高中數(shù)學(xué)北師大版5第二章幾個(gè)重要的不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十三)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,24)(n≥2)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)不等式左邊()A．增加了一項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中的兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1)D．以上均不正確【解析】由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋2)＋\f(1,k＋3)＋…＋\f(1,2k＋1)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)))＝eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).故選C.【答案】C2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n2<2n對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，n0應(yīng)取值為()A．1 B．3C．5 D．7【解析】12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n≥5，故n0的值為5.【答案】C3．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A．過(guò)程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【解析】在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．【答案】D4．對(duì)于正整數(shù)n，下列說(shuō)法不正確的是()A．3n≥1＋2n B．≥1－C．<1－ D．≥1－【解析】由貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，當(dāng)x＝2時(shí)，(1＋2)n≥1＋2n，A正確．當(dāng)x＝－時(shí)，(1－n≥1－，B正確，C不正確．當(dāng)x＝時(shí)，(1－n≥1－，因此D正確．【答案】C5．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(m,24)對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A．12 B．13C．14 D．不存在【解析】令f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的．∴f(n)的最小值為f(2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).依題意eq\f(7,12)>eq\f(m,24)，∴m<14.因此取m＝13.【答案】B二、填空題6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_(kāi)_________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910041】【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．觀察式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，則可歸納出__________．【答案】1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)(n≥2，n∈N＋)8．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(an＋bn,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(n)(a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，n∈N＋)時(shí)，假設(shè)n＝k時(shí)不等式eq\f(ak＋bk,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(k)(*)成立，再推證n＝k＋1時(shí)不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式同乘__________．【解析】要想辦法出現(xiàn)eq\f(ak＋1＋bk＋1,2)，兩邊同乘以eq\f(a＋b,2)，右邊也出現(xiàn)了要求證的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(k+1).【答案】eq\f(a＋b,2)三、解答題9．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，證明：對(duì)任意n∈N＋，有(a＋b)n≥an＋n·an－1b.【證明】由(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))n≥1＋eq\f(nb,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中\(zhòng)f(b,a)>0))，即eq\f(a＋bn,an)≥1＋eq\f(nb,a)，∴(a＋b)n≥an＋n·eq\f(ban,a)，故(a＋b)n≥an＋nb·an－1.10．設(shè)0<a<1，定義a1＝1＋a，an＋1＝eq\f(1,an)＋a.求證：對(duì)一切正整數(shù)n∈N＋，有1<an<eq\f(1,1－a).【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1>1，又a1＝1＋a<eq\f(1,1－a)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題1<ak<eq\f(1,1－a)成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式，知ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a>(1－a)＋a＝1，同時(shí)，ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a<1＋a＝eq\f(1－a2,1－a)<eq\f(1,1－a)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1<ak＋1<eq\f(1,1－a).綜合(1)、(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1<an<eq\f(1,1－a).能力提升]1．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)是()\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋2)\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋1)\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k－12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k)【解析】注意不等式兩邊含變量“n”的式子，因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化，所以n＝k＋1時(shí)，應(yīng)為eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋1＋2).【答案】A2．若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k＋1)棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為()A．2f(k) B．k－1＋f(k)C．f(k)＋k D．f(k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的對(duì)角面的個(gè)數(shù)與底面上由n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的對(duì)角線一樣，設(shè)n＝k時(shí)，底面為A1A2…Ak，n＝k＋1時(shí)底面為A1A2A3…AkAk＋1，增加的對(duì)角線為A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)條，因此對(duì)角面也增加了(k－1)個(gè)．【答案】B3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，若用f(n)表示這n條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝______；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)＝____________________(用n表示).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910042】【解析】f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來(lái)直線的條數(shù)．∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝eq\f(3＋n－1,2)(n－3)，∴f(n)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)．【答案】5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)．(1)判斷eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,n)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4n).【解】(1)S1＝a1＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,S1)＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，Seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4×1)，成立．②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,k)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4k)成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,k)＋Seq\o\al(2,k＋1)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4k)＋eq\f(1,4k＋1