第九章導(dǎo)體和電介質(zhì)中的靜電場

普通物理解題方法研究溫州大學(xué)主講教師：季永運(yùn)第九章導(dǎo)體和電介質(zhì)中的靜電場一、靜電場中的導(dǎo)體二、空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場三、

電容器的電容四、電介質(zhì)及其極化五、電介質(zhì)中的靜電場六、有電介質(zhì)時的高斯定理電位移七、電荷間相互作用能靜電場的能量本章內(nèi)容：靜電平衡條件：靜電平衡：導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零電場電勢導(dǎo)體為一等勢體表面場強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面導(dǎo)體表面是一個等勢面導(dǎo)體中電荷的宏觀定向運(yùn)動終止，電荷分布不隨時間改變。

導(dǎo)體的靜電平衡1.導(dǎo)體的靜電平衡一、靜電場中的導(dǎo)體電荷分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。2.2空腔導(dǎo)體

（1）腔內(nèi)無帶電體：電荷分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)部及腔體的內(nèi)表面處處無凈電荷。2.導(dǎo)體上的電荷分布

2.1

實心導(dǎo)體+++++++++

導(dǎo)體上的電荷分布

（2）腔內(nèi)有帶電體：腔體內(nèi)表面所帶的電量和腔內(nèi)帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定。未引入q時放入q后+++++++++++++++q++

導(dǎo)體上的電荷分布導(dǎo)體的表面場強(qiáng)由高斯定理可證明

導(dǎo)體上的電荷分布

孤立導(dǎo)體面電荷分布表面曲率越大，面電荷密度越大。尖端放電現(xiàn)象例題9-1

兩個半徑分別為R和r

的球形導(dǎo)體（R>r），用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來（如圖），使這個導(dǎo)體組帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。Q導(dǎo)體上的電荷分布解:

兩個導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時有一定的電勢值。設(shè)這兩個球相距很遠(yuǎn)，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為Q導(dǎo)體上的電荷分布可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈小（或曲率愈大），電荷面密度愈大。導(dǎo)體上的電荷分布例.證明兩無限大平行金屬板達(dá)到靜電平衡時，其相對兩面帶等量異號電荷，相背兩面帶等量同號電荷。證明：

從左至右一共有四個帶電平面，設(shè)其所帶電荷的面密度依次為1、2、3、4。以向右作為電場正向。左邊導(dǎo)體中任意一點的場強(qiáng)：

導(dǎo)體上的電荷分布相對兩面帶等量異號電荷.相背兩面帶等量同號電荷.證畢.在右邊導(dǎo)體中任取一點，則該點

導(dǎo)體上的電荷分布相對兩面帶等量異號電荷.相背兩面帶等量同號電荷.證畢.在右邊導(dǎo)體中任取一點，則該點

導(dǎo)體上的電荷分布1.空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場

二、空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場

(1)腔內(nèi)無帶電體導(dǎo)體內(nèi)部及腔體的內(nèi)表面處處無凈電荷。

腔內(nèi)無帶電體，空腔導(dǎo)體外的電場由空腔導(dǎo)體外表面的電荷分布和其它帶電體的電荷分布共同決定。

（2）腔內(nèi)有帶電體：腔體內(nèi)表面所帶的電量和腔內(nèi)帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定，腔外導(dǎo)體和電場不影響腔內(nèi)電場。2.靜電屏蔽

在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導(dǎo)體外面的帶電體不會影響空腔內(nèi)部的電場分布；一個接地的空腔導(dǎo)體，空腔內(nèi)的帶電體對腔外的物體不會產(chǎn)生影響。這種使導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場不受外界影響或利用接地的空腔導(dǎo)體將腔內(nèi)帶電體對外界影響隔絕的現(xiàn)象，稱為靜電屏蔽。靜電屏蔽

根據(jù)靜電平衡時導(dǎo)體內(nèi)部電場處處為零的特點，利用空腔導(dǎo)體將腔內(nèi)外的電場隔離，使之互不影響。

a.

腔內(nèi)無帶電體：腔外電場不能穿入腔內(nèi)，腔內(nèi)電場恒為零。q-qb.腔內(nèi)有帶電體：導(dǎo)體接地，可屏蔽內(nèi)電場。q靜電屏蔽例

在內(nèi)外半徑分別為R1和R2的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一個半徑為r的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求：（1）小球的電勢Vr，球殼內(nèi)、外表面的電勢；（2）小球與球殼的電勢差；（3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢差。空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場解：（1）由對稱性可以肯定，小球表面上和球殼內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出-q和＋q的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為q+Q。小球和球殼內(nèi)外表面的電勢分別為空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場球殼內(nèi)外表面的電勢相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢分別為（2）兩球的電勢差為空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場兩球的電勢差仍為

由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢差恒保持不變。當(dāng)q為正值時，小球的電勢高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時，小球的電勢低于球殼,與小球在殼內(nèi)的位置無關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止?？涨粚?dǎo)體內(nèi)外的靜電場兩球的電勢差仍為

由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢差恒保持不變。當(dāng)q為正值時，小球的電勢高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時，小球的電勢低于球殼,與小球在殼內(nèi)的位置無關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止?？涨粚?dǎo)體內(nèi)外的靜電場三、

電容器的電容1.孤立導(dǎo)體的電容真空中孤立導(dǎo)體球R任何孤立導(dǎo)體，q/U與q、U均無關(guān)，定義為電容電容單位：法拉（F）計算電容的一般方法：q—

其中一個極板電量絕對值U1-U2—兩板電勢差電容器的電容：

先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號電荷，再計算出電勢差，最后代入定義式。2.電容器的電容電容器：兩相互絕緣的導(dǎo)體組成的系統(tǒng)。電容器的兩極板常帶等量異號電荷。例:(1)平板電容器幾種常見真空電容器及其電容Sd電容與極板面積成正比，與間距成反比。電容器的電容（2）圓柱形電容器電容器的電容(3)球形電容器電容器的電容理論和實驗證明充滿介質(zhì)時電容真空中電容相對介電常數(shù)(4)電介質(zhì)電容器電容器的電容3.電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器性能參數(shù)：電容和耐壓…(1)并聯(lián)：(2)串聯(lián)：…增大電容提高耐壓(3)混聯(lián)：AB根據(jù)連接計算滿足容量和耐壓的特殊要求電容器的串聯(lián)和并聯(lián)例三個電容器按圖連接，其電容分別為C1

、C2和C3。求當(dāng)電鍵K打開時，C1將充電到U0，然后斷開電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢差。解已知在K閉合前，

C1極板上所帶電荷量為q0=C1

U0

，C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后，C1放電并對C2

、C3充電，整個電路可看作為C2、C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設(shè)穩(wěn)定時，C1極板上的電荷量為q1，C2和C3極板上的電荷量為q2，因而有KU0+q0-q0C1C2C3電容器的串聯(lián)和并聯(lián)解兩式得因此，得C1

、C2和C3上的電勢差分別為電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器的串聯(lián)和并聯(lián)練習(xí)五個電容聯(lián)接如圖，己知，試求A、B間電容.解：把原圖變換成右圖，就可看出，因故為對稱的橋路電容.若在A、B兩點間加上電壓，則E、D兩點間的電勢相等，因此可以去掉，即讓，而不影響的值，便得

或者，把短路，即讓，也不影響的值，這樣便得兩種方法結(jié)論相同四電介質(zhì)及其極化電介質(zhì)：絕緣體，無自由電荷。電介質(zhì)極化特點：內(nèi)部場強(qiáng)一般不為零。1.有極分子和無極分子電介質(zhì)

有極分子：分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心不重合。負(fù)電荷中心正電荷中心

無極分子：分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心重合。++H+HO

加上外電場后，在電場作用下介質(zhì)分子正負(fù)電荷中心不再重合，出現(xiàn)分子電矩。

在外電場中有極分子的固有電矩要受到一個力矩作用，電矩方向轉(zhuǎn)向和外電場方向趨于一致。3.電極化強(qiáng)度矢量（1）電極化強(qiáng)度矢量單位體積內(nèi)分子電矩的矢量和。（2）空間任一點總電場總電場外電場束縛電荷電場（3）電極化強(qiáng)度與總電場的關(guān)系極化率（4）極化率與相對介電常數(shù)的關(guān)系電極化強(qiáng)度矢量

束縛電荷與電極化強(qiáng)度的關(guān)系：例

半徑R

的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為P。求：1)介質(zhì)球表面的分布；2)極化電荷在球心處的場。由此可知，右半球面上左半球面上2)在球面上取環(huán)帶解：1)球面上任一點電極化強(qiáng)度矢量E沿x軸負(fù)方向。在球心處的場電極化強(qiáng)度矢量五、電介質(zhì)中的靜電場

空間任一點總電場總電場外電場束縛電荷電場++++++++++

電介質(zhì)內(nèi)電場

兩板間電勢差

充滿電介質(zhì)時的電容為

則

電介質(zhì)內(nèi)部場強(qiáng)減弱為外場的1/r這一結(jié)論并不普遍成立，但是場強(qiáng)減弱卻是比較普遍的。電介質(zhì)中的靜電場六、有電介質(zhì)時的高斯定理電位移1.有電介質(zhì)時的高斯定理電位移定義：電位移矢量有介質(zhì)時的高斯定理

通過電介質(zhì)中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數(shù)和。有電介質(zhì)存在時的高斯定理的應(yīng)用（1）分析自由電荷分布的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑妫蟪鲭娢灰剖噶?。?）根據(jù)電位移矢量與電場的關(guān)系，求出電場。（3）根據(jù)電極化強(qiáng)度與電場的關(guān)系，求出電極化強(qiáng)度。（4）根據(jù)束縛電荷與電極化強(qiáng)度關(guān)系，求出束縛電荷。2.三矢量之間關(guān)系三矢量間關(guān)系練習(xí):平行板電容器原場強(qiáng)為.在平行板電容器中充滿極化率為的電介質(zhì).求:電介質(zhì)中的場強(qiáng).又在平行板電容器中充滿極化率e的介質(zhì)，其場強(qiáng)為解:思考：以上結(jié)論有何意義？例.一無限長同軸金屬圓筒，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2，內(nèi)外筒間充滿相對介電常數(shù)為r的油，在內(nèi)外筒間加上電壓U(外筒為正極），求電場及束縛電荷分布。解：根據(jù)自由電荷和電介質(zhì)分布的對稱性，電場強(qiáng)度和電位移矢量均應(yīng)有柱對稱性。設(shè)內(nèi)圓筒單位長度帶電為，以r為底半徑、l為高作一與圓筒同軸的圓柱面為高斯面，則由電位移與電場的關(guān)系，知內(nèi)外筒電勢差代入得到電場的分布為：沿半徑向里由得電極化強(qiáng)度矢量的分布沿半徑向里由得束縛電荷的分布束縛電荷在介質(zhì)內(nèi)表面為正，外表面為負(fù)。練習(xí)一平板電容器板間為真空時，兩極板上所帶電荷的面密度分別為+和-，，電壓U0=200V。撤去充電電源，在板間按圖示充以三種介質(zhì)，介質(zhì)1充滿一半空間，介質(zhì)2和3的厚度相同。求介質(zhì)表面的束縛電荷。（忽略邊緣效應(yīng)）解：忽略邊緣效應(yīng)，板間各處、均垂直于板面,且在同一介質(zhì)中相同。

以1、2分別表示極板左半部及右半部分的面電荷密度，表示各介質(zhì)中的電場和電位移。有電介質(zhì)時的高斯定理電位移電介質(zhì)中高斯定理分別考慮三種介質(zhì)：介質(zhì)1介質(zhì)2介質(zhì)3

在各電介質(zhì)中作圓柱形高斯面，兩底面平行于極板，上底在上極板內(nèi)。

側(cè)面、上底面電場電位移通量均為零。有電介質(zhì)時的高斯定理電位移可解得由電場與電位移關(guān)系得：平衡時導(dǎo)體是等勢體電荷守恒有電介質(zhì)時的高斯定理電位移由得束縛電荷的分布上負(fù)下正上負(fù)下正上負(fù)下正有電介質(zhì)時的高斯定理電位移例題

一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0,浸埋在均勻“無限大”電介質(zhì)（電容率為ε），求球外任一點P的場強(qiáng)及極化電荷分布。解:根據(jù)金屬球是等勢體，而且介質(zhì)又以球體球心為中心對稱分布，可知電場分布必仍具球?qū)ΨQ性，用有電介質(zhì)時的高斯定理來。如圖所示，過P點作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定理知RQ0rPS所以寫成矢量式為,所以離球心r處P點的場強(qiáng)為因

結(jié)果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無限大電介質(zhì)后，其場強(qiáng)減弱到真空時的1/εr倍,可求出電極化強(qiáng)度為電極化強(qiáng)度與有關(guān)，是非均勻極化。在電介質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布在與金屬交界處的電介質(zhì)變面上（另一電介質(zhì)表面在無限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為

因為εr>1，上式說明σ’恒與q0反號，在交界面處自電荷和極化電荷的總電荷量為

總電荷量減小到自由電荷量的1/εr倍，這是離球心r處P點的場強(qiáng)減小到真空時的1/εr倍的原因。

解（1）設(shè)場強(qiáng)分別為E1

和E2

，電位移分別為D1和D2

，E1和E2

與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時的高斯定理得例題

平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為ε1

和ε2

，厚度分別為d1

和d2

，電容器兩板極上自由電荷面密度為±σ。求（1）在各層電介質(zhì)的電位移和場強(qiáng)，（2）電容器的電容.+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22有電介質(zhì)時的高斯定理電位移所以即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移和的量值相等。由于所以

可見在這兩層電介質(zhì)中場強(qiáng)并不相等，而是和電容率（或相對電容率）成反比。有電介質(zhì)時的高斯定理電位移

為了求出電介質(zhì)中電位移和場強(qiáng)的大小，我們可另作一個高斯閉合面S2

，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。有電介質(zhì)時的高斯定理電位移q=σS是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為

可見電容電介質(zhì)的放置次序無關(guān)。上述結(jié)果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢差為有電介質(zhì)時的高斯定理電位移q=σS是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為

可見電容電介質(zhì)的放置次序無關(guān)。上述結(jié)果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢差為有電介質(zhì)時的高斯定理電位移七、電荷間相互作用能靜電場的能量

電荷之間具有相互作用能（電勢能），當(dāng)電荷間相對位置發(fā)生變化或系統(tǒng)電荷量發(fā)生變化時，靜電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能量。1.點電荷間的相互作用能

由n個點電荷組成的系統(tǒng)，其相互作用能（電勢能）為Vi是除qi外的其它所有電荷在qi

所在處產(chǎn)生的電勢。2.電荷連續(xù)分布時的靜電能

以體電荷分布為例，設(shè)想不斷把體電荷元dV從無窮遠(yuǎn)處遷移到物體上，系統(tǒng)的靜電能為是體電荷元處的電勢。(互能、自能）同理，面分布電荷系統(tǒng)的靜電能為：電荷連續(xù)分布時的靜電能3.靜電場的能量平板電容器的能量電能貯藏在電場中，靜電場能量的體密度為任一帶電體系的總能量

靜電場的能量當(dāng)電荷連續(xù)分布時，求靜電能量有三個公式思考：分別說明這三個公式的物理意義,并以平行板電容器為例，分別用上列三個公式計算它在電容為C、蓄有電荷量為Q時的靜電能量.一個個電荷移到一起互能和自能電場能量密度能量例

如圖所示，在一邊長為d的立方體的每個頂點上放有一個點電荷-e，立方體中心放有一個點電荷+2e。求此帶電系統(tǒng)的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e

靜電場的能量解一相鄰兩頂點間的距離為d，八個頂點上負(fù)電荷分別與相鄰負(fù)電荷的相互作用能量共有12對，即；面對角線長度為。6個面上12對對角頂點負(fù)電荷間的相互作用能量是；立方體對角線長度為，4對對角頂點負(fù)電荷間的相互作用能量是；立方體中心到每一個頂點的距離是，故中心正電荷與8個負(fù)電荷間的相互作用能量是

靜電場的能量所以，這個點電荷系統(tǒng)的總相互作用能量為

解二任一頂點處的電勢為

靜電場的能量

在體心處的電勢為按式可得這個點電荷系的總相互作用能為結(jié)果與解一相同.

靜電場的能量例

求半徑為R

帶電量為Q的均勻帶電球的靜電能。解一：計算定域在電場中的能量球內(nèi)r處電場

靜電場的能量解二：計算帶電體系的靜電能再聚集這層電荷dq，需做功：而所以球體是一層層電荷逐漸聚集而成，某一層內(nèi)已聚集電荷

靜電場的能量解法三:用靜電能量的公式

這里電勢U是在電荷己分布完畢，空間各點確定的電勢，都不再隨時間變化.根據(jù)對稱性和高斯定理得RrQ球內(nèi)離球心r處的電勢為由此則得例題

一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為±Q。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為ε0）。板極上帶電±Q時所儲的電能為解（1