第1章質(zhì)點的的運動普通物理學(xué)程守珠

第一章質(zhì)點的運動§1-1參考系質(zhì)點1.質(zhì)點物體：具有大小、形狀、質(zhì)量和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的物質(zhì)形態(tài)。一般情況下，物體各部分的運動不相同，在運動的過程中大小、形狀可能改變，這使得運動問題變得復(fù)雜。某些情況下，物體的大小、形狀不起作用，或者起次要作用而可以忽略其影響——簡化為質(zhì)點模型。質(zhì)點：具有一定質(zhì)量沒有大小或形狀的理想物體?？梢宰鳛橘|(zhì)點處理的物體的條件：大小和形狀對運動沒有影響或影響可以忽略。研究地球公轉(zhuǎn)地球上各點的公轉(zhuǎn)速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影響，作為質(zhì)點處理。質(zhì)點研究地球自轉(zhuǎn)地球上各點的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形狀不能忽略，這時不能作質(zhì)點處理。質(zhì)點除車輪外，汽車各部分運動情況完全相同，車輪的運動是次要的，此時可把汽車作為質(zhì)點處理。研究汽車在平直道路上運動質(zhì)點涉及轉(zhuǎn)動問題，汽車各部分運動情況不同，各個車輪受力差異很大，不能把汽車做質(zhì)點處理。研究汽車突然剎車“前傾”或轉(zhuǎn)彎質(zhì)點是從實際中抽象出的理想模型，研究質(zhì)點的運動是為了抓住事物的主要矛盾進(jìn)行研究分析。2.參考系和坐標(biāo)系靜止是相對的，運動是絕對的，地心學(xué)說被日心說取代，讓人們明白，判斷物體運動與否，首先要選擇統(tǒng)一的物體作參考。即使是太陽，在銀河系中其它恒星系統(tǒng)觀察，仍然運動著的。參考系和坐標(biāo)系銀河系指南針參考系：描述物體運動時，被選作參考的物體，稱為參考系。要定量描述物體的位置與運動情況，就要運用數(shù)學(xué)手段，采用固定在參考系上的坐標(biāo)系。常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系(x,y,z)，極坐標(biāo)系(,)，球坐標(biāo)系(R,,

)，柱坐標(biāo)系(R,,z)。xyzozR參考方向zoRxy參考系和坐標(biāo)系3.空間和時間

空間反映了物質(zhì)的廣延性，與物體的體積和位置的變化聯(lián)系在一起。

時間反映物理事件的順序性和持續(xù)性，與物理事件的變化發(fā)展過程聯(lián)系在一起。各個時代有代表性的時空觀：

墨子：空間是一切不同位置的概括和抽象；時間是一切不同時刻的概括和抽象?？臻g和時間墨子

萊布尼茲：空間和時間是物質(zhì)上下左右的排列形式和先后久暫的持續(xù)形式，沒有具體的物質(zhì)和物質(zhì)的運動就沒有時空間和時間，強(qiáng)調(diào)時間空間的客觀性而忽略與運動的聯(lián)系。

牛頓：空間和時間是不依賴于物質(zhì)的獨立的客觀存在，強(qiáng)調(diào)與運動的聯(lián)系忽略客觀性。萊布尼茲牛頓

愛因斯坦：相對論時空觀，時間與空間客觀存在，與運動密不可分。目前的時空觀范圍：宇宙的尺度1026m(20億光年)到微觀粒子尺度10-15m，從宇宙的年齡1018s(20億年，宇宙年齡)到微觀粒子的最短壽命10-24s。物理理論指出,空間和時間都有下限：分別為普朗克長度10-35m和普朗克時間10-43s?？臻g和時間愛因斯坦4.運動方程在一定的坐標(biāo)系中，質(zhì)點的位置隨時間按一定規(guī)律變化，位置用坐標(biāo)表示為時間的函數(shù)，叫做運動方程。例如：將運動方程中的時間消去，得到質(zhì)點運動的軌跡方程。一般情況軌跡方程是空間曲線。oxyzP(x,y,z)運動方程§1-2位移速度加速度1.位矢oxyz在坐標(biāo)系中，用來確定質(zhì)點所在位置的矢量，叫做位置矢量，簡稱位矢。位置矢量是從坐標(biāo)原點指向質(zhì)點所在位置的有向線段。P(x,y,z)2.位移

BΔS

Aoxyz位移反映質(zhì)點位置變化的物理量，從初始位置指向末位置的有向線段。路程是質(zhì)點經(jīng)過實際路徑的長度。路程是標(biāo)量。注意區(qū)分o位移3.速度速度是描述質(zhì)點位置隨時間變化的快慢和方向的物理量。平均速度平均速率平均速度是矢量，其方向與位移的方向相同。平均速率是標(biāo)量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如質(zhì)點沿閉合路徑運動。速度瞬時速度

oP1當(dāng)

t0時，P2點向P1點無限靠近。P2P2P2P2P2P2P2P2P2速度方向:當(dāng)時位移的極限方向，該位置的切線方向，指向質(zhì)點前進(jìn)的一側(cè)。瞬時速度是矢量，直角坐標(biāo)系中分量形式：大小:

速度4.加速度加速度是描述質(zhì)點速度的大小和方向隨時間變化快慢的物理量。x

y

z

P2

P1

o加速度x

y

z

P2

P1

o注意區(qū)分、o平均加速度平均加速度是矢量，方向與速度增量的方向相同。加速度瞬時加速度與瞬時速度的定義相類似，瞬時加速速度是一個極限值瞬時加速度簡稱加速度，它是矢量，在直角坐標(biāo)系中用分量表示:加速度加速度的方向就是時間t趨近于零時，速度增量的極限方向。加速度與速度的方向一般不同。大小加速度與速度的夾角為0或180，質(zhì)點做直線運動。加速度與速度的夾角等于90，質(zhì)點做圓周運動。加速度加速度與速度的夾角大于90，速率減小。加速度與速度的夾角等于90，速率不變。遠(yuǎn)日點近日點加速度質(zhì)點作曲線運動，判斷下列說法的正誤。質(zhì)點的運動學(xué)方程為x=6+3t-5t3(SI),判斷正誤:質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為正。質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為負(fù)。質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為正。質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為負(fù)。思考題思考題例1-1已知質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為a，求該質(zhì)點的運動方程。解：已知速度或加速度求運動方程，采用積分法：對于作直線運動的質(zhì)點，采用標(biāo)量形式兩端積分可得到速度根據(jù)速度的定義式：兩端積分得到運動方程消去時間，得到§1-3圓周運動及其描述1.切向加速度和法向加速度在一般圓周運動中，質(zhì)點速度的大小和方向都在改變，即存在加速度。采用自然坐標(biāo)系，可以更好地理解加速度的物理意義。在運動軌道上任一點建立正交坐標(biāo)系,其一根坐標(biāo)軸沿軌道切線方向,正方向為運動的前進(jìn)方向；一根沿軌道法線方向，正方向指向軌道內(nèi)凹的一側(cè)。切向單位矢量法向單位矢量顯然，軌跡上各點處，自然坐標(biāo)軸的方位不斷變化。1.1自然坐標(biāo)系由于質(zhì)點速度的方向一定沿著軌跡的切向，因此，自然坐標(biāo)系中可將速度表示為：由加速度的定義有切向加速度和法向加速度1.2自然坐標(biāo)系下的加速度ddsPPd切向加速度和法向加速度以圓周運動為例討論上式中兩個分項的物理意義：如圖，質(zhì)點在dt時間內(nèi)經(jīng)歷弧長ds，對應(yīng)于角位移d，切線的方向改變d角度。作出dt始末時刻的切向單位矢，由矢量三角形法則可求出極限情況下切向單位矢的增量為即與P點的切向正交。因此P于是前面的加速度表達(dá)式可寫為：即圓周運動的加速度可分解為兩個正交分量：at稱切向加速度，其大小表示質(zhì)點速率變化的快慢；an稱法向加速度，其大小反映質(zhì)點速度方向變化的快慢。切向加速度和法向加速度

上述加速度表達(dá)式對任何平面曲線運動都適用，但式中半徑R要用曲率半徑代替。at等于0,an等于0,質(zhì)點做什么運動？at等于0,an不等于0,質(zhì)點做什么運動？at不等于0,an等于0,質(zhì)點做什么運動？at不等于0,an不等于0,質(zhì)點做什么運動？例題討論下列情況時，質(zhì)點各作什么運動：切向加速度和法向加速度由的大小為2.圓周運動的角量描述oxy前述用位矢、速度、加速度描寫圓周運動的方法，稱線量描述法；由于做圓周運動的質(zhì)點與圓心的距離不變，因此可用一個角度來確定其位置，稱為角量描述法。A：tB：t+t

設(shè)質(zhì)點在oxy平面內(nèi)繞o點、沿半徑為R的軌道作圓周運動，如圖。以ox軸為參考方向，則質(zhì)點的角位置為

角位移為

規(guī)定反時針為正平均角速度為圓周運動的角量描述角速度為角加速度為角速度的單位：弧度/秒(rads-1)；角加速度的單位：弧度/平方秒(rads-2)。討論：

(1)角加速度對運動的影響：

等于零，質(zhì)點作勻速圓周運動；不等于零但為常數(shù)，質(zhì)點作勻變速圓周運動；隨時間變化，質(zhì)點作一般的圓周運動。圓周運動的角量描述(2)質(zhì)點作勻速或勻變速圓周運動時的角速度、角位移與角加速度的關(guān)系式為與勻變速直線運動的幾個關(guān)系式比較知：兩者數(shù)學(xué)形式完全相同,說明用角量描述,可把平面圓周運動轉(zhuǎn)化為一維運動形式，從而簡化問題。圓周運動的角量描述ROx3.線量與角量之間的關(guān)系圓周運動既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對應(yīng)關(guān)系。+00+t+tBtA圖示一質(zhì)點作圓周運動：在t時間內(nèi)，質(zhì)點的角位移為，則A、B間的有向線段與弧將滿足下面的關(guān)系兩邊同除以t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：線量與角量之間的關(guān)系將上式兩端對時間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：例1例2思考題線量與角量之間的關(guān)系法向加速度也叫向心加速度。線量與角量之間的關(guān)系將上式兩端對時間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：例1例2思考題法向加速度也叫向心加速度。例題1計算地球自轉(zhuǎn)時地面上各點的速度和加速度。解：地球自轉(zhuǎn)周期T=246060s，角速度大小為：如圖，地面上緯度為的P點，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運動,線量與角量之間的關(guān)系R赤道rp其軌道的半徑為P點速度的大小為P點只有運動平面上的向心加速度，其大小為P點速度的方向與過P點運動平面上半徑為R的圓相切。線量與角量之間的關(guān)系P點加速度的方向在運動平面上由P指向地軸。例如:已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯3957、3112和

2300，則三地的v和an分別為：北京：上海：廣州：線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系例如:已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯3957、3112和

2300，則三地的v和an分別為：北京：上海：廣州：Ro在t時刻，質(zhì)點運動到位置s處。ss解：先作圖如右，t=0時，質(zhì)點位于s=0的p點處。線量與角量之間的關(guān)系P（1）t時刻質(zhì)點的總加速度的大??；（2）t為何值時，總加速度的大小為b；（3）當(dāng)總加速度大小為b時，質(zhì)點沿圓周運行了多少圈。例題2

一質(zhì)點沿半徑為R的圓周按規(guī)律

運動，v0、b都是正的常量。求：（2）令a=b，即Ros（1）t時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:線量與角量之間的關(guān)系（3）當(dāng)a=b時，t=v0/b，由此可求得質(zhì)點歷經(jīng)的弧長為它與圓周長之比即為圈數(shù)：Ros線量與角量之間的關(guān)系得線量與角量之間的關(guān)系（3）當(dāng)a=b時，t=v0/b，由此可求得質(zhì)點歷經(jīng)的弧長為它與圓周長之比即為圈數(shù)：Ros得返回下一題1.質(zhì)點作勻變速圓周運動，則切向加速度的大小和方向都在變化法向加速度的大小和方向都在變化切向加速度的方向變化，大小不變切向加速度的方向不變，大小變化

質(zhì)點作勻變速圓周運動，速度的大小方向都在變化；切向加速度和法向加速度的大小方向都在變化。Ro思考題思考題2.判斷下列說法的正、誤：a.加速度恒定不變時，物體的運動方向必定不變。b.平均速率等于平均速度的大小。d.運動物體的速率不變時，速度可以變化。例如：物體做拋體運動，加速度恒定，而速度方向改變。c.不論加速度如何，平均速率的表達(dá)式總可以寫成,其中v1是初速度，v2是末速度。依據(jù)平均速率平均速度的大小思考題思考題§1-4曲線運動方程的矢量形式1.圓周運動方程的矢量形式在直角坐標(biāo)系中，作一般曲線運動的質(zhì)點的坐標(biāo)x、y、z為時間t函數(shù)：這就是運動方程的分量形式，寫成矢量形式為

運動的疊加原理：一個運動可以看成幾個各自獨立進(jìn)行的運動的疊加。以上兩個形式的運動方程等價；前者從三個相互垂直方向的分運動來描述質(zhì)點的運動，后者是前述三個相互垂直方向的分運動的疊加，即合運動。xy平面內(nèi)圓周運動的討論：

在第一組方程中消去時間參數(shù)t，得到運動的軌跡方程圓周運動方程的矢量形式因此，一個復(fù)雜的運動可以分解為幾個簡單運動，滿足運動的疊加原理。這顯然是z=0的平面內(nèi)以原點為圓心、半徑為R的圓。和兩種形式的運動方程可分別寫出為：對勻速圓周運動，速度、加速度的分量式為：圓周運動方程的矢量形式寫成矢量形式為2.拋體運動方程的矢量形式

拋體運動：

從地面上某點向空中拋出的物體在空中所做的運動稱拋體運動。以拋射點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，水平方向為x軸，豎直方向為y軸。設(shè)拋出時刻t=0的速率為v0，拋射角為，而加速度恒定故任意時刻的速度為：則初速度分量分別為：曲線運動方程的矢量形式Oyx將上式積分，得到運動方程的矢量形式為拋體運動方程的矢量形式消去此方程中的時間參數(shù)t，得到拋體運動的軌跡方程為此為一拋物線方程，故拋體運動也叫拋物線運動。令y=0，得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)H，它就是射程：根據(jù)軌跡方程的極值條件，求得最大射高為：拋體運動方程的矢量形式OyxHh運動的分解可有多種形式。例如，拋體運動也可以分解為沿拋射方向的勻速直線運動與豎直方向的自由落體運動的疊加：知，拋體運動可看作是由水平方向的勻速直線運動與豎直方向的勻變速直線運動疊加而成。這種分析方法稱為運動的分解。由方程Oyx這種分解方法可用下圖說明還可用子彈打猴子的古老演示來證實：拋體運動方程的矢量形式獵人瞄準(zhǔn)樹上的猴子射擊，猴子一見火光就跳下自由下落），卻不能避開子彈。拋體運動方程的矢量形式Oyx這種分解方法可用下圖說明§1-5運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換太陽、地球、月球系統(tǒng)研究火車在其軌道上運動，一小球在車廂內(nèi)運動，以火車或者靜止的地面為參考系來研究小球的運動情況。運動是絕對的，但是運動的描述具有相對性，在不同參考系中研究同一物體的運動情況結(jié)果會完全不同。觀察小球與火車的運動情況：運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換1.伽利略坐標(biāo)變換不同參考系對同一個運動描述的結(jié)果不同，其結(jié)果之間是否有某種聯(lián)系呢？oxyzo'x'y'z'考慮兩個參考系中的坐標(biāo)系K和K'(Oxyz和O'x'y'z')，它們相對作勻速直線運動。在t=0時刻坐標(biāo)原點重合，對于同一個質(zhì)點A，在任意時刻兩個坐標(biāo)系中的質(zhì)點對應(yīng)的位置矢量：P運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換K'系原點相對K系原點的位矢：從圖中很容易看出矢量關(guān)系：成立的條件:絕對時空觀！空間絕對性:空間兩點距離的測量與坐標(biāo)系無關(guān)。時間絕對性:時間的測量與坐標(biāo)系無關(guān)。oxyzo'x'y'z'P伽利略坐標(biāo)變換P點K在系和K'系的空間坐標(biāo)、時間坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系為：因此，滿足經(jīng)典時空觀的條件時伽利略坐標(biāo)變換式oxyzo'x'y'z'P伽利略坐標(biāo)變換2.速度變換分別表示質(zhì)點在兩個坐標(biāo)系中的速度即在直角坐標(biāo)系中寫成分量形式伽利略速度變換運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換oxyzo'x'y'z'P相對于地面豎直下落的物體，作出各個坐標(biāo)系中的速度方向，滿足矢量三角形法則。為了便于記憶，通常把速度變換式寫成下面的形式

注意：低速運動的物體滿足速度變換式，并且可通過實驗證實，對于高速運動的物體，上面的變換式失效。速度變換3.加速度變換設(shè)K‘系相對于K系作勻加速直線運動,加速度沿x方向。K'系相對于K系的速度表明質(zhì)點的加速度相對于作勻速運動的各個參考系不變。運動描述的相對性伽利略坐標(biāo)變換例1：某人騎摩托車向東前進(jìn)，其速率為10ms-1時覺得有南風(fēng)，當(dāng)其速率為15ms-1時，又覺得有東南風(fēng)，試求風(fēng)速度。解：取風(fēng)為研究對