高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 學(xué)案4

2023學(xué)年高一年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（42023學(xué)年高一年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（49）班級(jí)姓名學(xué)號(hào)編寫(xiě)：侯國(guó)會(huì)審閱：平面向量基本定理2．在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量．3．會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題學(xué)習(xí)難點(diǎn)：會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題一．知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的向量a，實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)向量的一組基底．2．兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè)向量a和b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．①范圍：向量a與b的夾角的范圍是．②當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b．③當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b．(2)垂直：如果a與b的夾角是90°，則稱(chēng)a與b垂直，記作______.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點(diǎn)一】平面向量基本定理的提出(1)平面內(nèi)的任何向量都能用這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示．如圖所示，e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，試用e1，e2表示向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(GH,\s\up16(→))，eq\o(HG,\s\up16(→))，a.通過(guò)觀察，可得：eq\o(AB,\s\up16(→))＝_________，eq\o(CD,\s\up16(→))＝_________，eq\o(EF,\s\up16(→))＝_________，eq\o(GH,\s\up16(→))＝_____________，eq\o(HG,\s\up16(→))＝___________，a＝______.(2)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？什么叫基底？【探究點(diǎn)二】平面向量基本定理的證明(1)證明定理中λ1，λ2的存在性．如圖，e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，請(qǐng)通過(guò)作圖探究a與e1、e2之間的關(guān)系(2)證明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在實(shí)數(shù)λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，證明λ1，λ2是唯一確定的．(提示：利用反證法)【探究點(diǎn)三】向量的夾角(1)已知a、b是兩個(gè)非零向量，過(guò)點(diǎn)O作出它們的夾角θ.(2)兩個(gè)非零向量夾角的范圍是怎樣規(guī)定的？確定兩個(gè)向量夾角時(shí)，要注意什么事項(xiàng)？(3)在等邊三角形ABC中，試寫(xiě)出下面向量的夾角：a．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝；b．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；c．〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；d．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))〉＝.【典型例題】例1已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(AM,\s\up16(→))＝c，eq\o(AN,\s\up16(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→)).例2如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，試用a、b表示eq\o(DC,\s\up16(→))、eq\o(BC,\s\up16(→))、eq\o(MN,\s\up16(→)).跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a、b表示eq\o(AD,\s\up16(→))、eq\o(AE,\s\up16(→))、eq\o(AF,\s\up16(→)).例3在△OAB中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以a，b為基底表示eq\o(OM,\s\up16(→)).跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知△AOB中，點(diǎn)C是以A為中心的點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up16(→))＝2eq\o(DB,\s\up16(→))，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up16(→))、eq\o(DC,\s\up16(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．三、鞏固訓(xùn)練1．等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))的夾角是 ()A．30° B．45°C．60° D．120°2．設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是________．(寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的序號(hào))3．如圖，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(BD,\s\up16(→))＝3eq\o(DC,\s\up16(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up16(→))，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝________.4．已知G為△ABC的重心，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b.試用a、b表示向量eq\o(AG,\s\up16(→)).四．課堂小結(jié)1．對(duì)基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)零向量與