高中數(shù)學(xué)人教B版1第二章圓錐曲線與方程2

2023年10月北京市西城區(qū)高中示范校高二數(shù)學(xué)（人教B版）解析幾何教材建議一．課標(biāo)要求 1．理解直線傾斜角與斜率的概念（B），掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式（C），2．掌握直線方程的形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系（C），3．能判斷兩條直線平行或垂直（C），會(huì)求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（B），兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線距離（C）、平行線間距離公式（B），4．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程（C），5．能判斷直線與圓（C）、圓與圓的位置關(guān)系（B），6．掌握橢圓、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)（C），7．了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)（A），8．解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（C）,9．了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系感受數(shù)形結(jié)合的思想（B）．二．教學(xué)建議1．曲線與方程的知識(shí)坐標(biāo)系：直線坐標(biāo)系→平面直角坐標(biāo)系→空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，中點(diǎn)的坐標(biāo)公式．坐標(biāo)系下，點(diǎn)有坐標(biāo)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后留下的痕跡——軌跡，而曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都應(yīng)該滿足一個(gè)關(guān)系式——方程，我們研究方程的性質(zhì)，從而達(dá)到研究曲線的目的，因此，方程與曲線之間就有一種替代的關(guān)系，那么，需要什么條件方程與曲線之間才能達(dá)到這種關(guān)系呢?例如：經(jīng)過、點(diǎn)的直線與方程是否具有這種關(guān)系？例如：經(jīng)過、點(diǎn)的直線與方程是否具有這種關(guān)系？由此可見，方程與曲線之間的關(guān)系需要雙方面的（等價(jià)的、充要的、雙箭頭的）．定義：平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點(diǎn)與方程的解滿足：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么，就稱方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線．明確了曲線與方程的關(guān)系，下面就涉及到如何求出曲線的方程．例．已知：定點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離為，動(dòng)點(diǎn)到、距離的平方和為，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)：，、，，反之：設(shè)是方程的解，即，以此組解為坐標(biāo)的點(diǎn)為，，即點(diǎn)在曲線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：．求曲線方程的步驟：（1）建立平面直角坐標(biāo)系（已有坐標(biāo)系的省略）；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)（包括未知點(diǎn)和已知點(diǎn)）；（3）找到曲線中的幾何關(guān)系；（4）把幾何關(guān)系代數(shù)化（）；（5）化簡代數(shù)化后的方程；*（6）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．2．曲線中基本量的熟練掌握直線：中的斜率；圓：中的圓心與半徑；橢圓：中的的關(guān)系；雙曲線：中的關(guān)系；拋物線：中的焦準(zhǔn)距．例1．的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、，求：三角形三邊所在的直線方程．解：，直線的方程：，，直線的方程：，，直線的方程：，例2．求：經(jīng)過點(diǎn)且橫、縱截距的絕對值相等的直線方程．解：設(shè)所求直線方程：（），則橫截距為，縱截距為，由題知：，則或，直線方程：或例3．求：經(jīng)過兩點(diǎn)、且圓心在軸上的圓的方程．解：由圓的圓心在軸上可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，即，則，，圓的方程：．例4．求：經(jīng)過兩點(diǎn)、且以線段為直徑的圓的方程．解：由題知，圓心為線段的中點(diǎn)，即，半徑，圓的方程：．例5．已知：橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為，短軸長為，求：橢圓的方程．解：橢圓中，，則，橢圓方程：或例6．求：坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為，長軸長為的橢圓的方程．（或）例7．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則實(shí)數(shù)．例8．若橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則等于（C） A． B． C． D．例9．拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為．3．曲線系的運(yùn)用 斜率為的直線系方程：； 過定點(diǎn)的直線系方程：或；與直線平行的直線系方程：；與直線垂直的直線系方程：； 與雙曲線有共同雙曲線的雙曲線系方程：．例1．求：經(jīng)過與的交點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為的直線方程．提示：直線與的交點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)的直線系方程：或，…（或）例2．求：與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過定點(diǎn)的雙曲線方程．提示：設(shè)所求雙曲線方程：，…（）三．幾何性質(zhì)（定義）的體現(xiàn)例1．求：經(jīng)過點(diǎn)且到點(diǎn)、距離相等的直線的方程．提示：所求直線與直線平行或過線段中點(diǎn)，…例2．已知：直線過點(diǎn)且與軸及軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，求：（為原點(diǎn)）的面積的最小值及此時(shí)直線的方程．提示：當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，的面積的最小，…例3．已知：直線：，圓：（1）求證：對于直線與圓都相交；（2）當(dāng)相交的弦長最短時(shí)，求：直線的方程．（）提示：直線：過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，…例4．求：經(jīng)過圓：與圓：的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．（）提示：利用兩個(gè)圓的方程得出交點(diǎn)弦的方程，交點(diǎn)弦即為直徑，…例5．已知：直線：與圓：有兩個(gè)交點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求：實(shí)數(shù)的值．（）（勾股定理、圓系方程、多參方法）例6．點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（）CA．B．2C．4D．8提示：點(diǎn)、、（另一個(gè)焦點(diǎn)）構(gòu)成三角形，是一條中位線，，…例7．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（）DA．B．C．D．提示：由得到，則，…F1F2P例8．求：以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過直線上一點(diǎn)的橢圓中，長軸最短的橢圓方程．（F1F2P提示：此題可轉(zhuǎn)化為在直線找一點(diǎn)，使得最小例9．已知直線（）與拋物線：相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，求的值．提示：利用拋物線定義，由得到，即為中點(diǎn)，又由為中點(diǎn)得到，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)例10．已知：點(diǎn)為圓：上一點(diǎn)，求下列表達(dá)的取值范圍：（１）；（引申：，）（２）；（３）．（；；）四．綜合問題的處理——不是算得多而是寫得多例．已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為。記直線的斜率為，求證：為定值．解：（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）根據(jù)已知可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則.直線，的方程分別為：，令，則，∴.∴.寫好基本步驟：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、聯(lián)立方程、帶入消元、判別式、韋達(dá)定理，強(qiáng)調(diào)步驟、格式書寫清楚．五．三年來的高考題（2023北京理）6.若雙曲線（）的離心率為，則其漸近線方程為BA． B． C． D．（2023北京理）9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于.（2023北京理）3．曲線（為參數(shù)）的對稱中心（）BA．在直線上B．在直線上C．在直線上D．在直線上（2023北京理）11．設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．（2023北京理）10．若雙曲線的一條漸近線為，則_______．（2023北京理）11．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為________．1（2023年北京卷（理））19．已知：是橢圓：上的三個(gè)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn)，且四邊形為菱形時(shí)，求此菱形的面積；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由.解：（Ⅰ）菱形的面積是；(=2\*ROMANII)四邊形不可能是菱形.（2023北京理）19．已知：橢圓，（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）橢圓C的離心率；（Ⅱ）此時(shí)直線AB與圓相切。（2023北京理）19．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)（）都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．（2023年北京文）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（）CA． B． C． D．（2023年北京文）若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則____；準(zhǔn)線方程為,（2023北京文）7．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）BA．7B．6C．5D．4（2023北京文）10．設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，一個(gè)頂點(diǎn)式，則的方程為．（2023北京文）2、圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（）DA．B．C．D．（2023北京文）12、已知是雙曲線（）的一個(gè)焦點(diǎn)，則．（2023年北京文）直線():相交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,且四邊形為菱形時(shí)，求的長；(2)當(dāng)點(diǎn)在上且不是的頂點(diǎn)時(shí),證明四邊形不可能為菱形．解:(=1\*ROMANI)|AC|=；(=2\*ROMANII)略．（2023北京文）19．已知橢圓：．（