第三章機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)

第三章機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)

張遠(yuǎn)輝機(jī)械電子所20142/4/20231機(jī)器人是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它的每一個(gè)動(dòng)作都是各個(gè)元部件共同作用的結(jié)果。2/4/202323.1位置與姿態(tài)

3.2正交坐標(biāo)系

3.3運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示

3.4齊次坐標(biāo)變換

3.5機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)

為了系統(tǒng)地、精確地描述各個(gè)元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)。

2/4/20233

要全面地確定一個(gè)物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個(gè)位置自由度和三個(gè)姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個(gè)自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。

如果H為手坐標(biāo)系，用以描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿。3.1位置與姿態(tài)

一般姿態(tài)的描述可以用橫滾（Roll）、俯仰（Pitch）和側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來實(shí)現(xiàn)。

繞坐標(biāo)系H各軸轉(zhuǎn)動(dòng)yawProllpitchHXHZHYH2/4/20234從二維坐標(biāo)系說起B(yǎng)HP如果已知P點(diǎn)在H坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為[1,1]^T,則P在B下的坐標(biāo)?2/4/20235BHP坐標(biāo)系重合的情況（旋轉(zhuǎn)）θ2/4/20236正交基之間的變換2/4/20237帶入后坐標(biāo)寫成列向量2/4/20238旋轉(zhuǎn)矩陣R2/4/20239僅僅只有平移BHPH坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在B坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是[a,b]^T，則2/4/202310僅僅只有平移BHP2/4/202311先平移+后旋轉(zhuǎn)BHH’2/4/202312先旋轉(zhuǎn)+后(相對于B平移[a,b])BHB’2/4/202313有加法和乘法--》整合2/4/2023143.2正交坐標(biāo)系3.2.1正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識

右圖是所謂的正交坐標(biāo)系B(x,y,z)，用來表示機(jī)器人的基坐標(biāo)，其中,,分別是三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。

B系中有另外一個(gè)坐標(biāo)系H（xH，yH，zH），用來表示手坐標(biāo),其中,,分別是H系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。

zyxBHHzHxHyanoijkP端點(diǎn)P相對于機(jī)器人手坐標(biāo)系H及基座坐標(biāo)系B的定位2/4/2023153.2.1.1正交坐標(biāo)系的性質(zhì)

單位矢量,,在基坐標(biāo)系中可表示為

根據(jù)矢量點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，對于相互正交的單位矢量，，有

對于單位矢量,,也有同樣的性質(zhì)。

2/4/202316

令矩陣R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。

當(dāng)用列向量表示單位矢量時(shí)，有于是，變換矩陣R可以表示為：當(dāng)用矩陣表示兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘時(shí)，有2/4/2023173.2.1.2正交坐標(biāo)變換矩陣R的性質(zhì)

顯然由上式可得

從而可得結(jié)論：正交變換矩陣為正交矩陣。于是可得1-=RRT2/4/2023183.2.1.3正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義

,上式可寫成其中

考慮到

上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣R實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個(gè)相互正交的單位矢量變換為另一組3個(gè)相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個(gè)正交坐標(biāo)系。這也說明了將矩陣R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換。2/4/2023193.2.2位置的描述

一旦建立起一個(gè)坐標(biāo)系，我們就可以用3維的位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點(diǎn)的位置。其中，x、y、z是p點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點(diǎn)）在基坐標(biāo)系中的空間位置。3.2.3

姿態(tài)的描述

物體的姿態(tài)可由某個(gè)固接在物體上的坐標(biāo)系來描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系B外，還有物體質(zhì)心上的一個(gè)笛卡爾正交坐標(biāo)系H，且H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以H系的三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量相對于B系的方向來表示H系和B系的姿態(tài)。

2/4/2023202/4/202321

假設(shè)為H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在B坐標(biāo)系的方向可以與B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達(dá)，見下圖。

因此正交坐標(biāo)變換矩陣R為一方向余弦矩陣，也被稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。

故有根據(jù)前面的推導(dǎo)可得jlgxyzkBllalbi

矢量的方向矢徑表示2/4/2023223.3運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示

3.3.1平動(dòng)的坐標(biāo)表示

設(shè)手坐標(biāo)系H與基坐標(biāo)系B具有相同的姿態(tài)，但H系坐標(biāo)原點(diǎn)與B系的原點(diǎn)不重合。用矢量來描述H系相對于B系的位置（如右圖所示），稱為H系相對于B系的平移矢量。如果點(diǎn)p在H系中的位置為，那么它相對于B系的位置矢量可由矢量相加得出，即稱其為坐標(biāo)平移方程。r0rHxPHzyxHyHzBpr

表示移動(dòng)的坐標(biāo)變換2/4/202323

下面以繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角為例來研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法。設(shè)H系從與B系相重合的位置繞B系的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，H系與B系的關(guān)系如右圖所示。3.3.2轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)表示

(1)繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法

naHxxyzHzHyHB,ozqzq

H系相對B系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)θz角的坐標(biāo)關(guān)系2/4/202324

若將H系的3個(gè)單位矢量表示在B系中，則有，，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R，可表示為

上面的分析說明了R矩陣可以用來表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這表征了R矩陣的另一種幾何意義。2/4/202325

設(shè)B系與H系的z軸相重合，B系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角就得H系，如下圖所示。

(2)兩個(gè)坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系xyHy),(HBzqzqzqHxyxACuP￠v

矢徑BP'在H系與B系的投影關(guān)系O2/4/202326已知矢徑在H系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知

由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了R矩陣的又一種幾何意義。于是有（Ｒ）2/4/202327(3)具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的關(guān)系

設(shè)矢量在坐標(biāo)系Bxy的投影為u，v，w；將矢量繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，得到矢量，設(shè)矢量在同一坐標(biāo)系的投影為x,y,z，如下圖所示。

xyHy￠),(HBzqzqHx￠yuP￠vxQ關(guān)系具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的投影O2/4/202328

如果注意到在x,y軸的投影相當(dāng)于在軸的投影，再對比１５頁和１７頁的兩個(gè)圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得式（Ｒ）相同結(jié)果，只是此時(shí)的u，v，w與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時(shí)矩陣R用來表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。

至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義，這對于認(rèn)識R矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。2/4/2023293.3.3復(fù)合運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)表示

設(shè)H相對于B的位置矢量為，由H到B的坐標(biāo)變換矩陣是。在H中有一點(diǎn)P，點(diǎn)P相對于H的位置矢量為，如右圖所示。

基坐標(biāo)系B和手坐標(biāo)系H的原點(diǎn)不重合，而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也不相同的情況。zyxBHr0rHzHxHyanoPP￠AuvwHr

表示轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的坐標(biāo)變換2/4/202330

對于任意一點(diǎn)P在B和H系中的描述有以下的關(guān)系其中，是p點(diǎn)相對于B系的位置矢量。

至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中的表示方法，這是我們學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會頻繁地用到。再由式（3-9），可得復(fù)合變換

可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實(shí)際上，規(guī)定一個(gè)過渡坐標(biāo)系C，使C的坐標(biāo)原點(diǎn)與H系重合，而C的姿態(tài)和B系保持一致。根據(jù)式（Ｒ）可得由H系到過渡坐標(biāo)系C的坐標(biāo)變換為其中，是點(diǎn)P在C中的位置矢量。2/4/2023313.4齊次坐標(biāo)變換

3.4.1齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì)

3.4.1.1齊次坐標(biāo)的概念

用四個(gè)數(shù)所組成的列向量來表示三維空間中的一點(diǎn)，這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是，，則稱為三維空間點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。通常情況下取w=1,則的齊次坐標(biāo)表示為。

2/4/2023323.4.1.2齊次坐標(biāo)的性質(zhì)

（1）齊次坐標(biāo)的不唯一性

所謂不唯一性是指某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無窮多點(diǎn)，不是單值確定的。例如是某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，則也是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。

（2）齊次坐標(biāo)的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸

根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo)表示坐標(biāo)原點(diǎn)，而，，分別表示OX軸、OY軸和OZ軸的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即表示直角坐標(biāo)的OX軸、OY軸和OZ軸。2/4/202333=常量標(biāo)量設(shè)則有其中，（Ａ）2/4/2023343.4.2齊次變換和齊次矩陣

在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標(biāo)來表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體復(fù)合運(yùn)動(dòng)，最后我們得出了的結(jié)論，它表示了由到的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來表示出上式：

2/4/202335A矩陣稱為齊次矩陣（Homogeneousmatrix）,在機(jī)器人學(xué)中是個(gè)重要的術(shù)語，它將轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)組合在一個(gè)4×4矩陣中。其中為3×3的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，為1×3的零陣，為表示移動(dòng)的3×1的列陣。接下來我們將利用齊次矩陣來表示物體的運(yùn)動(dòng)。

式中旋轉(zhuǎn)矩陣３×３平移矢量３×１透視變量１×３比例因子１×１齊次矩陣＝齊次矩陣用途很廣，更一般形式為：2/4/2023363.4.2.1利用齊次矩陣表示平移變換

設(shè)向量，要和向量相加得V，即

（Ｂ）欲求一變換矩陣H，使得U經(jīng)過H變換之后變成向量V，即

（Ｃ）考慮到式（Ｃ）和式（Ｂ）等效，根據(jù)式（Ａ）可知

平移變換就是用于兩個(gè)向量的相加。2/4/202337

此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個(gè)元素乘上一個(gè)非零的元素后不會改變這個(gè)變換。

由此可知得2/4/2023383.4.2.2利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換

根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是

2/4/202339例如，已知一個(gè)向量U繞Z軸旋轉(zhuǎn)90ο變成V，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為如，一個(gè)向量U先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)90ο、60ο得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為2/4/2023403.4.2.3利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換

把上述兩種變換結(jié)合起來用齊次矩陣表示，這時(shí)的齊次變換矩陣就是2/4/202341可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣和表示平移的列陣確實(shí)是分離的。注意，一般情況下2/4/2023423.4.2.4利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)

手的轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為繞X軸的側(cè)擺，繞Y軸的俯仰和繞Z軸橫滾，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)，采用簡化符號，則有2/4/202343

上式表示了手的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如果手除了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)以外還可做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，只需將上式中齊次矩陣的第4列用表示移動(dòng)的矩陣塊來代替，便可得到包括3個(gè)姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)和3個(gè)平移的6自由度運(yùn)動(dòng)的齊次矩陣。2/4/2023443.4.3齊次變換的性質(zhì)

3.4.3.1變換過程的相對性－相對變換

前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對于參考坐標(biāo)系B系而言的。例如

上述的變換過程是：手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系B旋轉(zhuǎn)，然后平移。這種變換的順序是從右向左進(jìn)行的。這樣的過程也可以以相反的順序進(jìn)行，即從左向右進(jìn)行。此時(shí)可以理解為首先手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系B中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的軸旋轉(zhuǎn)。

2/4/202345一般的變換過程可以分兩種情況：

(1)如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于靜止坐標(biāo)系進(jìn)行的。(2)如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，右乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的。

真是那么精彩嗎?2/4/2023463.4.3.2變換過程的可逆性－逆變換

在機(jī)器人學(xué)中很多時(shí)候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導(dǎo)出齊次變換矩陣的逆陣的求法。由公式易得由此可見將上兩式表示成矩陣的形式，即2/4/2023473.4.3.3變換過程的封閉性--變換方程的建立

在解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)往往要用兩種或多種方式來描述。

（1）機(jī)器人變換Z：參考坐標(biāo)系U→基坐標(biāo)系B變換A：基坐標(biāo)系B→手坐標(biāo)系H變換E：手坐標(biāo)系H→加工工具T（2）變位機(jī)變換P：參考坐標(biāo)系U→變位機(jī)V

變換Q：變位機(jī)V→被加工件WBUHAEPQWT

操作機(jī)坐標(biāo)系及變換過程分析ZV2/4/202348這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見右圖。

右圖中每一段弧表示一個(gè)變換，由參考坐標(biāo)系向外指向，封閉于物體的某一個(gè)點(diǎn)。由于變換Z-A-E與P-Q具有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn)，故有

如果我們希望解上述方程，求出變換A，就必須對方程左乘，然后右乘，得到

實(shí)際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向?yàn)檎较?，逆箭頭方向?yàn)槟孀儞Q，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點(diǎn)變換），如果包括該起點(diǎn)變換，則得到一個(gè)單位變換。變換過程的封閉性ZQPEA2/4/2023493.5機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)

3.5.1機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)的構(gòu)成

現(xiàn)在讓我們設(shè)想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項(xiàng)簡單的工作。如果是人來完成這件事情，每個(gè)人看來都是非常容易的。但是如果讓機(jī)器人來完成這項(xiàng)工作，機(jī)器人必須規(guī)劃出每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)過程，最終合成末端執(zhí)行器的動(dòng)作。在完成這樣的工作時(shí)，我們必須為每個(gè)關(guān)節(jié)變量規(guī)劃出運(yùn)動(dòng)軌跡，而這樣的軌跡是相對于每個(gè)關(guān)節(jié)所對應(yīng)的坐標(biāo)系而言的。由此可見，我們必須為每一個(gè)關(guān)節(jié)定義出一個(gè)坐標(biāo)系。除此之外，為了能與工件相配合完成既定的工作，也需要為工件和周圍環(huán)境定義出坐標(biāo)系統(tǒng)。所有上述的坐標(biāo)系就構(gòu)成了一個(gè)機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)。由上面的分析可以得出這樣的坐標(biāo)系統(tǒng)包括三大部分：（1）機(jī)器人自身的坐標(biāo)系（2）作業(yè)工件和變位機(jī)的坐標(biāo)系（3）作為共同參考的世界坐標(biāo)系其中，世界坐標(biāo)系是聯(lián)系前兩種坐標(biāo)系的紐帶。下面我們舉一個(gè)例子來說明如何建立機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)。2/4/