第4章剛體力學(xué)正式

第4章剛體力學(xué)教學(xué)基本要求一、理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，熟練掌握剛體繞定軸作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)。二、理解力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。三、熟練掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用。四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，掌握功能原理在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用。五、熟練掌握角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的條件，提高應(yīng)用守恒定律解決具體問(wèn)題的能力。作業(yè)：10,12,14,16,20,21,26,35,44,48

4.0概述

實(shí)際的物體是有大小的，并且有不同的形狀。當(dāng)物體受力作用時(shí)，可能還有大小形狀的變化，此時(shí)將物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)就不合適了，而應(yīng)該考慮物體各動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)情況及其大小形狀的變化。顯然，這類(lèi)問(wèn)題是非常復(fù)雜的。如果物體受力作用時(shí)形狀的變化很小，可以忽略不計(jì)，則會(huì)使問(wèn)起題簡(jiǎn)化。于是提出“剛體”模型。

剛體--在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）

研究剛體運(yùn)動(dòng)國(guó)防、工業(yè)、醫(yī)學(xué)都有重要意義。剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.4.1剛體的基本運(yùn)動(dòng)

轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體的平面運(yùn)動(dòng).剛體運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)剛體運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)rrva平動(dòng)兩點(diǎn)的連線任意剛體保持方向不變。各點(diǎn)的相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上每點(diǎn)繞同一軸線做圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向保持不變平面運(yùn)動(dòng)剛體的質(zhì)心被限制在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過(guò)質(zhì)心。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)的混合。與一般轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述參考平面角位移

角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸4.2.1.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示.4.2.2勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度

例一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t=0s

（2）時(shí)，飛輪的角速度（3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)

例在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開(kāi)始時(shí)，它的角速度，經(jīng)300s后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1.已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比.問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？解由題意，令，即，積分得當(dāng)t=300s

時(shí)所以轉(zhuǎn)子的角速度由角速度的定義得有在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)角線量關(guān)系線量角量的關(guān)系與sdqdORqdsdRtddvta2awRsqnatddtddvRRtddwRtdd2qRRv2Rw2關(guān)系式線量大小角量大小常用的與P*O:力臂

剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

4.3.1力矩4.3力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩rPzyxO轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考平面((轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體djj力臂力對(duì)軸的力矩0F外力(大小,方向)作用點(diǎn)P(由位置矢量r描述)Mz力矩大小sinFdFrjF對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)F對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的貢獻(xiàn)用分力分力描述Mz力對(duì)Z軸的力矩0FFFjFrMz的力矩可以用矢量式表示：因?yàn)樵谵D(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，對(duì)Ｚ軸FMzMzrF方向用右手螺旋法則確定力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的方向與轉(zhuǎn)軸平行。MzF合力矩合力矩的概念定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合力矩，是指對(duì)轉(zhuǎn)軸的各力矩之矢量和。左圖例子中的合力矩為MzrFsinj111+rFsinj222rFsinjrFsinj333444MzSiMziSiriFsiniij先設(shè)定轉(zhuǎn)軸Ｚ的正方向(設(shè)向上為正)合力矩轉(zhuǎn)軸z剛體+轉(zhuǎn)動(dòng)平面rF124F3FF1r2r3r4j1j4j3j2O假定：各力的方向均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)定律4.3.2轉(zhuǎn)動(dòng)定律rmirmifiFiFi+f=rmirmiaiintijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiri某質(zhì)元受外力受內(nèi)力其法向分量均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。其切向投影式為ri=+riifsinqi∑iFijsin∑rirrmirmii∑2()并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和等式兩邊同時(shí)乘以合外力矩M內(nèi)力矩成對(duì)抵消rrmirmii∑2()得M=tnrmirmiFiOrifiijwa瞬時(shí)瞬時(shí)角加速度角速度qirmia剛體所獲得的角加速度的大小與剛體I相同；與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。M受到的合外力矩的大小成正比，方向剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律I與剛體的性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示，稱(chēng)為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量續(xù)tnrmirmiFiOrifiijwa瞬時(shí)瞬時(shí)角加速度角速度qirmi2()MraSiaIMaMI或：得：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算4.3.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算比較：aM=IaF=mMFaaImm——質(zhì)量，描述剛體平動(dòng)時(shí)慣性大小的物理量I——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的物理量I的意義I決定大小的因數(shù)總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置及取向m2kgI的單位質(zhì)量連續(xù)分布的剛體rVdVr2mdr2mIr剛體的密度分布函數(shù)riri2I的計(jì)算式分立的質(zhì)點(diǎn)組成的剛體rmiIS分立質(zhì)點(diǎn)的算例Irmiriri2∑m1r12+2mr22若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的細(xì)桿的質(zhì)量可以忽略，則：分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12mOr1r2轉(zhuǎn)軸Irmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)O2mm1601l2l轉(zhuǎn)軸直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體LmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2I均勻直棒對(duì)通過(guò)中心且與棒垂直的轉(zhuǎn)軸LmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL2I均勻直棒對(duì)通過(guò)棒端且與棒垂直的轉(zhuǎn)軸2IOIC+mrmCOr,L平行移軸定理對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ICr新軸對(duì)心軸的平移量例如：rL2時(shí)代入可得I端31mL2質(zhì)心質(zhì)心軸新軸圓盤(pán)算例OrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2mI勻質(zhì)圓盤(pán)對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與盤(pán)垂直的轉(zhuǎn)軸的rdr取半徑為,寬為的窄帶園環(huán),2dmmpR2pdrr2mRdr2r其質(zhì)量為:球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的迭加Id距為、半徑為、微厚為Oyydr的薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()球體算例此外，還可以用填充法加平行軸定理求解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量半徑R，質(zhì)量M的均勻圓盤(pán)，被挖去一個(gè)小圓洞，求繞圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.Rrd未挖時(shí)密度未挖時(shí)挖后其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心2I

=2m

R3轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一*轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例aIM注意：aM、都是矢量，但在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，只有沿軸向的兩個(gè)方向。所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可先選定轉(zhuǎn)軸的正方向，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算求：2pq,時(shí)，w？MmgL21qcos,m2I31LaMIqcos23Lgwdw00wq23Lgqcosqd3Lgqsinw3Lgtddwatdddqdwqwqddw利用例OLm,qmg勻質(zhì)細(xì)桿可繞過(guò)端點(diǎn)的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)從水平位置靜止釋放轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iaa=RaI=mR22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動(dòng)式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ia再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度

a細(xì)繩線加速度a求解法提要（A）aMIFR21mR22FmRaaR2Fm（B）aIRT21mR2aam1gTm1m1Raam121mm1+()RgaaRm121mm1+()gORO

例一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤(pán)，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤(pán)與桌面間的摩擦因數(shù)為，令圓盤(pán)最初以角速度繞通過(guò)盤(pán)中心O

并與盤(pán)面垂直的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它將經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

解設(shè)圓盤(pán)面密度為，在盤(pán)上取半徑為，寬為的圓環(huán)，質(zhì)量為圓環(huán)所受的阻力矩為由于整個(gè)圓盤(pán)所受的阻力矩為所以根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有設(shè)圓盤(pán)經(jīng)過(guò)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)上式運(yùn)算即可最后得4.4.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量

質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)

O

的位矢為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量大小

的方向符合右手法則.4.4剛體的角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量4.4.2剛體的角動(dòng)量vimriOriwviriwLwI定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的矢量和Limriviriw2mririmri任一質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量LLiw2mriri()SwI所有質(zhì)元（整個(gè)剛體）對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量S所有質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)以軸為圓心作圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量定理4.4.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理tdLdM合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）0ttL0LL0LIwI0w0dLdtM由轉(zhuǎn)動(dòng)定律bIIwtddM()dtdIwtdLd合外力矩的沖量矩角動(dòng)量的增量例求制動(dòng)力F重力R0gmN剎車(chē)過(guò)程應(yīng)用角動(dòng)量定理飛輪:剎車(chē)塊正壓力支座反力均通過(guò)轉(zhuǎn)軸,無(wú)力矩.0tdtLL0M0例ABDlbFmor0w已知n0w轉(zhuǎn)分時(shí)剎車(chē),秒內(nèi)停轉(zhuǎn)在tm剎車(chē)塊與輪緣摩擦系數(shù)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0Imr2忽略剎車(chē)桿的質(zhì)量n602ps1rad代入得0tdt0I0wmFlbrF0I0wbmlrmrnpbt30mltgmor0wfNR0fABlbFNRR解法提要受力和力矩的分析力矩平衡FlNb0桿AB:R摩擦力f支座反力R,均通過(guò)轉(zhuǎn)軸,對(duì)合力矩?zé)o貢獻(xiàn).NFlb即其中M0frmNrmFlbr初角動(dòng)量L00I0wL0末角動(dòng)量(停轉(zhuǎn)),剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理*（剛體+質(zhì)點(diǎn)）系的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩∑MiLtdd∑i系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率1dt2ttM系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量∑()1LLii2系統(tǒng)：輕繩mm1（忽略質(zhì)量）總合外力矩對(duì)O的角動(dòng)量mm1對(duì)O的角動(dòng)量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtdda而解得agm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR靜止釋放a求角加速度剛體的角動(dòng)量守恒定律4.4.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律系統(tǒng)的角動(dòng)量定理MLtdd由M0Ltdd0——系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律若則即系統(tǒng)所受的合外力矩L常矢量SiL特別說(shuō)明：系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)”系統(tǒng)，對(duì)不僅適用于“剛體+單個(gè)質(zhì)點(diǎn)、形狀可變的單個(gè)剛體、非剛體都適用。此外，上述角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒也適用于剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。角動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律是自然界的三大守恒定律。角動(dòng)量守恒的另一類(lèi)現(xiàn)象收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后撤除外力矩張臂I大小wIwIwIw角動(dòng)量守恒的另一類(lèi)現(xiàn)象乘積保持不變變小則變大、變大則變小花樣滑冰中常見(jiàn)的例子角動(dòng)量守恒的另一類(lèi)現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變Iw變大則Iw變小收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Iw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂大小Iw高臺(tái)跳水動(dòng)畫(huà)高臺(tái)跳水共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若0IMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)I輪I人臺(tái)初態(tài)全靜LSi初0人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子w輪末態(tài)w人臺(tái)I輪w輪LSi末+I人臺(tái)w人臺(tái)LSi初0得I人臺(tái)w人臺(tái)I輪w輪導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)直升飛機(jī)直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用尾槳用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂槳圖片來(lái)自Internet守恒例題一wA靜已知例AIBIA、B兩輪共軸A以wA作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)解法提要

以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量wAAI+0()AI+BIwAB末態(tài)角動(dòng)量得wABwAAI()AI+BI求兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度wABwAB轉(zhuǎn)動(dòng)與碰撞轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)也有碰撞問(wèn)題必須應(yīng)用角動(dòng)量概念去分析解決問(wèn)題如，鋼球碰懸錘木棒如果該碰撞為完全彈性碰撞，則碰撞過(guò)程機(jī)械能守恒。系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。碰撞瞬間在懸錘位置發(fā)生，碰撞過(guò)程系統(tǒng)對(duì)懸掛點(diǎn)所受合外力矩為零，動(dòng)畫(huà)續(xù)上轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)也有碰撞問(wèn)題必須應(yīng)用角動(dòng)量概念去分析解決問(wèn)題又如，子彈擊入懸錘木棒擊入瞬間在懸錘位置發(fā)生，擊入過(guò)程系統(tǒng)對(duì)懸掛點(diǎn)所受合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。但因擊入過(guò)程屬非彈性碰撞，故該過(guò)程機(jī)械能不守恒。動(dòng)畫(huà)守恒例題三求

滿足什么條件時(shí)，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度lw？勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等兩者共面共轉(zhuǎn)軸水平靜止釋放例mOllm靜懸彈碰忽略摩擦聯(lián)立解得l3l,gw23l()120.577l~~~~1.861gl解法提要對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)mgl21mv2小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開(kāi)始由動(dòng)能定理得I31ml2其中

球、棒相碰瞬間在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。+剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量0剛碰過(guò)后系統(tǒng)角動(dòng)量0mvlwI+球棒球棒彈碰階段21Iw221mv2彈碰過(guò)程能量守恒4.5.1力矩的功OqdjPRFcosFrd2pj()sdFsdsinjdWFsdF力的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作功可以用力矩的功來(lái)計(jì)算dWWq0qMqdq0q剛體由轉(zhuǎn)到M作的總功為PWddtwMqddtM力矩作功的瞬時(shí)功率FRsinjqdMqddWMqd力矩的元功4.5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理ds轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4.5.2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rmiviriw剛體中任一質(zhì)元的速率Eik21rmivi221rmiriw22該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和rmiri2()∑EkEik21w2∑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IzEk21w2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式得IzwOzrivirmi力矩的功算例求撥動(dòng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要總摩擦力矩是Mrr各微環(huán)帶摩擦元力矩的積分Mrd環(huán)帶面積dsdr環(huán)帶質(zhì)量dmpr2dmdsd環(huán)帶受摩擦力gmmdmfdr環(huán)帶受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圓盤(pán)受總摩擦力矩

MrMrd轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功W0p2Mrdq0R2mmgR2r2drW0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO轉(zhuǎn)軸d平放一圓盤(pán)剛體的動(dòng)能定理4.5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理mW21v21mv202剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理？由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M則WdWqdMq1qw1wIwwd2121212IwIw合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理稱(chēng)為222動(dòng)能定理例題三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作負(fù)功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI轉(zhuǎn)軸對(duì)質(zhì)心軸的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求擺至垂直位置時(shí)桿的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置靜止釋放含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題含的功能原理質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)+rE機(jī)械A(chǔ)外力A非保守內(nèi)力矩力力矩(E動(dòng)+)E勢(shì)(E動(dòng)+)E勢(shì)00()E平動(dòng)+E轉(zhuǎn)動(dòng)()E+E00平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守內(nèi)力矩力0E平動(dòng)E轉(zhuǎn)動(dòng)E勢(shì),,,E0平動(dòng)E0轉(zhuǎn)動(dòng)E勢(shì)0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00勢(shì)ghhv00vawbOm1m1