第六章(教育)參數(shù)的假設(shè)檢驗

第六章參數(shù)的假設(shè)檢驗

由樣本對總體作統(tǒng)計推斷，除了參數(shù)估計還有假設(shè)檢驗，即對總體提出某種假設(shè)，然后根據(jù)樣本統(tǒng)計值對該假設(shè)是否成立進行檢驗。對總體可以提多方面的假設(shè)，相應(yīng)地就需進行多方面的檢驗。當(dāng)對總體參數(shù)提出的假設(shè)（如：總體參數(shù)是否等于某一個值、兩個總體的參數(shù)是否有差異…）進行檢驗時，就稱作總體參數(shù)的假設(shè)檢驗。

一、假設(shè)檢驗的基本原理

我們假設(shè)事件A是小概率事件（即在一次試驗中它幾乎是不可能出現(xiàn)的）如果在一次試驗中事件A卻出現(xiàn)了，這時我們就會拒絕（推翻）假設(shè)，作出“A不是小概率事件”的結(jié)論；如果在一次試驗中事件A果真沒出現(xiàn)，這時我們就接受假設(shè)，作出“A是小概率事件”的結(jié)論。

注意：因為我們假設(shè)事件A是小概率事件（并非必然事件或不可能事件），所以上面兩種結(jié)論都有犯錯誤的可能性。

例某校一個班進行比奈智力測驗,=106,班級人數(shù)n=50,該測驗常模0=100,0=16。該班智力水平1(不是這一次測驗結(jié)果)是否與常模水平有顯著差異?

1、對參數(shù)提出假設(shè)

H1

：10

（1100）（該班智力水平確實與常模有差異）這個假設(shè)稱為研究假設(shè)，即希望證實的假設(shè)，但我們只是假設(shè)10

，沒有假設(shè)1

等于多少，無法直接檢驗它。

H0：1＝0

（1

＝100）

（該班智力水平與常模沒有差異）這個假設(shè)稱為虛無假設(shè)或零假設(shè)，它是統(tǒng)計直接檢驗的對象

H0為真則H1為假H0為假則H1為真（類似于反證法）

2、確定H0成立的情況下的抽樣分布

本例的抽樣分布是正態(tài)分布，其均值1＝0＝100

標(biāo)準(zhǔn)誤

3、確定允許檢驗結(jié)論犯錯誤的概率（稱作顯著水平）本例設(shè)=0.05

4、根據(jù)將的抽樣分布劃分出接受H0和拒絕H0兩個區(qū)域

5、確定（查表）H0接受域與拒絕域的臨界值

根據(jù)條件將的分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或其它布，查表得到臨界值。本例查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Za/2=

1.96

6、把實得的Z與查表得到的臨界值Za/2比較

實得值大于臨界值屬于小概率事件，一旦真的發(fā)生則拒絕H0，若實得值小于臨界值則接受H0

本例Z>Za/2

結(jié)論：拒絕H0即該班智力水平與常模差異顯著此結(jié)論犯錯誤的概率P<0.05

7、假設(shè)檢驗中的兩類錯誤

在檢驗中如果接受

H0

，則意味拒絕H1這時也有犯錯誤的可能。

H0為真時卻被拒絕,稱棄真錯誤或錯誤(I型錯誤)；H0為假時卻被接受,稱取偽錯誤或

錯誤(II型錯誤)假設(shè)檢驗中各種可能結(jié)果的概率接受H0拒絕H0H0為真1－(正確決策)(棄真錯誤)H0為偽(取偽錯誤)1-(正確決策)(1)與是兩個前提下的概率。即是拒絕原假設(shè)H0時犯錯誤的概率，這時前提是H0為真；是接受原假設(shè)H0時犯錯誤的概率，這時前提是H0為偽。所以＋不等于1。(2)對于固定的n,與一般情況下不能同時減小。對于固定的n,越小,Z/2越大,從而接受假設(shè)區(qū)間(-Z/2,Z/2)越大,H0就越容易被接受,從而“取偽”的概率就越大;反之亦然。即樣本容量一定時，“棄真”概率和“取偽”概率不能同時減少，一個減少，另一個就增大。(3)要想減少與,一個方法就是要增大樣本容量n。7、單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗1、雙側(cè)檢驗（雙尾）指只強調(diào)差異而不強調(diào)方向性的檢驗2、單側(cè)檢驗（單尾）：強調(diào)某一方向性的檢驗。左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域和接受區(qū)域單側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗二、單總體均值的檢驗從一個總體中抽樣，在樣本平均數(shù)及其抽樣分布的基礎(chǔ)上，對是否與某個給定值有差異進行的檢驗稱單總體均值的檢驗。

1、總體正態(tài)分布、總體方差已知

前例即屬于這種情況。再舉一例：

有人研究早期教育對兒童智力發(fā)展的影響,從受過良好早期教育的兒童中隨機抽取70人進行韋氏兒童智力測驗(0=100,0=15)結(jié)果=103.3,能否認(rèn)為受過良好早期教育的兒童智力高于一般水平。解：由題意，應(yīng)該用單側(cè)假設(shè)（總體正態(tài)分布）。建立假設(shè)：2、總體正態(tài)分布、總體方差未知

這種情況與“總體方差已知”時的不同在于：對樣本平均數(shù)進行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換時服從t分布，即

這時確定H0成立條件下?lián)^域與接受域的臨界值時要查t分布表。

例：某心理學(xué)家認(rèn)為一般汽車司機的視反應(yīng)時平均175毫秒，今隨機抽取37名司機進行測定，結(jié)果平均180毫秒、標(biāo)準(zhǔn)差24毫秒。能否根據(jù)測定結(jié)果否定該心理學(xué)家的結(jié)論（假設(shè)人的視反應(yīng)時符合正態(tài)分布）3、總體非正態(tài)分布

(1)大樣本（n>30)

(2)小樣本（n<30）一般不能進行檢驗

例

某省進行數(shù)學(xué)競賽,結(jié)果分?jǐn)?shù)的分布不是正態(tài),總平均分43.5。其中某縣參加競賽的學(xué)生169人，＝45.1,

S=18.7,

該縣平均分與全省平均分有否顯著差異小結(jié)

假設(shè)

總體正態(tài)方差s2已知，Z檢驗

總體正態(tài)，方差s2未知，t檢驗

H0

H1

臨界值

拒絕H0

臨界值

拒絕H0

雙側(cè)檢驗

m1

=m0

m1

≠

m0

Za/2

|Z|>Za/2

ta/2(n-1)

|t|

>ta/2(n-1)

m1≤

m0

m1

>m0

Za

Z>Za

ta(n-1)

t

>ta(n-1)

單側(cè)檢驗

m1≥

m0

m1

<

m0

－Za

Z<－Za

－ta(n-1)

t

<

－ta(n-1)

注：當(dāng)總體不是正態(tài)分布時，如果樣本容量n≥30，可以考慮用

n-1SXZ0'm-=來做檢驗

三、兩個總體均值差異的檢驗

（一）兩個總體都是正態(tài)分布且總體方差都已知

這時的假設(shè)為

當(dāng)Z>Za/2時，拒絕H0（P<0.05）

例某地區(qū)的六歲兒童中隨機抽取男生30人，其平均身高為114cm，抽取女生27人，平均身高112.5cm。根據(jù)以往資料，該區(qū)六歲男女兒童身高的標(biāo)準(zhǔn)差：男童為5cm，女童為6.5cm，問該區(qū)六歲男女兒童身高有無顯著差異?(=0.05)（二）兩個總體都是正態(tài)分布且總體方差都未知

這種情況的檢驗與前面情況（一）的原理及過程基本相同，只是統(tǒng)計量不再是正態(tài)分布而是t分布在這種條件下又分兩種情況：

1、兩個總體方差雖未知，但相等

由于=n

也有

例在一項關(guān)于教學(xué)方法的研究中，實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法教學(xué)。后期統(tǒng)一測試。結(jié)果：實驗組10人平均成績?yōu)?9.9,標(biāo)準(zhǔn)差為6.640；對照組9人平均成績?yōu)?0.3，標(biāo)準(zhǔn)差為7.272。問：啟發(fā)探究法是否優(yōu)于傳統(tǒng)講授法（設(shè)實驗組和對照組的總體方差一致）

H0:μ1≤μ2

H1:μ1＞μ2

例：在一項關(guān)于反饋對知覺判斷影響的研究中，將被試隨機分成兩組，其中實驗組60人（每次判斷后將結(jié)果告訴被試），判斷的平均值80，標(biāo)準(zhǔn)差18；對照組52人（每次判斷后不讓被試知道結(jié)果），這組的平均值73，標(biāo)準(zhǔn)差15。設(shè)實驗組與對照組的總體方差一致，問：反饋對知覺判斷是否有影響

2、兩個總體方差未知，且不相等

這時用近似t檢驗（盡量取n1=n2）

這時自由度不是(2n-2)而是（n-1）

例（教育例5-7改為n1=n2)

（三）兩個總體都不是正態(tài)分布

大樣本（n>30）時可進行近似

Z檢驗

（四）二維總體的均值差異檢驗

1、兩個總體方差已知2、兩個總體方差未知

自由度n-1

例（心理8-11）（教育5-9）四、兩個總體均值差異的估計

兩個總體均值經(jīng)檢驗差異顯著時，并不意味它們之間差異非常大。若對它們之間差異究竟有多大感興趣，可以對其進行區(qū)間估計。

1、兩總體方差已知

1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為:

2、兩總體方差未知

1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為:例（前面已檢驗過）在一項關(guān)于教學(xué)方法的研究中，實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法教學(xué)。后期統(tǒng)一測試。結(jié)果：實驗組10人平均成績?yōu)?9.9,標(biāo)準(zhǔn)差為6.640；對照組9人平均成績?yōu)?0.3，標(biāo)準(zhǔn)差為7.272。求實驗組與對照組總體差異的95%置信區(qū)間（設(shè)實驗組和對照組的總體方差一致）五、其它總體參數(shù)的檢驗

（一）總體比例的檢驗

由于樣本比例的抽樣分布較難近似正態(tài)分布，一般對樣本比例進行檢驗時利用卡方檢驗（第十章）（二）總體方差的檢驗

1、單總體方差的檢驗（第十章）

2、兩個總體方差之間差異的檢驗（方差齊性檢驗）

若兩個總體方差相等，則，應(yīng)當(dāng)在1附近變動，如果這個比值過大或過小，就要拒絕

服從F分布，即也可簡化為前例在一項關(guān)于教學(xué)方法的研究中，實驗組采用啟發(fā)探究法，對照