管--取流場內(nèi)一封閉線l，在曲線上各點作流線，構(gòu)成的管狀表面?！?/p>

流束--在流管內(nèi)取一微小曲面dA，通過曲面dA上各點作流線，這一實心流線束叫流束。有效斷面－曲面dA與流束中每一根流線都正交，則dA稱為有效斷面或有效流通截面。↑↓3.1.5流量和平均速度

流量：單位時間流過的流體的量

質(zhì)量流量體積流量微小流束的體積流量總流的體積流量質(zhì)量流量流管中單位時間流過流量

工程上管道中流體流速多指平均流速

于是有：↑↓實際流體具有粘性，因此任一有效斷面上各點的速度大小是不相等的。圖3.6為流體在圓管中的速度分布曲線，為了計算方便，引入平均流速的概念。3.2

連續(xù)性方程流體是連續(xù)介質(zhì)，流體流動時連續(xù)地充滿它所占據(jù)的空間。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對于空間固定的封閉曲面，流入流出的流體質(zhì)量差等于流體質(zhì)量累積。反應(yīng)這個原理的數(shù)學(xué)關(guān)系式就是連續(xù)性方程?！?.2.1直角坐標系的連續(xù)性方程推導(dǎo)方法：微元平衡法建立控制體的質(zhì)量守恒：(圖3.7)↑↓3.7D點坐標（x，y，z）

邊長dx、dy、dz設(shè)D點處流體質(zhì)點速度為ux，uy，uz。密度為ρ。

微元控制體的質(zhì)量守恒：

單位時間輸入微元體的質(zhì)量—輸出的＝累積單位時間內(nèi)、x方向：

時間dt內(nèi)，x方向流入流出之差：

同理，y方向：

z方向：

↑↓dt時間內(nèi)x、y、z三方向流入流出差的總和：

質(zhì)量累積：

累積（變化）：

輸入輸出差=累積［即（3.22）=（3.23）］：

↑↓對單位時間、單位空間：

（3.25）式即是流體的連續(xù)性方程。所有研究的連續(xù)性流體都要滿足這個方程。

物理意義：流體在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)。（3.25）式展開：

下面化簡：

↑↓∵ρ＝f(x，y，z，t)是位置、時間的函數(shù)。有全微分

∴對時間的全導(dǎo)數(shù)

(b)代入(a)，方程兩邊同除以ρ:

引入哈密頓算子：

所以又:↑↓則(3.25)變?yōu)椋?/p>

連續(xù)性方程給出了流體運動的速度場必須滿足的條件，這是一個運動學(xué)方程。加上后面講的流體動量傳輸方程（流體在運動中受的力與流動參量之間的關(guān)系）就可以求解流體流動問題。幾種簡化條件：

1）對于可壓縮流體穩(wěn)定流動：

↑↓∴（3.25）變?yōu)椋?/p>

即可壓縮性流體穩(wěn)定流動的三維連續(xù)性方程。

上式的物理意義：穩(wěn)定流時單位時間流經(jīng)單位空間流出與流入的質(zhì)量相等?；颍嚎臻g體內(nèi)質(zhì)量保持不變。2)對于不可壓縮流體：ρ＝常數(shù)（3.25）變?yōu)椋?/p>

（3.27）即不可壓縮流體流動的空間連續(xù)性方程。

↑↓（3.27）物理意義：對不可壓縮流體，單位時間單位空間內(nèi)流體體積保持不變。

3.2.2一維總流的連續(xù)性方程

一維流動：

uy=uz=0

設(shè)有一微小流束（圖3.8），對可壓縮穩(wěn)定流，一流束兩斷面面積分別為dA1、dA2，應(yīng)用流束的連續(xù)性方程，有:流入=流出↑↓則有（3.33）式物理意義：對可壓縮流體穩(wěn)定流，沿流程的質(zhì)量流量保持不變。

對不可壓縮流體：ρ=常數(shù)。（3.31）變?yōu)椋?/p>

（3.34）、（3.35）式物理意義：對不可壓縮流體沿流程體積流量不變，即斷面大，流速小，斷面小，流速大?！ˇ?=ρ1均,ρ2=ρ2均,對（3.31）式兩邊積分：

設(shè)v1，v2是平均速度，A1，A2是有效斷面面積：

或

3.3理想流體動量傳輸方程－歐拉方程

↑↓

連續(xù)性方程是流體運動速度場必須滿足的條件，是一個運動學(xué)方程。要處理流體流動問題還要有流體在運動中所受的力、動量、流動參量之間的關(guān)系，即理想流體動力學(xué)方程。方程推導(dǎo)依據(jù)：動量守恒定律。

作用在控制體上的合外力=控制體的質(zhì)量×加速度

動量方程是牛頓運動第二定律F=ma在流體流動現(xiàn)象上的應(yīng)用，即流體運動方程，因作用力與動量率相當(dāng)，故稱為動量方程。ma=F因次分析

↑↓作用在微元體上的力取微元體dxdydz：微元體中心坐標A(x，y，z)(圖3.10)x方向：

（1）壓力：

↑↓（2）體積力：

設(shè)單位質(zhì)量力在x方向分量為X,則微元體x方向上體積力：Xρdxdydz（3）流體加速度：

同理可得：

（3.38）式即理想流體的動量平衡方程，即歐拉方程。

↑↓適用于：可壓縮、不可壓縮流體，穩(wěn)定流，不穩(wěn)定流。

（3.38）式用矢量表示：

式中W—質(zhì)量力，W=iX+jY+kZ;

－實質(zhì)導(dǎo)數(shù)，即加速度。若單從ｘ軸計算，就是式（３.5）。↑↓－壓力梯度，壓力本身是個標量，而壓力梯度是矢量。

4個變量ux，uy，uz，P，三個動量方程，加上連續(xù)性方程（3.25）,可求解流體流動問題。方程（3.40）中：一般情況下X、Y、Z是已知的，對不可壓縮流體ρ=常數(shù)。代入（3.38）得：

↑↓3.4實際流體動量傳輸方程：納維爾—斯托克斯方程

↑↓微元體受力分析(x方向)：

微元體A點坐標x、y、z，邊長dx，dy，dz。應(yīng)力下標的意義:i：表示應(yīng)力作用面的法線方向；j:表示應(yīng)力方向。↑↓法向受力:切向受力：

↓↑體積力：同理想流體，x方向分量Xρdxdydz慣性力：ma(x方向)→

將上述各力代入x方向的動量平衡方程

max=F，有（體積力）（法向力）（切向力）（慣性力）兩邊同除以dxdydz:

同理可得y、z方向的方程，此即實際流體動量傳輸方程。

↑↓(3.41)（3.42）式與（3.38）式類似，只是多了切應(yīng)力項。

↑↓考慮到流體直線變形會產(chǎn)生附加法向應(yīng)力，其方向與直線變形方向相反，大小為動力粘度與直線變形速度乘積之兩倍。將式（3.44）和式（3.43）代入式（3.42）中可得

運用廣義牛頓粘性定律，即：將一維牛頓粘性定律推廣到三維：對于不可壓縮流體ρ=常數(shù)，根據(jù)連續(xù)性方程，上式最后一項為0：

上式兩邊同除以ρ，

↑↓同理可得y、z方向方程。(3.45)應(yīng)用拉普拉斯算子：

同理可得y，z方向的方程。

（3.47）式即實際流體的動量守恒方程，又稱納維爾—斯托克斯方程（N—S方程）。

矢量表達示：上式可改為用實質(zhì)導(dǎo)數(shù)符號表示u對t的三個導(dǎo)數(shù)，則上式可改寫為↑↓

如果是無粘性流體：μ＝0，則（3.47）式變?yōu)椋?.38）（3.39）式。物理意義：壓力+粘滯力+質(zhì)量力（或重力）=質(zhì)量×加速度。

（3.47）改寫為：

↑↓作業(yè)：P602，3，4↓↑參考答案：不連續(xù)3.vB=4.5m/s,vD=10.9m/sv1=0.625m/s,v2=2.5m/s

Qm=491kg/s第3章復(fù)習(xí)思考題1、試給出液體加速度的表達式，并說明什么是當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度？2、寫出穩(wěn)定流的數(shù)學(xué)表達式。3、推導(dǎo)連續(xù)方程的基本依據(jù)是什么？寫出連續(xù)方程的物理意義。4、試從流體的連續(xù)性方程推導(dǎo)出不可壓縮穩(wěn)定流時的連續(xù)性方程?！?.5理想流體和實際流體的伯努利方程↑↓（2）流體不可壓縮ρ＝常數(shù)；

3.5.1理想流體沿流線的伯努利方程

流體動量守恒方程在一定條件下的積分形式，表述運動流體所具有的能量以及各種能量之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律。

積分條件：（1）單位質(zhì)量力(X，Y，Z)定常有勢，跡線方程：穩(wěn)定流時，跡線與流線重合，對流線來說同樣滿足此關(guān)系。（3）流動是穩(wěn)定流：↑↓ρ＝常數(shù)，（3.49）式可寫為：

（3.50）代入（3.48）得：

（3.49）分別乘以dx，dy，dz，相加：

(3.48)動量方程：（3.38）（3.49）式即單位質(zhì)量流體所受的外力和運動關(guān)系的全微分方程。沿流線（流程）積分（點乘dl）：

(3.51)↑↓對同一流線上任意兩點1和2有：（3.52）兩邊同除以－g：對于重力場：X=0Y=0Z=－g

(3.51)式即理想流體運動微分方程的伯努利積分，表明在有勢質(zhì)量力的作用下，理想不可壓縮流體作穩(wěn)定流時，沿流程不變。（3.52）即是只有重力作用下的穩(wěn)定流動、理想的不可壓縮流體沿流線的運動方程式的積分形式，稱為伯努利方程?！耄?.51）得：3.5.2實際流體沿流線的伯努利方程

↑↓和討論理想流體的伯努利方程一樣，實際流體運動微分方程的積分問題仍在同樣特定條件下進行討論。實際流體N-S方程質(zhì)量力有勢當(dāng)ρ為常數(shù)↑↓全微分形式因此可得將上述三項代入移項后可得↑↓將式（3.56）中的各個方程，對應(yīng)乘以dx、dy、dz，然后相加，得式中為單位質(zhì)量實際流體粘性切應(yīng)力所做的功，粘性切應(yīng)力方向與流體流動方向相反，故所做的功應(yīng)為負功。令式中

WR：阻力功(J/kg)，即單位質(zhì)量流體由于粘性而產(chǎn)生的切向力（阻力）所作的功。

將式（3.58）代入式（3.57），得↑↓將上式沿流線積分，得式中WR2－WR1：單位質(zhì)量實際流體自點1到點2過程中內(nèi)摩擦力作功的增量，單位:J/kg上式就是實際流體運動微分方程的伯努利積分。若在同一流線上任取1、2兩點，可得當(dāng)質(zhì)量力僅為重力伯努利方程的幾何意義、物理意義↑↓令動到點2的過程中，內(nèi)摩擦力做功所消耗的損失水頭，單位：m。則上式可寫成表示單位質(zhì)量實際流體自點1運或上式就是實際流體的伯努利方程。即流體在流動過程中沿程總比能相等或總水頭相等。幾何意義：

式中Z---位置水頭;

H---總水頭;↑↓m物理意義：

——比位能;

——比壓能,即單位質(zhì)量流體流經(jīng)該點時所具有的壓力能;

——比動能;式中C——

總比能E

;↑↓--比能量損失，單位質(zhì)量流體的摩擦阻力功?！?.5.3實際流體總流的伯努利方程

前面講的是對于流束的伯努利方程。

通過一個流道的流體的總流量是由許多流束組成的，整個流道內(nèi)總流的伯努利方程即是在總流道截面內(nèi)積分。

↓緩變流區(qū)——流道中流線之間的夾角很小，且流線趨于平行近似直線。設(shè)有不可壓縮實際流體做穩(wěn)定流動，如圖，取一微小流束，其伯努利方程為沿有效斷面對流量積分用平均參量表示(推導(dǎo)過程略)，結(jié)果為：

hWg---通過流道截面1與2之間的距離時，單位質(zhì)量流體的平均能量損失;（3.65）式即實際流體經(jīng)流道流動的伯努利方程。

α1，α2---動能修正系數(shù)，式中

伯努利方程與連續(xù)性方程和后面要講的動量方程一起，可解決許多工程問題。

↑↓一般α=1.05-1.10，工程計算中可取α=13.6

伯努利方程的應(yīng)用↑↓3.6.1應(yīng)用條件

2)流體運動必須是穩(wěn)定流；

5)兩有效斷面符合緩變流條件（兩個斷面之間可以不是緩變流區(qū)）；

4)沿程流量不變。如有分支，按總能量守恒列出；

6)兩有效斷面間沒有能量輸入輸出。如有，應(yīng)加上，如（3.65）式可寫為：1)不可壓縮流體（氣流速度＜50m/s）；

↑↓3)只在重力作用之下（質(zhì)量力只有重力）；

↑3.6.2畢托管

↓用于測量運動流體中某點流速的儀器。在1、2斷面列伯努利方程在彎管端頭處u2=0↑↓當(dāng)1、2兩點很近，忽略其間的能量損失h’w=0則即式中p1稱為靜壓；稱為動壓；稱為全壓；由全壓和靜壓之差可求出u即畢托測速管ρ——被測流體的密度；ρ1——U形壓差計內(nèi)液體的密度。壓差計

將全壓管和靜壓管分別接壓差計。↑3.6.3文丘里管

↓用于測量管路中流體流量的儀器。由漸縮管、喉管和漸擴管組成。在1－1、2－2斷面列總流的伯努利方程：根據(jù)連續(xù)性方程，兩個斷面處流量相等代入（3.71）式取動能修正系數(shù)d1d2↓↑↓由此得設(shè)則式（3.72）可寫成或式中對于某一固定尺寸的文丘里管，C值為常數(shù)。↑↓理想情況下的流量為若考慮能量損失，應(yīng)乘以修正系數(shù)μμ值由實驗確定，通常為0.95～0.99工程上常用的還有孔板流量計、噴嘴流量計等。例3.3注意：第一個斷面選在鋼液上表面（自由表面），可以利用z1=0及v1≈0使方程簡化。根據(jù)(3.65)式:有:↓↑忽略沿程損失水頭hw=0取動能修正系數(shù)因此有由總質(zhì)量平衡原理將(a)式代入(b)式，得忽略柱塞的體積，有包內(nèi)金屬質(zhì)量由(c)式得↓↑由(d)式得聯(lián)立(e)式和(f)式化簡根據(jù)題意，按下列范圍積分↓↑積分后可得因此金屬液的澆注時間↓↑例3-4（1）因流速不高，流程短，忽略能量損失；（2）低壓空氣，可視為不可壓縮無粘流體。在1－1，2－2斷面列總流伯努利方程式：↑↓測量風(fēng)量風(fēng)機流量常用的集流管試驗裝置。z1=z2=0,v1=0,取動能修正系數(shù)水的重度故風(fēng)量↑↓上式化簡為3.7

穩(wěn)定流的動量方程及其應(yīng)用↑↓

工程上有時需要了解運動流體與固體邊界面上的相互作用力，這時伯努利方程就不適用了。用動量方程可以解決此類問題。

3.7.1穩(wěn)定流動的動量方程

根據(jù)質(zhì)點系的動量定律：質(zhì)點系動量對時間的微商，等于作用在該質(zhì)點上諸外力之和，即：

將這一理論引入到穩(wěn)定流動中，可得到穩(wěn)定流動的動量方程。如果用符號M表示動量，則：↑↓

動量的變化就是流速段1’－２’的動量與流速段1－２的動量兩量之差：

流道中連續(xù)流動的流體的某一定界面區(qū)稱為分離體（控制體），分離體的界面叫做分離面（控制面）?！龑⑸鲜酵茝V到總流中去，得按穩(wěn)定流的連續(xù)性條件，有用平均流速v代替實際流速u，動量變化率可寫為其中式中，β為動量修正系數(shù)，由斷面上流速分布的均勻程度決定。在直管的高速水流中β＝1.02～1.05，工程上常取1。引入動量修正系數(shù)推導(dǎo)結(jié)果：不可壓縮流體穩(wěn)定流動總流的動量方程：式中Q：體積流量

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