第4章-控制算法(1)模擬調(diào)節(jié)器的離散化方法

第4章計算機控制系統(tǒng)的

控制算法14.0概述典型的計算機控制系統(tǒng)如圖所示。計算機控制系統(tǒng)系統(tǒng)輸入r(t)與系統(tǒng)輸出y(t)比較后形成偏差e(t)，e(t)經(jīng)采樣保持器及模/數(shù)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字量e(kT)，輸入計算機，由計算機實現(xiàn)數(shù)字控制器的運算規(guī)律，得到離散的控制量u(kT)，再經(jīng)數(shù)/模轉(zhuǎn)換及保持器轉(zhuǎn)換為連續(xù)控制量u(t)，作用到連續(xù)的被控對象上，以控制被控對象的輸出y(t)。2設(shè)計計算機控制系統(tǒng)，主要是設(shè)計數(shù)字控制器，使圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)既要滿足系統(tǒng)的期望指標，又要滿足實時控制的要求。注：現(xiàn)在的計算機控制系統(tǒng)：一般給定信號是數(shù)字信號輸出信號經(jīng)傳感器測量，變換后轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，由計算機進行比較產(chǎn)生數(shù)字e(kt)，經(jīng)計算機的控制算法運算處理輸出控制信號u(kt)。u(kt)轉(zhuǎn)換成模擬信號進行控制。3當然，按前面的假設(shè)，r(t)是模擬信號；e(t)=t(t)-y(t)也是模擬信號；采樣保持器、A/D轉(zhuǎn)換是對e(t)進行的，也是可以的，不影響對系統(tǒng)進行分析。44.1數(shù)字控制器的間接設(shè)計方法數(shù)字控制器的間接設(shè)計法是先根據(jù)給定的性能指標及各項參數(shù)，應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)理論的設(shè)計方法設(shè)計模擬控制器，再按照本節(jié)介紹的離散化方法將模擬控制器離散化為數(shù)字控制器。轉(zhuǎn)換成數(shù)字控制器一般采用以下兩種方法

差分法

z變換設(shè)計法54.1.0基本設(shè)計方法模擬系統(tǒng)設(shè)計——模擬系統(tǒng)原理框圖為：模擬控制器D(s)被控對象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)由于人們首先熟悉模擬系統(tǒng)的設(shè)計，同時研究了許多方便的設(shè)計方法，因此，很多情況我們首先設(shè)計模擬控制系統(tǒng)，然后再轉(zhuǎn)換成數(shù)字控制系統(tǒng)——主要是控制器GC(s)的轉(zhuǎn)換。64.1.2模擬化設(shè)計步驟（1）設(shè)計模擬控制器模擬控制器的設(shè)計——自控原理學過根據(jù)要求的性能指標，配置零極點。當前使用最多的是PID控制算法。對于PID控制算法，就變?yōu)橹饕沁x擇合適的比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)問題模擬控制器D(s)被控對象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)7主要方法：依據(jù)性能指標要求，可以基本確定閉環(huán)傳遞函數(shù)。有了開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)有了閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)

或叫做Φ(s)設(shè)計過程就是尋找D(s)，使得在該調(diào)節(jié)器（控制器）的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的性能滿足我們的要求。用該方法設(shè)計的是模擬調(diào)節(jié)器，要用計算機實現(xiàn)，需要進行離散化處理。對于模擬調(diào)節(jié)器，一般使用P、PI、PID調(diào)節(jié)器。離散化方法：差分法、Z變換法。8（2）正確的選擇采樣周期要用計算機實現(xiàn)控制器的功能，就需要選擇采樣周期，對模擬控制器進行離散化描述。采樣周期的選擇——教材64頁給出了4點原則（1）從條件品質(zhì)考慮——希望采樣周期短。一般在過渡過程時間內(nèi)，采樣6~15次。（2）從快速性和抗干擾考慮——希望采樣周期短（3）從成本和計算機的工作量考慮——希望采樣周期長點（4）從計算精度考慮——希望采樣周期T不應(yīng)太短，否則對于有限的計算機字長，前后兩次采樣差值太小，反而導致調(diào)節(jié)作用變?nèi)?。?-1給出了采樣周期選擇的一組數(shù)據(jù)

9被控制量采樣周期（S）備注流量1~5優(yōu)選1S壓力3~10優(yōu)選5S液位6~8優(yōu)選7S溫度15~20優(yōu)選純滯后時間成分15~20優(yōu)選18S表4-1一部分控制系統(tǒng)選擇采樣周期的經(jīng)驗數(shù)據(jù)伺服電動機運動控制等沒有給出。（5mS~20mS）其它控制依據(jù)使用要求。被控物理量的特征，按上述原則選。10（3）模擬控制器的離散化描述按模擬方法設(shè)計的調(diào)節(jié)器，要用計算機來實現(xiàn)，需要對它進行離散化處理，轉(zhuǎn)變成能夠用計算機程序來實現(xiàn)的方式。

差分方程是計算機容易實現(xiàn)的方式。對應(yīng)于差分方程——傳遞函數(shù)Gc（S）就變?yōu)槊}沖傳遞函數(shù)D（Z）。下面就討論離散化方法114.1.3將模擬控制器轉(zhuǎn)換為數(shù)字控制器的方法模擬控制器的離散化，有差分法，

脈沖響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法零極點匹配映射法我們主要討論差分法。12差分法的基本思想對于線性定常系統(tǒng)，假設(shè)其模擬調(diào)節(jié)器它對應(yīng)的時域表達式兩邊積分13對于采樣時刻t=kt的u(t)值，用采樣時刻t=kt帶入同樣可以得到14于是，可以得到當T很小時，上式中的積分項當T很小時，上式中的積分項TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T15當T很小時，積分項TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T的u(t)變化很小，可以用下列三種方法之一近似（1）u(k-1)值構(gòu)成的矩形面積——前向差分（2）u(k)值構(gòu)成的矩形面積——后向差分（3）u(k-1)，u(k)構(gòu)成的梯形面積——雙線性變換16上式右側(cè)兩項在數(shù)值上可用各種方法來處理，根據(jù)近似處理方法的不同，就得到幾種不同的離散化方法

前向差分法后向差分法雙線性變換法

17（1）前向差分法前向差分法是一種數(shù)值積分，即用(K-1)T時刻的值所形成的矩形面積近似項積分。前向差分法有可能將S左半平面的穩(wěn)定極點映射到Z平面單位圓外成為不穩(wěn)定極點，故實際應(yīng)用中不能采用前向差分法作為離散化方法。經(jīng)前向差分可寫成18它的Z變換為：它的Z變換為：19如果令在采用前向差分時。則模擬調(diào)節(jié)器GC(s)與數(shù)字調(diào)節(jié)器D(z)具有相同的形式?！烧J為公式(5.7)是從s平面到z平面的映射函數(shù).這樣的映射是否穩(wěn)定？——也就是說，如果穩(wěn)定的模擬控制器GC(s)，變換到Z域是否仍然穩(wěn)定？20前向差分法對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響對于公式4.6模擬系統(tǒng)穩(wěn)定，——要求系統(tǒng)極點位于S左半平面也就是S平面穩(wěn)定的極點，映射到Z平面變?yōu)棣?lt;1的平面。如圖所示。Z為復(fù)數(shù)z=σ+jω因T>021σjωRezjImzσ=1Z平面S平面σ<122前向差分法有可能將S平面的穩(wěn)定極點映射到Z平面的單位圓外——原來設(shè)計的在模擬條件下穩(wěn)定的系統(tǒng)，利用前向差分轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字控制器后，系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定。故一般不用前向差分法。23（2）后向差分法后向差分法也是一種數(shù)值積分，即用kT時刻的值所形成的矩形面積近似積分項。后向差分法將s平面的穩(wěn)定區(qū)域映射為z平面的一個以σ=1/2，ω=0為圓心，1/2為半徑的圓。經(jīng)后項差分可寫成它的Z變換24類似于前向差分法，如果令則D(z)在形式上與GC(s)相同，可認為從s平面到z平面的映射函數(shù)為：下面來討論后向差分法對穩(wěn)定性造成影響？25后向差分對穩(wěn)定性的影響類似于前向差分法對于復(fù)數(shù)z,z=σ+jω26它就是經(jīng)過4.9映射，S平面的穩(wěn)定區(qū)域，被映射到Z平面的情況是：它映射到圓心在σ=1/2，ω=0，半徑為?的園。即：使用后向差分，原來穩(wěn)定的模擬控制系統(tǒng)變換為數(shù)字控制系統(tǒng)后，仍然是穩(wěn)定的。園方程27S平面Z平面28（3）雙線性變換法雙線性變換法也稱梯形法或Tustin法，是基于梯形面積近似積分的方法。根據(jù)這個方法有29差分方程離散后的控制器脈沖傳遞函數(shù)令30則D(z)與模擬調(diào)節(jié)器GC(s)具有相同的形式?！烧J為從s平面到z平面的映射函數(shù)為考察該映射對穩(wěn)定性的影響。31令z=σ+jω，帶入也就是S平面穩(wěn)定的極點，映射到Z平面在單位圓內(nèi)。雙線性變換是穩(wěn)定的。32對于任何一個已經(jīng)設(shè)計好的模擬調(diào)節(jié)器Gc(S)，我們可以使用后向差分法、或雙線性變換法，將模擬調(diào)節(jié)器GcSe）轉(zhuǎn)換為Z變換域的脈沖傳遞函數(shù)D（Z）有了D（Z），就可以得到調(diào)節(jié)器的差分方程——就可以用計算機程序來實現(xiàn)。33還有一些離散化方法：

脈沖響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法零極點匹配映射法

教材上沒有介紹，需要時，自己找相關(guān)資料，我們就不討論了。344.2數(shù)字PID控制器的設(shè)計PID控制規(guī)律PID控制規(guī)律的離散化PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)

數(shù)字PID控制器354.2.1PID控制（1）模擬PID控制調(diào)節(jié)器被控對象r(t)y(t)e(t)u(t)-+PID控制，就是控制器對誤差信號e(t)進行比例(P)、積分（I）、微分(D)運算，得到輸出控制信號u(t)。36式中u(t)——是控制器的輸出；e(t)——是系統(tǒng)給定量與輸出量的偏差；Kp——是比例系數(shù)；TI——是積分時間常數(shù)；TD——是微分時間常數(shù)。PID控制也可以表達為：KI——積分系數(shù)KI=KP/TIKD——微分系數(shù)KD=KP*TD傳遞函數(shù)為：37教材上的PID控制，在上述基本PID運算的基礎(chǔ)上，又添加了一項u0它表示一個控制量的初始值，例如閥門的初始開度等，一般情況不用這樣表示，故后面我們不再用這一項，而是直接用常用的PID算法公式38使用PID控制器的控制系統(tǒng)原理圖KP+++G0(s)GC(s)y(t)u(t)e(t)r(t)-+IPD39比例作用比例作用的引入是為了及時成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號e(t)，系統(tǒng)偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生與其成比例的控制作用，以減小偏差。比例控制的特點：響應(yīng)快，一旦出現(xiàn)偏差，控制器會立即產(chǎn)生控制作用u(t)=KP×e(t)，使系統(tǒng)向減小偏差的方向變化。存在的不足：對某些系統(tǒng)，可能存在穩(wěn)態(tài)誤差，加大比例系數(shù)k，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差減小，但穩(wěn)定性可能變差，可能導致振蕩。40積分作用的引入是為了使系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差，以保證實現(xiàn)對設(shè)定值的無靜差跟蹤。假設(shè)系統(tǒng)己經(jīng)處于閉環(huán)穩(wěn)定狀態(tài)，此時的系統(tǒng)輸出和誤差量保持為常值，只有當且僅當動態(tài)誤差e(t)=0時，控制器的輸出才為常數(shù)。從原理上看，只要控制系統(tǒng)存在動態(tài)誤差，積分調(diào)節(jié)就產(chǎn)生作用，直至無差，積分作用就停止，此時積分調(diào)節(jié)輸出為一常值。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)TI的大小，TI越小，積分作用越強，反之則積分作用弱。積分作用的引入會使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，動態(tài)響應(yīng)變慢。實際中，積分作用常與另外兩種調(diào)節(jié)規(guī)律結(jié)合，組成PI控制器或者PID控制器。②積分I的作用對控制性能的影響41③微分D作用對控制性能的影響微分作用的引入，主要是為了改善控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性。微分作用能反映系統(tǒng)偏差的變化律，預(yù)見偏差變化的趨勢，因此能產(chǎn)生超前的控制作用。直觀而言，微分作用能在偏差還沒有形成之前，就己經(jīng)依據(jù)偏差的變化趨勢產(chǎn)生控制作用，因此，微分作用可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。424.2.2PID控制規(guī)律的離散化計算機控制系統(tǒng)中，利用外接矩形法進行數(shù)值積分（在時間T內(nèi)近似認為e(t)為常數(shù)），一階后向差分進行數(shù)值微分，當選定采樣周期為T時，有

ui為控制器輸出，它對應(yīng)于被控對象的執(zhí)行機構(gòu)第i次采樣時刻應(yīng)達到的位置，因此，該式稱為位置型PID控制算式，其輸出值與過去所有狀態(tài)有關(guān)。43當執(zhí)行機構(gòu)需要的不是控制量的絕對數(shù)值，而是其增量時，由上式可導出增量型PID控制算式對于位置式PID控制算法，i-1時刻的ui-1為：i時刻與i-1時刻的輸出值之差為：44計算機只輸出控制增量，即執(zhí)行機構(gòu)位置的變化部分，因而誤動作影響小在i時刻的輸出ui，只需用到此時刻的偏差，以及前一時刻，前兩時刻的偏差ei-1，ei-2和前一次的輸出值ui-1，這大大節(jié)約了內(nèi)存和計算時間在進行手動－自動切換時，控制量沖擊小，能夠較平滑地過渡增量型控制算式具有以下優(yōu)點缺點：

不便于積分限幅處理、積分項分離處理，對超調(diào)量的控制不方便45PID算法還可寫成遞推型PID方式46PID控制算法只是用比例項

——P（比例控制）比例+積分 ——PI

比例+微分 ——PD

比例+積分+微分——PID依據(jù)控制性能要求、被控對象的特征選擇。對于PID控制，PID三項的系數(shù)值決定系統(tǒng)的控制性能——選擇可是的系數(shù)，叫做PID參數(shù)整定。474.2.3.PID算法的實現(xiàn)為了盡量節(jié)省計算時間，一般使用第推算法。（1）增量式PID算法可以直接利用公式5.21計算。需要保存ei-1,ei-2兩次誤差信號，再利用當前誤差ei

計算輸出信號。該算法流程圖見教材72頁圖4.948（2）位置式PID算法實現(xiàn)方法1利用遞推計算公式5.22計算位置式PID控制信號它需要保存ei-1,ei-2兩次誤差信號，前一次的控制輸出信號ui-1，再利用當前誤差ei計算輸出信號。實際上，該方法就是實現(xiàn)該算法的程序流程圖自己參考教材圖4.9畫一下。具體的程序代碼與所使用的程序設(shè)計語言有關(guān)。49（3）位置式PID算法2將公式5.20的積分項Xi為積分項。積分初值X0=0，該方法需要保存ei-1和前面的積分值Xi-1。

該方法的優(yōu)點是可以進行積分項的分離和單獨限幅處理，有利于提高控制性能——例如誤差太大時，使積分項為0（只用PD）算法，這樣可以減小積分飽和造成的超調(diào)量。50該方法的程序設(shè)計，自己回去編寫。對于許多PID控制算法的改進，都是基于位置式PID控制算法——積分項的改進——對控制效果有較大的改進積分分離——

變速積分法抗擊分包和梯形積分法消除積分不靈敏區(qū)方法微分項的改進不完全微分法微分先行法514.2.4.PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)將模擬控制器的傳遞函數(shù)用后向差分方法等效離散化(s=(1-z-1)/T)，可得PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)形式直接從差分方程也可以得到該式52所以534.2.5數(shù)字PID控制器算法的改進

標準PID控制算法存在的問題

PID控制器的改進算法

PID控制的發(fā)展

541.標準PID控制算法存在的問題任何一種執(zhí)行機構(gòu)都存在一個線性工作區(qū)，同時，執(zhí)行機構(gòu)的動態(tài)特性也存在一個線性工作區(qū)。增量式PID算法中微分項和比例控制作用過大將出現(xiàn)微分飽和，都會使執(zhí)行機構(gòu)進入非線性區(qū)，從而使系統(tǒng)出現(xiàn)過大的超調(diào)或持續(xù)振蕩，動態(tài)品質(zhì)變壞。為了克服以上兩種飽和現(xiàn)象，避免系統(tǒng)的過大超調(diào)，使系統(tǒng)具有較好的動態(tài)品質(zhì)，必須使PID控制器輸出的控制信號受到約束，即對標準的PID控制算法進行改進，并主要是對積分項和微分項進行改進。552.PID控制器的改進算法

積分飽和作用及其抑制

PID增量算法的飽和作用及其抑制

干擾的抑制

PID算式中微分項的改進

56（1）積分項的改進物理執(zhí)行元件的機械和物理性能是受約束的，即輸入u(t)的取值是在有限范圍內(nèi)，同時其變化率也受限制?？刂葡到y(tǒng)在啟動、停止或者大幅度提降給定值等情況下，系統(tǒng)輸出會出現(xiàn)較大的偏差，這種較大偏差，不可能在短時間內(nèi)消除，經(jīng)過積分項累積后，可能會使控制量u(k)很大，甚至超過執(zhí)行機構(gòu)的極限。另外，當負誤差的絕對值較大時，也會出現(xiàn)另一種極端情況。

積分分離法57①積分分離法減小積分飽和的關(guān)鍵在于不能使積分項累積過大。積分項的主要作用是消除靜態(tài)誤差，因此當偏差大于某個規(guī)定的門限值時，刪除積分作用，PID控制器相當于一個PD調(diào)節(jié)器，這樣既可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)又可以消除積分飽和現(xiàn)象，不致使系統(tǒng)產(chǎn)生過大的超調(diào)和振蕩。只有當誤差e在門限之內(nèi)時，加入積分控制，相當于PID控制器，則可消除靜差，提高控制精度。積分分離的控制規(guī)律為58程序?qū)崿F(xiàn)：增加一個判斷環(huán)節(jié)，當誤差ei過大時，使積分項59②變速積分的PID算法前面的PID算法中，積分系數(shù)KI（或TI）是一個常數(shù)。積分作用太強，會造成積分項太大，出現(xiàn)負偏差比較大時（出現(xiàn)較大的超調(diào)量），積分項才會逐步變小——使控制量變小。積分作用弱——有可能靜差大因此，我們的要求：偏差大——積分作用弱，直至不積分偏差小——積分作用強這樣，積分系數(shù)就應(yīng)該是偏差ei的函數(shù)。例如4.2760F值在0~1之間變化，是當前的偏差起的作用與他的偏差值有關(guān)，相當于積分項的系數(shù)是變化的。61③抗積分飽和積分項的輸出限制在執(zhí)行機構(gòu)所能執(zhí)行的輸出值范圍內(nèi)，例如如果通過8位DA輸出，則最大值限制在0FFH。這樣，一旦輸出出現(xiàn)超調(diào)，積分項輸出UI立即變小，不會出現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)后，控制量u還不減小的情況。62④梯形積分消除積分不靈敏63（2）PID算式中微分項的改進在標準數(shù)字PID算法中，對于誤差為階躍信號，微分控制作用只體現(xiàn)在誤差信號發(fā)生瞬變的第一個采樣周期內(nèi)從第二個采樣周期開始，ei=ei-1,微分部分輸出變?yōu)榱?。而在連續(xù)控制系統(tǒng)中，PID控制器的微分部分能在較長時間內(nèi)起作用，如圖所示。et=kT64①不完全微分PID控制算法為了改善控制效果，需要對微分項做改進微分作用比較工程上一般是在傳統(tǒng)PID算法的基礎(chǔ)上增加一個慣性環(huán)節(jié)65通過加入慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成不完全微分數(shù)字控制器。它不僅可以平滑微分產(chǎn)生的瞬時脈動，而且能加強微分對全過程的影響。不完全微分的PID調(diào)節(jié)規(guī)律實際上，這個慣性環(huán)節(jié)，就相當于在PID輸出增加一個RC低通濾波器RC66該慣性環(huán)節(jié)的實現(xiàn)其中T是采樣周期,τ是濾波器的時間常數(shù)，它相當于RC低通濾波器的

τ=RC它就是前面介紹過的一階數(shù)字低通濾波器。RC67②微分先行PID控制算法教材77頁簡單介紹了該方法。68（3）其它改進方法包括時間最優(yōu)PID控制帶死區(qū)的PID控制算法可變增量PID控制算法還有許多具有人工智能特征的PID控制算法例如：自適應(yīng)PID控制算法基于人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的PID控制算法參數(shù)子整定PID控制算法……693.PID控制的發(fā)展PID是行之有效的一種控制規(guī)律，隨著計算機控制技術(shù)的發(fā)展和控制理論的發(fā)展，許多學者對這種控制方法進行了更深入的研究，提出了許多性能優(yōu)良的PID控制算法?？勺冊鲆鍼ID控制——Kp可變參數(shù)自尋優(yōu)PID控制——自動尋找優(yōu)化的PID參數(shù)。

PID+Ping-Pang復(fù)合控制——在誤差進入指定區(qū)域，才使用PID控制，該范圍外，使用開關(guān)控制。自適應(yīng)PID控制——

模糊PID控制——PID專家控制系統(tǒng)——704.2.6數(shù)字PID控制器的參數(shù)整定在實際控制系統(tǒng)中，控制算式一旦確定，比例，積分和微分參數(shù)的整定就成為重要的工作。控制效果的好壞在很大程度上取決于這些參數(shù)選擇得是否得當。關(guān)于PID控制參數(shù)整定方法有很多。通常首先要對工業(yè)對象的動態(tài)特性作某種簡單假設(shè)。因此，由這些整定方法得到的參數(shù)值在使用時不一定是最佳的，往往只作為參考值。在實時控制中，還要在這些值附近探索，找出實用中有效的最佳值。

PID參數(shù)整定的理論方法試湊法確定PID調(diào)節(jié)參數(shù)簡易工程法整定參數(shù)

711.理論方法按照指標要求、選取一組合適的PID參數(shù)，它與被控對象的特性相配合，使系統(tǒng)特征方程的根分布在S平面左半平面某一個希望的區(qū)域。通過分析零極點對系統(tǒng)性能影響，選擇合適的零極點——就得到控制器的傳遞函數(shù)。