第四章年金精算現值

第四章生存年金的精算現值本章結構生存年金年付一次生存年金年付多次的生存年金第一節(jié)生存年金年金的概念和種類概念按一定的時間間隔支付的一系列付款種類確定性年金：支付與否、支付的數額都是確定的不確定性年金：未來相應的時間點上的支付是否發(fā)生不確定，由其生命狀態(tài)決定生存年金生存年金：在已知某人生存的條件下，按預先約定金額進行一系列的給付的保險，且每次年金給付必須以年金受領人生存為條件；一旦年金受領人死亡，給付便立即中止。

分類期初付年金/延付（期末付）年金連續(xù)年金/離散年金定期年金/終身年金即期年金/延期年金生存年金（與確定性年金關系）確定性年金支付期數確定的年金（利息理論中所講的年金）生存年金與確定性年金的聯(lián)系都是間隔一段時間支付一次的系列付款生存年金（與確定性年金的區(qū)別）生存年金支付期數是不確定的，它以被保險人生存為給付條件，被保險人一旦死亡，給付就終止年金確定性年金支付期數是確定的，無論中間發(fā)生什么事情，支付時期都不可發(fā)生更改生存年金（用途）被保險人保費交付常使用生存年金的方式某些場合保險人保險理賠的保險金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險傷殘保險撫恤保險失業(yè)保險

現齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。也就是上一章講到的n年期生存保險。n年期生存保險的躉繳純保費為在生存年金研究中習慣用表示該保險的精算現值，且將其稱為精算折現因子。精算折現因子的含義

(x)要在n年后生存時獲得1元，此時需要存入元。

與折現因子有何區(qū)別與聯(lián)系？一次性生存給付-精算折現因子【例4.1】計算25歲的男性購買40年定期生存險的躉繳純保費。已知假定i＝6％假定i＝2.5％一次性生存給付例題分析精算積累因子(x)現在存入1元，僅其n年后生存時才獲得給付，則n年后生存時的給付額為元。一次性生存給付-精算積累因子年齡xx+tx+n現值11S1一次性生存給付相關公式及意義生存年金精算現值的求法現時支付法以生存給付事件為考慮線索考慮未來連續(xù)支付的現時值之和將時刻t時的年金給付額折現至簽單時的現值，再將所有的現值相加或積分總額支付法以死亡事件發(fā)生為考慮線索考慮年金在死亡或到期而結束時的總值先求出在未來壽命期限內所有可能年金給付額現值，再求現值的數學期望。兩種方法是等價的（最終的結果相同）掌握現時支付法的計算公式第二節(jié)年付一次生存年金一、期初付年金及其精算現值(掌握現時支付法)二、期初付年金精算現值與壽險精算現值之間的關系三、期末付年金及其精算現值四、用換算函數計算年金精算現值(重點)一、終身生存年金

-精算現值的總額支付法步驟一：計算到死亡發(fā)生時間K為止的所有已支付的年金的現值之和步驟二：計算這個年金現值關于時間求和所得的年金期望值，即終身生存年金精算現值為何是而不是一、終身生存年金

-精算現值的現時支付法步驟一：計算時間K所支付的當期年金的現值步驟二：計算該當期年金現值按照可能支付的時間求和，得到精算現值【例4.2】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以在每年年初獲得1000元的生存給付，假設年利率為9%。計算這一年金的精算現值。一、期初付年金及其精算現值

-終身生存年金現時支付法：一、期初付年金及其精算現值

-n年定期生存年金一、期初付年金及其精算現值

-延期生存年金延期m年的終身生存年金延期m年的n年定期生存年金一、期初付年金及其精算現值

-變額生存年金一般公式n年定期變額生存年金的精算現值終身變額生存年金的精算現值一、期初付年金及其精算現值

-變額生存年金等差遞增生存年金等差遞減生存年金一、期初付年金及其精算現值

-變額生存年金等比例變額生存年金應用場合：養(yǎng)老保險中，其給付額在一個基礎水平上按一個規(guī)定比例增長，這個比例常是價格指數或社會平均工資指數精算現值其中：【例4.3】已知：

假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，試分別用總額法和現時支付法求該終身年金的精算現值。

9091929310072390283339－例題分析一、期初付年金及其精算現值

-變額生存年金一、期初付年金及其精算現值

-變額生存年金例題答案二、期初付年金的精算現值與

壽險精算現值之間的關系年齡為x歲的人，投資1元能使其在生存期間每年得到利息額d的給付，一旦其死亡，便立即獲得1元的死亡保險金注：上述各式的成立不需要任何條件三、期末付年金的精算現值

-終身生存年金未來年金給付現值隨機變量：精算現值：三、期末付年金的精算現值

-n年定期生存年金未來年金給付現值隨機變量：精算現值：三、期末付年金的精算現值

-延期生存年金基本公式與期初付生存年金的關系三、期末付年金的精算現值

-變額生存年金等差遞增生存年金：等差遞減生存年金：險種期初付期末付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金四、用換算函數計算年金的精算現值重點記住期初付的相關公式！例4.4某人今年45歲，花費10000元購買了一份年金產品，保單承諾從下一年開始，每年活著的話可以領到等額的給付。已知年利率為6%，依據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993，男女混合表）。計算每次領取的金額。例4.4答案此例為期末付終身生存年金這份生存年金的精算現值為10000元，要求計算的是年金的每次給付額。設每次年金給付額為P，則有其中所以例4.5指出下列年金產品的類型，并寫出其躉繳凈保費的精算符號：（1）王明在40歲時購買了一份年金產品，承諾在未來20年內，如果他存活，則可以在每年年初領取1000元的給付，一旦死亡，則給付立即停止。20年滿期，保單自動中止，無論20年后是否存活，不再繼續(xù)給付。（2）對于（30）的從60歲起每年年初6000元的生存年金。（3）對于（35）的從60歲退休起的25年內，每年年初給付5000元生存年金。例4.6某人在30歲時購買了一份年金，約定的給付為：從51歲起，如果被保險人生存，每年可以得到5000元的給付，直到被保險人死亡為止。設年利率為6%，存活函數為：計算這筆年金在購買時的精算現值。例4.6答案這是一個延期20年的期末付終身生存年金產品從存活函數可以看出，極限年齡為ω=100歲生存概率為：這筆年金的精算現值例4.7某30歲的人投保養(yǎng)老年金保險，保險契約規(guī)定：如果被保險人存活到60歲，則確定給付10年年金，即若被保險人在60-69歲間死亡，由其指定的受益人繼續(xù)領取，直到領滿10年為止；如果被保險人在70歲仍存活，則從70歲起以生存為條件得到年金。如果年金每年年初支付一次，一次支付6000元，預定利率為6%。依據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993，男女混合表），計算該保單的躉繳凈保費。例4.7答案這是一個定期確定的生存年金：在一定時期內年金的給付是確定的，無論被保險人是否生存，在這一時期以后的年金給付以被保險人生存為條件。此年金的精算現值為連續(xù)型給付年金與年付一次生存年金的關系計算精算現值時理論基礎完全相同離散－求和連續(xù)－積分連續(xù)場合不存在初付延付問題，離散場合初付、延付要分別考慮第三節(jié)年付多次的生存年金一、每年支付h次的期初付生存年金(重點)二、每年支付h次的期末付生存年金年付h次生存年金簡介在保險實務中，生存年金常常按月、按季度或半年給付一次，這時稱為年付h次的生存年金。推導思路尋找與年付年金之間的關系基本公式UDD假定下的公式近似公式（實際操作公式）一、年支付h次的期初付生存年金-終身生存年金一、年支付h次的期初付生存年金

-定期生存年金基本關系式UDD假定下的推導公式近似公式（實際操作公式）一、年支付h次的期初付生存年金

-延期生存年金延期終身生存年金（UDD假定）延期定期生存年金（UDD假定）二、年支付h次的期末付生存年金精算現值例4.8現年35歲的人預購買如下生存年金，且均于每月月初給付，每次給付1000元，年實質利率為6%，且已知：求下列年金現值：（1）月付終身生存年金（2）延期15年月付終身生存年金（3）15年定期月付終身生存年金例4.8答案例4.9某保單提供從60