第七節(jié)高階線性微分方程

第十二章第七節(jié)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)*四、常數(shù)變易法一、二階線性微分方程舉例應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文一、二階線性微分方程舉例當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設(shè)時刻t物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文求電容器兩兩極板間電壓例2.

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C為常數(shù),所滿足的微分方程.提示:設(shè)電路中電流為i(t),～~‖上的電量為q(t),自感電動勢為由電學知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串極板在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得~‖化為關(guān)于的方程:故有應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文n階線性微分方程的一般形式為方程的共性

為二階線性微分方程.例1例2—可歸結(jié)為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習:一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是n階齊次方程的n個線性無關(guān)解,則方程的通解為應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)

定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文定理5.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文例4.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文*四、常數(shù)變易法復(fù)習:常數(shù)變易法:對應(yīng)齊次方程的通解:設(shè)非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.已知對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③的解為③由于有兩個待定函數(shù),所以要建立兩個方程:④應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文⑤令于是將以上結(jié)果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程的解應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設(shè)為只有一個必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文例5.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:積分得故所求通解為應(yīng)用數(shù)學教研室趙惠文例6.的通解.解:對應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡得此題不需再作變換.特征根:設(shè)⑦的特解為