第1章 信號(hào)與系統(tǒng)

第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.1緒言

一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號(hào)的描述與分類(lèi)

一、信號(hào)的描述二、信號(hào)的分類(lèi)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

一、加法和乘法二、時(shí)間變換1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

一、階躍函數(shù)二、沖激函數(shù)

三、沖激函數(shù)的性質(zhì)四、序列δ(k)和ε(k)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)

一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類(lèi)及性質(zhì)

1.6系統(tǒng)的描述

一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)

1.7LTI系統(tǒng)分析方法概述

什么是信號(hào)？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個(gè)概念連在一起？一、信號(hào)的概念1.消息(message):人們常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱(chēng)為消息。2.信息(information):通常把消息中有意義的內(nèi)容稱(chēng)為信息。本課程中對(duì)“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。1.1緒論第一章信號(hào)與系統(tǒng)它是信息論中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。1.1緒論3.信號(hào)(signal):信號(hào)是信息的載體。通過(guò)信號(hào)傳遞信息。

信號(hào)我們并不陌生，如剛才鈴聲—聲信號(hào)，表示該上課了；十字路口的紅綠燈—光信號(hào)，指揮交通；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號(hào)；廣告牌上的文字、圖象信號(hào)等等。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。二、系統(tǒng)的概念一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語(yǔ)音、音樂(lè)、圖象、文字等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱(chēng)為系統(tǒng)。1.1緒論二、系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。系統(tǒng)輸入信號(hào)激勵(lì)輸出信號(hào)響應(yīng)1.1緒論1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)第一章信號(hào)與系統(tǒng)一、信號(hào)的描述

信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)是信息寄寓變化的形式物理上：數(shù)學(xué)上：形態(tài)上：信號(hào)是一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)信號(hào)表現(xiàn)為一種波形或圖形本課程主要討論電信號(hào)，以時(shí)間為自變量。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)二、信號(hào)的分類(lèi)1、確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)——每一確定時(shí)刻的值是完全確定的，（可用確定的時(shí)間函數(shù)表示）。例：x(t)=sint?！恳淮_定時(shí)刻的值分布是服從某一概率分布。確定信號(hào)：對(duì)該信號(hào)重復(fù)觀測(cè)，結(jié)果相同。隨機(jī)信號(hào)：對(duì)該信號(hào)重復(fù)觀測(cè)，結(jié)果不同。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)對(duì)信號(hào)的重復(fù)觀測(cè)是否完全重現(xiàn)。02t)(3tf1t)(3tf1…………1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)2、連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中也常稱(chēng)為模擬信號(hào)。注意：“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的。值域連續(xù)值域不連續(xù)1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱(chēng)為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散信號(hào)。實(shí)際中也常稱(chēng)為數(shù)字信號(hào)。注意：“離散”指信號(hào)的定義域—時(shí)間是離散的。如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k=

0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無(wú)定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫(xiě)為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱(chēng)為序列。其中k稱(chēng)為序號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫(huà)為：用表達(dá)式可寫(xiě)為：或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱(chēng)為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)3、

周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿(mǎn)足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿(mǎn)足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿(mǎn)足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱(chēng)為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例1判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T(mén)1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)。（1）ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs；ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s。由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T(mén)1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例2判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。解式中β稱(chēng)為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見(jiàn)：僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無(wú)理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例3判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)（2）f2(k)=sin(2k)解（1）β1=3π/4rad，β2=0.5πrad。由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）β1=2rad；由于2π/β1=π為無(wú)理數(shù)，故為非周期序列。由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)4、能量信號(hào)與功率信號(hào)CTS:能量：平均功率：DTS:能量：平均功率：＋U(t)－如果，且能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)能量信號(hào)如果，且P=0功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)功率信號(hào)1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào)，如單個(gè)矩陣脈沖;直流信號(hào)、周期信號(hào)、階躍信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如f(t)=et。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)5、

實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)式中s為復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)。利用歐拉公式，可得

實(shí)信號(hào)：各時(shí)刻的函數(shù)或序列值為實(shí)數(shù)的信號(hào)。

復(fù)信號(hào)：各時(shí)刻的函數(shù)或序列值為復(fù)數(shù)的信號(hào)。最常用的為復(fù)指數(shù)信號(hào)。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)5、

實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算兩信號(hào)f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加、減、乘。如1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

離散序列相加（或相乘）可采用對(duì)應(yīng)樣點(diǎn)的值分別相加（或相乘）的方法來(lái)計(jì)算。例1.3-1已知序列求f1(k)與f2(k)之和，f1(k)與f2(k)之積。解：f1(k)與f2(k)之和為1.3信號(hào)的基本運(yùn)算二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算特點(diǎn)：都是在時(shí)間軸上進(jìn)行變換，是信號(hào)的定義域的變換。一般情況：定義域：離散信號(hào)類(lèi)似1.3信號(hào)的基本運(yùn)算1、反轉(zhuǎn)（反折）：，以縱軸為對(duì)稱(chēng)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)t→-t1.3信號(hào)的基本運(yùn)算2、平移將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(k–k0)稱(chēng)為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如：右移t→t–1左移t→t+11.3信號(hào)的基本運(yùn)算平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉(zhuǎn)f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)畫(huà)出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]注意：是對(duì)t的變換！時(shí)間尺度變換：1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

3、尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）

f

(t)→f

(at)，a>0。在時(shí)間軸方向上的壓縮或擴(kuò)展。以原點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿時(shí)間軸壓縮至原來(lái)的

以原點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來(lái)的折疊并沿時(shí)間軸壓縮或擴(kuò)展至原來(lái)的定義域：(壓縮)(擴(kuò)展)(反轉(zhuǎn)并壓縮或擴(kuò)展)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算如：t→2t壓縮t→0.5t展開(kāi)對(duì)于離散信號(hào)，由于f

(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行！1.3信號(hào)的基本運(yùn)算平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合已知f

(t)，畫(huà)出f

(–4–2t)。壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算壓縮，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算若已知f

(–4–2t)，畫(huà)出f

(t)。反轉(zhuǎn)，得f

(2t–4)展開(kāi)，得f

(t–4)左移4，得f

(t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱(chēng)為奇異函數(shù)。首先采用求函數(shù)序列極限的方法定義，選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t):1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)其導(dǎo)數(shù)是一矩形脈沖，令為Pn(t)，即：該脈沖波形下的面積為1，稱(chēng)為函數(shù)的強(qiáng)度。tPn(t)tγn(t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)(1)階躍函數(shù):沖激函數(shù):

高度無(wú)窮大，寬度無(wú)窮小，面積為1的對(duì)稱(chēng)窄脈沖。

階躍信號(hào)具有單邊特性

n→∞1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見(jiàn)，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)tttt由此可見(jiàn)，單位沖激偶由兩個(gè)正、負(fù)不同極性的兩個(gè)沖激組成，其強(qiáng)度均為無(wú)限大，即：n→∞求導(dǎo)求導(dǎo)n→∞單位沖激偶信號(hào)：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)二、廣義函數(shù)定義按照廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)由下式定義：即沖激函數(shù)δ(t)作用于檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)的效果是給它賦值φ(0)，稱(chēng)為取樣性質(zhì)或篩選性質(zhì)。簡(jiǎn)言之，能從檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)中篩選出函數(shù)值φ(0)的廣義函數(shù)就稱(chēng)之為沖擊函數(shù)δ(t)。按照廣義函數(shù)理論，單位階躍由下式定義：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)三、階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分（斜升函數(shù)）1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)四、沖激函數(shù)的性質(zhì)

1.導(dǎo)數(shù)和積分和1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

2.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)0ε(t)

例：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

3.移位1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)按廣義函數(shù)定義，分段連續(xù)函數(shù)f(t)在區(qū)間(-∞,∞)的導(dǎo)數(shù)均存在。設(shè)f(t)在各連續(xù)段的常義導(dǎo)數(shù)為fc(t)，在間斷點(diǎn)t=ti(i=1,2…)處左、右極限分別為f(ti-)

和f(ti+)

，二者之差稱(chēng)為跳躍度Ji=f(ti+)-f(ti-)，則f(t)的導(dǎo)數(shù)為：

3.移位例1.4-2:f(t)ot123-124-2f'(t)ot123-124(2)(-6)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

4.尺度變換與奇偶性推論:(1)(2)當(dāng)a=–1時(shí)，所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)已知f(t)，畫(huà)出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)5.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的單根ti

(i=1，2，…，n)，則注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無(wú)意義。這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。例如：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義：取樣性質(zhì)：例五、序列δ(k)和ε(k)這兩個(gè)序列是普通序列！1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)（2）單位階躍序列ε(k)的定義：（3）ε(k)與δ(k)的關(guān)系：或1.6系統(tǒng)的描述1.5系統(tǒng)的描述描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、建立數(shù)學(xué)模型圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。1.6系統(tǒng)的描述抽去具有的物理含義，微分方程寫(xiě)成：這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為二階常系數(shù)線性微分方程，求解還需已知初始條件x(0)和x’(0)

。1.6系統(tǒng)的描述例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/月，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開(kāi)始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱(chēng)為y(k)與f(k)之間所滿(mǎn)足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱(chēng)為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。1.6系統(tǒng)的描述2.框圖描述上述方程從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫(huà)出的圖稱(chēng)為模擬框圖，簡(jiǎn)稱(chēng)框圖。基本部件單元有：1.6系統(tǒng)的描述2.框圖描述(a)加法器：積分器的抗干擾性比微分器好！(c)積分器：(b)數(shù)乘器：(d)延時(shí)器：(e)延遲單元：1.6系統(tǒng)的描述系統(tǒng)模擬：實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫(huà)框圖。解：將方程寫(xiě)為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)1.6系統(tǒng)的描述例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫(huà)框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫(huà)出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿(mǎn)足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿(mǎn)足原方程。例3：已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程。1.6系統(tǒng)的描述設(shè)輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過(guò)程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)1.6系統(tǒng)的描述例：已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)1.6系統(tǒng)的描述框圖→方程的一般步驟：（1）選中間變量x(.)；（2）寫(xiě)出各加法器輸出信號(hào)的方程；（3）消去中間變量x(.)

。方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面討論。連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)最右端積分器的輸出為x(t);離散系統(tǒng)，設(shè)最左端延遲單元的輸入為x(k)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)1.5系統(tǒng)的特性和分析方法一、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)下面討論幾種常用的分類(lèi)法。（1）線性性質(zhì)系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為y(·)=T[f(·)]。若系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即

T

[αf(·)]=αT

[f(·)]，則稱(chēng)該系統(tǒng)是齊次的。若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]，則稱(chēng)該系統(tǒng)是可加的。1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱(chēng)該系統(tǒng)是線性的，即（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱(chēng)“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫(xiě)為

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為

yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]

T[α1f1(·)+α2

f2(·)]=α1T[f1(·)]+α2T[f2(·)]

1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：③零輸入線性：①可分解性：

y

(·)=yzi(·)+yzs(·)=T[{0}，{x(0)}]+T[{f

(·)},{0}]T[{α1f1(t)+α2

f2(t)},{0}]=α1T[{f1

(·)},{0}]+α1T[{f2

(·)},{0}]T[{0},{α1x1(0)+α2x2(0)}]=α1T[{0},{x1(0)}]+α2T[{0},{x2(0)}]否則稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yzi(t)=3x(0)+1，yzs(t)=2f

(t)+1，顯然，y

(t)≠yzi(t)＋yzs(t)不滿(mǎn)足可分解性，故為非線性。（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)，y

(t)=yzi(t)＋yzs(t)滿(mǎn)足可分解性；由于T[{αf

(t)},{0}]=|αf

(t)|≠αyzs(t)不滿(mǎn)足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yzs(t)=2f

(t),yzi(t)=x2(0)，顯然滿(mǎn)足可分解性；由于T[{0},{αx(0)}]=[αx(0)]2≠α

yzi(t)不滿(mǎn)足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)解：T[{0},{α1x1(0)+α2x2(0)}]=e-t[α1x1(0)+α2x2(0)]=α1e-tx1(0)+α2e-tx2(0)=α1T[{0},{x1(0)}]+α2T[{0},{x2(0)}]所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例2：判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）滿(mǎn)足可分解性？（2）滿(mǎn)足零狀態(tài)線性？T[{α1f1(t)+α2

f2(t)},{0}]=α1T[{f1

(·)},{0}]+α2T[{f2

(·)},{0}]（3）滿(mǎn)足零輸入線性？√√√1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)滿(mǎn)足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿(mǎn)足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(.)]=yzs(.)則有二、時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)

T[{0}，f(t-

td)]=yzs(t-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱(chēng)為時(shí)不變性（或移位不變性）。

T[{0}，f(k-

kd)]=yzs(k-

kd)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1);（2）yzs(t)=tf

(t);（3）yzs(t)=f

(–t)解(1)令fd(k)=f(k–kd)，

yzsd(k)=T[{0}，fd(k)]=fd(k)fd(k-1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然yzsd(k)=T[{0}，f(k–kd)]=yzs(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令fd(t)=f(t–td),

yzsd(t)=T[{0}，fd(t)]=tfd(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)令fd(t)=f(t–td),

yzsd(t)=T[{0}，fd(t)]=fd(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)!1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)1.6系統(tǒng)的描述例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫(xiě)出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1