第五章頻域分析法

第五章頻域分析法(本章五次課)第一節(jié)頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性第三節(jié)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性第四節(jié)頻率特性（Nyquist）的穩(wěn)定判據(jù)第五節(jié)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算

第六節(jié)開環(huán)頻率特性曲線與閉環(huán)時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系單元總結(jié)用圖形的方法進(jìn)行系統(tǒng)性能分析（直觀）；用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)性能（建模簡(jiǎn)單）；有明確的物理意義（便于理解)；對(duì)高階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及性能指標(biāo)估算的過程簡(jiǎn)單(便于工程應(yīng)用)。練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)4練習(xí)3第一節(jié)頻率特性一、頻率特性的一般概念二、頻率特性的解析表示和頻率特性曲線的繪制三、頻率特性的幾點(diǎn)說明一、頻率特性的一般概念1、頻率特性的定義若輸入為:則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為:幅頻特性：相頻特性：頻率特性：2、頻率特性的求取G(s)r(t)c(t)頻率特性中，自變量頻率取值范圍零至無窮。頻率特性的求取基于傳遞函數(shù)求頻率特性二、頻率特性的解析表示和曲線的繪制1、頻率特性解析表示幅相頻率特性幅頻特性和相頻特性實(shí)頻特性和虛頻特性2、頻率特性曲線Nyquist曲線（全頻程矢量矢段行走的軌跡）Bode曲線（全頻程幅頻特性和相頻特性曲線）舉例三、有關(guān)頻率特性的幾點(diǎn)說明1、頻率特性G(jω)是以ω為自變量的向量；2、頻率特性曲線是指自變量ω在全頻段矢量矢端行走的軌跡；3、開環(huán)頻率特性曲線是判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性及評(píng)定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的依據(jù)；4、開環(huán)傳遞函數(shù)的形式是典型環(huán)節(jié)的乘積形式。尋找繪制開環(huán)頻率特性曲線的規(guī)律，關(guān)鍵在于掌握典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制規(guī)律。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)二、積分和微分環(huán)節(jié)三、一階慣性和一階微分環(huán)節(jié)四、二階振蕩和二階微分環(huán)節(jié)五、純遲延環(huán)節(jié)六、不穩(wěn)定環(huán)節(jié)(零點(diǎn)或極點(diǎn)在右半平面)注意：Nyquist曲線所在象限；

Bode曲線相頻和幅頻漸近線的繪制及對(duì)應(yīng)關(guān)系；

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)特征（兩種曲線聯(lián)系分析）。曲線特征匯總比例、積分、微分環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線環(huán)節(jié)名稱比例環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)k1/ss幅相頻率特性

k1/jωjω

幅頻特性A(ω)k1/ω

ω相頻特性φ(ω)0°-90°90°對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)20lgk-20lgω20lgωNyquist曲線Bode曲線一階微分、一階慣性環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線關(guān)注轉(zhuǎn)折頻率處的幅值修正！??！二階微分、二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線注意：曲線特征轉(zhuǎn)折頻率處的修正規(guī)則兩個(gè)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)純遲延環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線分析以下兩個(gè)對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)Nyquist曲線的區(qū)別？關(guān)注圖形所在象限的確定規(guī)則?。。〉湫铜h(huán)節(jié)Bode曲線漸近線的特征環(huán)節(jié)名稱特征參數(shù)幅頻特性曲線相頻特性曲線低頻中頻高頻低頻中頻高頻比例K20lgK水平線0°水平線積分過（ω=1,L=0）點(diǎn)，斜率為-20dB/+倍頻程-90°水平線微分過（ω=1,L=0）點(diǎn)，斜率為20dB/+倍頻程90°水平線一階微分T0分貝水平線1/T,L=0+200°水平線ω=1/T,45°90°一階慣性T0分貝水平線1/T,L=0-200°水平線ω=1/T,-45°-90°二階微分T,ζ0分貝水平線1/T,L=0+400°水平線ω=1/T,90°180°二階慣性T,ζ0分貝水平線1/T,L=0-400°水平線ω=1/T,-90°-180°純遲延0分貝水平線0°水平線過（ω=1/τ,1弧度）點(diǎn)注意：轉(zhuǎn)折頻率處的修正值第三節(jié)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一、開環(huán)幅相頻率特性（Nyquist）曲線的繪制二、最小相位系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（Bode）曲線的繪制三、基于對(duì)數(shù)頻率特性曲線求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)思考：非最小相位系統(tǒng)BODE曲線的繪制1、幅頻？2、相頻？關(guān)注：Bode曲線與Nyquist曲線之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系——起點(diǎn)、終點(diǎn)及所在象限。一、開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制1、最小相位系統(tǒng)繪制規(guī)則2、應(yīng)用舉例3、特殊點(diǎn)計(jì)算4、非最小相位系統(tǒng)繪制舉例1、最小相位系統(tǒng)的Nyquist繪制規(guī)則曲線的起端形式由開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)確定（型別）無積分環(huán)節(jié)v=0時(shí)，起于實(shí)軸k處；有積分環(huán)節(jié)v=1、v=2、v=3時(shí)，起于-90°、-180°、-270°的∞遠(yuǎn)處。曲線的終端形式由分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的階次差確定。開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，曲線終止于實(shí)軸；開環(huán)極點(diǎn)多于開環(huán)零點(diǎn)時(shí)，曲線延（n-m）＊（-90°）方向終止于原點(diǎn)。開環(huán)幅相頻率特性曲線所在象限由各環(huán)節(jié)形式綜合確定。s1/sωω2、最小相位系統(tǒng)Nyquist曲線繪制舉例關(guān)注：1）起點(diǎn)、終點(diǎn)、圖形所在象限；2）相位隨ω呈滯后還是超前特性、幅值隨ω增加還是減小。3、特殊點(diǎn)計(jì)算與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算

與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算舉例應(yīng)用舉例4、非最小相位系統(tǒng)Nyquist曲線繪制舉例關(guān)注不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的相位是能正確繪圖的關(guān)鍵！二、最小相位系統(tǒng)

開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性Bode曲線的繪制1、零型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性Bode曲線的繪制2、非零型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性Bode曲線的繪制繪圖技巧：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線從低頻到高頻線線疊加；最小相位系統(tǒng)相頻與幅頻有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線草圖。1、零型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性Bode曲線的繪制低頻幅頻特性曲線為水平線，高度由20Lgk確定；轉(zhuǎn)折頻率處由環(huán)節(jié)形式確定折線斜率的變化規(guī)律；轉(zhuǎn)折頻率處的修正，由環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)及特性參數(shù)決定。Bode曲線草圖繪制舉例坐標(biāo)系的確定方法例題講解12、非零型系統(tǒng)開環(huán)

對(duì)數(shù)頻率特性Bode曲線的繪制低頻幅頻特性曲線為斜線，斜線過（ω=1，L=20Lgk）點(diǎn)，斜率由積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)（系統(tǒng)型別）確定-20v。有微分環(huán)節(jié)的斜線確定方法類推；轉(zhuǎn)折頻率處由環(huán)節(jié)形式確定折線斜率的變化規(guī)律；轉(zhuǎn)折頻率處的修正，由環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)及特性參數(shù)決定。Bode曲線草圖繪制舉例例題講解2三、基于對(duì)數(shù)頻率特性曲線

求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1、積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)由低頻段漸近線的斜率確定。2、由低頻段漸近線確定K值零型系統(tǒng)水平線高度為20LgK非零型系統(tǒng)斜線斜率（延長(zhǎng)線）及與0分貝線的交點(diǎn)坐標(biāo)ω確定K1型系統(tǒng)ω=k2型系統(tǒng)ω=基于直角三角形確定3、由各轉(zhuǎn)折頻率確定各環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)。4、由各轉(zhuǎn)折頻率處兩邊折線的斜率變化情況確定所對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)形式。5、二階環(huán)節(jié)可基于特征數(shù)據(jù)確定阻尼系數(shù)ζ舉例：0dBlgωL(ω)-40-20(1)ω1ω2

-20-40-20(2)kω1ω220(3)1/k-20ω2ω1第四節(jié)頻率特性（Nyquist）的穩(wěn)定判據(jù)一、穩(wěn)定判據(jù)的理論依據(jù)二、穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)三、穩(wěn)定判據(jù)的推廣四、穩(wěn)定判據(jù)在非零型系統(tǒng)中的應(yīng)用五、穩(wěn)定判據(jù)在BODE曲線上的應(yīng)用1、穩(wěn)定判據(jù)的理論依據(jù)

映射定理：是兩個(gè)多項(xiàng)式之比，有一定的零點(diǎn)和極點(diǎn)。則位于s平面一個(gè)封閉曲線，映射到F(s)平面時(shí)仍然是一條封閉曲線。并有以下特性存在：在s平面，矢量s順時(shí)針繞封閉曲線一周，當(dāng)零極點(diǎn)在封閉曲線內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)矢量的角增量為2π（順時(shí)針），在外時(shí)角增量為0；而在F(s)平面，矢量順時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)為：

封閉曲線內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)-封閉曲線內(nèi)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。F(s)F(S)平面ss+p1-p1-p2s+p2s+z1S平面s+z2F(s)順時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)，取決于S平面封閉曲線內(nèi)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差。而于封閉曲線外零極點(diǎn)無關(guān)。2、穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的條件：1）開環(huán)在右半平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)P；

2）GK(jω)正負(fù)全頻曲線。NP∞S平面解題難點(diǎn)？3、穩(wěn)定判據(jù)的推廣穩(wěn)定判據(jù)推廣之一開環(huán)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)P=2GK(jω)矢量當(dāng)ω

由0—∞時(shí)，逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。穩(wěn)定判據(jù)推廣之二射線的定義和正負(fù)穿次（包括半穿）的定義；射線：起于（-1，j0）點(diǎn)沿實(shí)軸反方向；正穿（逆穿）：ω增大時(shí)曲線從上向下穿過射線；負(fù)穿（順穿）：ω增大時(shí)曲線從下向上穿過射線。半穿的定義：曲線起于射線或終于射線。穩(wěn)定判據(jù)：P=2(a-b)P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)，

a為矢量當(dāng)ω

：0+—∞時(shí)的正（逆時(shí)針）穿次數(shù)，

b為矢量當(dāng)ω

：0+—∞時(shí)的負(fù)（順時(shí)針）穿次數(shù)。系統(tǒng)右半平面特征根的確定：N=P-2(a-b)系統(tǒng)純虛根的確定：Nyquist曲線過（-1，j0）的次數(shù)。應(yīng)用舉例基于曲線的對(duì)稱關(guān)系G(jω)平面-1，j04、穩(wěn)定判據(jù)在非零型系統(tǒng)中的應(yīng)用開式曲線轉(zhuǎn)為閉式曲線——輔助線的繪制原點(diǎn)為圓心無窮大為半徑；起于實(shí)軸順時(shí)針繞角度為0.5πv，與曲線起點(diǎn)相連。判據(jù)與前面所述相同，但穿次包括輔助線輔助線繪制舉例：1、2、3q=1ω=0-1q=2ω=0-1應(yīng)用舉例q=3；q=1。ω=0-1(1)(2)5、穩(wěn)定判據(jù)在

BODE曲線上的應(yīng)用最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(幅頻曲線與0分貝線僅有一個(gè)交點(diǎn)):對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180°水平線交點(diǎn)引垂線與幅頻特性曲線相交，若交點(diǎn)在0分貝下方系統(tǒng)穩(wěn)定。反之不穩(wěn)定。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與0分貝交點(diǎn)引垂線與相頻特性曲線相交，若交點(diǎn)在-180°水平線上方系統(tǒng)穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。復(fù)雜最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定性判別？繪制輔助線；計(jì)算穿次；穩(wěn)定判據(jù)同前。解題關(guān)鍵——了解兩種曲線上特征點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2）ω1ωc（1）ωcω1第五節(jié)控制系統(tǒng)性能指標(biāo)的計(jì)算動(dòng)態(tài)指標(biāo)定義及計(jì)算剪切頻率ωc相角裕量γ幅值裕量kgBODE曲線上的指標(biāo)計(jì)算作圖法折線計(jì)算法三角形對(duì)數(shù)幅頻特性分段計(jì)算式控制系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)靜態(tài)——低頻段動(dòng)態(tài)——中頻段抗高頻干擾能力——高頻段ωcω1(-1，j0)第六節(jié)開環(huán)頻率特性曲線

與閉環(huán)時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系定性分析：相角裕量越大超調(diào)量越小，穩(wěn)定程度越好；

剪切頻率越大調(diào)節(jié)速度越快。單元總結(jié)

主要內(nèi)容

習(xí)題類型

單元練習(xí)主要內(nèi)容頻率特性的定義及其基本概念兩種曲線的繪制典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制及其特征；不穩(wěn)定環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制及其特征；開環(huán)頻率特性曲線的繪制及特殊點(diǎn)參數(shù)的計(jì)算方法；最小相位系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線的繪制；最小相位系統(tǒng)頻率特性曲線與傳遞函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（r、ωc

、kg）的計(jì)算習(xí)題類型依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制Nyquist曲線草圖，判系統(tǒng)的穩(wěn)定性；依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制最小相位系統(tǒng)的Bode曲線草圖，判系統(tǒng)的穩(wěn)定性,計(jì)算性能指標(biāo)；由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；由開環(huán)Bode曲線定性分析系統(tǒng)綜合性能；三種分析方法的綜合應(yīng)用。單元練習(xí)1、已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1）概略繪制根軌跡；2）當(dāng)k為何值時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；（參考答案：0<k<30）3）k=10概略繪制系統(tǒng)Bode圖；4）在圖中標(biāo)出r、Kg。2、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其中：或1）繪制開環(huán)Bode曲線和Nyquist曲線；2）分析兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性.3、某最小相位系統(tǒng)的如圖所示。1）求傳遞函數(shù)2）求剪切頻率和相角裕量4、已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1）求開環(huán)傳遞函數(shù)；2）繪制極坐標(biāo)曲線；3)用N氏判據(jù)分析穩(wěn)定性。參考答案：穩(wěn)定。零型系統(tǒng)穩(wěn)定性分析應(yīng)用舉例（-1，j0）(1)(2)（-1，j0）（-1，j0）（-1，j0）(1)(2)非零型系統(tǒng)穩(wěn)定性分析應(yīng)用舉例（-1，j0）（-1，j0）（1）（2）（-1，j0）(1)T1>T2(2)T1<T2（-1，j0）已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，分析穩(wěn)定性，若穩(wěn)定計(jì)算性能指標(biāo)。1、計(jì)算剪切頻率2、計(jì)算相角裕量3、計(jì)算幅值裕量結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定。ωc≈10;γ≈84.3°;kg≈20dB。BODE曲線上的指標(biāo)計(jì)算1BODE曲線上的指標(biāo)計(jì)算2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，分析穩(wěn)定性，若穩(wěn)定計(jì)算性能指標(biāo)。1、計(jì)算剪切頻率2、計(jì)算相角裕量3、計(jì)算幅值裕量結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定。ωc≈10;γ≈78.6°;kg≈∞dB?？刂葡到y(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)1、對(duì)中頻段曲線形式的要求2、對(duì)低頻段曲線形式的要求3、對(duì)高頻段曲線形式的要求練習(xí)一1、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1）求輸入為的穩(wěn)態(tài)輸出cs(t)；2）求上述輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差es(t)。2、在同一坐標(biāo)系繪制一階慣性環(huán)節(jié)的bode曲線的漸近線，標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。3、在同一坐標(biāo)系繪制一階微分環(huán)節(jié)的bode曲線的漸近線，標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。練習(xí)二1、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，繪制Nyquist曲線草圖。2、寫出開環(huán)傳遞函數(shù)與實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率ω1及幅值A(chǔ)(ω1)的計(jì)算式。參考答案：參考答案：1）