第一章1數(shù)的概念擴(kuò)展

初等代數(shù)引言一、代數(shù)學(xué)的起源與形成※現(xiàn)代意義下的代數(shù)學(xué)奠基于16世紀(jì)和17世紀(jì)※1859年，清代代數(shù)學(xué)家李善蘭把英文algebra譯成代數(shù)學(xué)，以表達(dá)該學(xué)科用字母代表數(shù)的特點(diǎn)，這就是“代數(shù)”的來源．※代數(shù)學(xué)有記載的最早起源可追溯到公元前1800左右公元前1800年左右的古巴比倫數(shù)學(xué)文獻(xiàn)里已經(jīng)含有二次方程和某些特殊的三次方程．從那時起直到公元15世紀(jì)的三千多年里，中國、印度、阿拉伯和歐洲都在不同的方面對代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)．中國在代數(shù)的發(fā)展中做出了杰出成就．例如，公元前約1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，記載了“方程術(shù)”和“正負(fù)術(shù)”等重要成就．到了13世紀(jì)前后，中國數(shù)學(xué)在高次方程的數(shù)值解法、同余式理論以及高階等差數(shù)列等方面同樣取得了矚目的成就．二、關(guān)于代數(shù)學(xué)的幾個歷史觀點(diǎn)1、代數(shù)學(xué)是研究方程解法和字母運(yùn)算的科學(xué)※縱觀代數(shù)學(xué)發(fā)展的整個歷史，大體上經(jīng)歷了初等代數(shù)的形成、高等代數(shù)的創(chuàng)建以及抽象代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展三個歷史階段．☆在初等數(shù)學(xué)漫長的漸進(jìn)階段，其中心問題一直是方程的解法．最早得到二次方程解法的是巴比倫人和中國人．但他們都沒有使用符號．☆公元3世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，以及后來的印度數(shù)學(xué)家都曾使用過一些數(shù)學(xué)符號．公元9世紀(jì)的阿拉伯人熱心采用了印度的數(shù)碼、計數(shù)法和各種運(yùn)算方法，并推進(jìn)了方程解法的研究，但卻斷然拋棄了印度人的數(shù)學(xué)符號．文藝復(fù)興時期現(xiàn)代印刷業(yè)的出現(xiàn)，使得標(biāo)準(zhǔn)符號的引進(jìn)有了事先和推廣的可能

韋達(dá)是第一位有意識地系統(tǒng)使用字母，從而使符號化代數(shù)得以初步形成的數(shù)學(xué)家．經(jīng)過笛卡爾、沃利斯、牛頓等人的改進(jìn)代數(shù)符號進(jìn)一步完善．

1768年，歐拉發(fā)表《對代數(shù)的完整的介紹》，系統(tǒng)地論述了方程理論和其他代數(shù)知識．這部著作表明初等代數(shù)完全形成．2、代數(shù)學(xué)是研究多項(xiàng)式和線性代數(shù)的科學(xué)☆17世紀(jì)以來，隨著一元三次方程（塔爾塔利亞）和一元四次方程（費(fèi)拉里）求根公式的發(fā)現(xiàn)，鼓勵人們?nèi)ヌ剿鞲叽畏匠痰母浇猓m然許多數(shù)學(xué)家求解五次方程的努力沒有成功，但卻由此產(chǎn)生了多項(xiàng)式理論．☆代數(shù)學(xué)的另一個方向是關(guān)于線性方程組的研究．馬克勞林和克萊姆得到了克萊姆法則．后來經(jīng)過貝祖、范德蒙和拉普拉斯等人的研究，行列式理論初步形成．柯西在前人研究的基礎(chǔ)上給出了系統(tǒng)的近代行列式理論，并建立了特征方程和特征根的理論．

19世紀(jì)中期，凱萊和西爾維斯特等人為矩陣?yán)碚摰於嘶A(chǔ)．3、代數(shù)學(xué)是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學(xué)☆19世紀(jì)初期，兩位年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華在代數(shù)學(xué)研究中取得了劃時代的突破性進(jìn)展阿貝爾首次證明了一般五次方程不可能用根式求解．伽羅華則進(jìn)一步得到了代數(shù)方程能用根式求解的充要條件是同構(gòu)群可解，并創(chuàng)造了伽羅華理論．他所引進(jìn)的群和域的概念，成為爾后發(fā)展起來的抽象代數(shù)的基石．4、代數(shù)學(xué)是推動數(shù)學(xué)發(fā)展、解決科學(xué)問題的有力工具☆笛卡爾在他《指導(dǎo)思維的法則》一書中，提出了一個后來被成為“笛卡爾模式”的解決問題的通用方法．其要點(diǎn)是第一，將任何種類的問題劃歸為數(shù)學(xué)問題；第二，將任何種類的數(shù)學(xué)問題劃歸為代數(shù)問題；第三，將任何種類的代數(shù)問題劃歸為單個方程的問題．三、作為教學(xué)科目的中學(xué)代數(shù)在內(nèi)容的深度上不同在內(nèi)容的廣度上不同新課標(biāo)下的中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容第一章

數(shù)與數(shù)系§1.1數(shù)系的發(fā)展歷史一、數(shù)的概念發(fā)展簡介正分?jǐn)?shù)是緊接自然數(shù)之后產(chǎn)生的，距今已有四千多年，但是零的符號“0”遲至公元后才在印度出現(xiàn)中國是最早使用十進(jìn)位值數(shù)制的文明古國．

約在公元前5世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)了不可公度量的存在，相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)（希帕索斯

），但是該學(xué)派卻不肯接受也不愿使用無理數(shù)．負(fù)數(shù)在中國的《九章算術(shù)》里就已正式出現(xiàn)，其中“正負(fù)術(shù)”記載了正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則．16世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在《大術(shù)》一書中討論三次方程的解時，使用了負(fù)數(shù)的平方根．他因此享有發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的榮譽(yù)．但在以后兩百多年間，許多數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)的合理性．直到18世紀(jì)下半葉，由于歐拉和高斯的著作中自由地使用了虛數(shù)，并建立了比較系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，虛數(shù)才得到廣泛承認(rèn)．到了19世紀(jì)70年代，戴德金和康托爾等數(shù)學(xué)家運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法，建立起嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論．至此，實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系的理論基礎(chǔ)才牢固地確立．二、數(shù)系擴(kuò)展的方式與原則通常把對某種運(yùn)算是封閉的數(shù)集叫做數(shù)系．自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C都是數(shù)系．1.數(shù)系擴(kuò)展的方式(兩種)(1)添加元素法(2)構(gòu)造法

例如，，都不是數(shù)系，因它們未帶有運(yùn)算．2.數(shù)系擴(kuò)展的原則設(shè)數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)展后得到新的數(shù)系B，不論采用哪種擴(kuò)展方法，都應(yīng)遵循以下原則：(1)(2)A的元素間所定義的一些運(yùn)算或基本關(guān)系在B中被重新定義．而且對于A的元素來說，重新定義的運(yùn)算和關(guān)系與