第3章-導(dǎo)熱問題的與計(jì)算

第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算§3-1一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-2通過肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-3對流邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-4集總參數(shù)分析法§3-5半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-6井筒周圍的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算第一部分穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：§3-1一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3.1.1通過平壁的導(dǎo)熱平壁的長度和寬度都遠(yuǎn)大于其厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。平板可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類型。a.單層壁導(dǎo)熱b.多層壁導(dǎo)熱c.復(fù)合壁導(dǎo)熱1、單層平壁的導(dǎo)熱a幾何條件：單層平板；b物理?xiàng)l件：、c、

已知；

無內(nèi)熱源c時間條件：d邊界條件：第一類類似于滲流力學(xué)中單相流體的平面平行流的滲流過程根據(jù)上面的條件可得：定解條件：控制方程第一類邊界直接積分，得：帶入邊界條件：帶入Fourier定律熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況線性分布2、多層平壁的導(dǎo)熱

多層平壁：由幾層不同材料組成例：鍋爐的爐墻—耐火磚層、隔熱磚層、保溫層層、金屬護(hù)板組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等t2t3t4t1qt2t3t4t1q由和分比關(guān)系

t1r1t2r2t3r3t4推廣到n層壁的情況:

在推導(dǎo)多層壁導(dǎo)熱的公式時，假定了兩層壁面之間是保持了良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實(shí)際中這個假定并不存在。因?yàn)槿魏喂腆w表面之間的接觸都不可能是緊密的。t1t2Δtxt

在這種情況下，兩壁面之間只有接觸的地方才直接導(dǎo)熱，在不接觸處存在空隙。

熱量是通過充滿空隙的流體的導(dǎo)熱、對流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱阻力，稱為接觸熱阻。

3、接觸熱阻

接觸熱阻是普遍存在的，而目前對其研究又不充分，往往采用一些實(shí)際測定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通常，對于導(dǎo)熱系數(shù)較小的多層壁導(dǎo)熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對于金屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問題。例3-1有一磚砌墻壁，厚為0.25m。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為25℃和30℃。試計(jì)算墻壁內(nèi)的溫度分布和通過的熱流密度。代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)的溫度分布解：由平壁導(dǎo)熱的溫度分布從附錄查得紅磚的λ=0.87W/(m·K),于是可以計(jì)算出通過墻壁的熱流密度例3-2由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚度及導(dǎo)熱系數(shù)分別為1＝240mm，1=1.04W/(mK)，2＝50mm,2=0.15W/(mK)，3＝115mm,3=0.63W/(mK)。爐墻內(nèi)側(cè)耐火磚的表面溫度為1000℃。爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為60℃。試計(jì)算硅藻土層的平均溫度及通過爐墻的導(dǎo)熱熱流密度。解：已知1＝0.24m,1=1.04W/(mK)

2＝0.05m,2=0.15W/(mK)

3＝0.115m,3=0.63W/(mK)tw1=1000℃，tw4=60℃tw2tw3tw4tw1q

tw1

r1

tw2

r2

tw3

r3

tw4硅藻土層的平均溫度為

例題3-3假設(shè)厚度為δ平壁左側(cè)表面絕熱，右側(cè)與某種低溫流體進(jìn)行對流換熱，表面對流傳熱系數(shù)為hc，溫度為tf。平壁內(nèi)具有均勻分布的內(nèi)熱源,強(qiáng)度為,平壁材料的熱導(dǎo)率為常數(shù),試分析平壁內(nèi)的溫度分布規(guī)律及溫度極值點(diǎn)的位置。解：平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式為邊界條件與無內(nèi)熱源時相同:x=0,x=,(a)(b)(c)tw1hctf0xt有內(nèi)熱源的問題對微分方程式(a)進(jìn)行積分,得(d)將邊界條件(b)代入上式,當(dāng)x=0，q=0，可求得積分常數(shù)c1

=

0對式(e)再進(jìn)行積分,得(e)(f)將式(e)、（f）都帶入（c）得(g)tw1hctf0xt這樣可求出C2于是，壁內(nèi)的溫度分布為平壁內(nèi)部溫度具有最大值的位置可由下式求出:最大值tmax為：變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計(jì)算熱流量；對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時，一維Fourier定律：當(dāng)＝(t)(隨溫度變化)時，分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x無關(guān)(穩(wěn)態(tài))，得當(dāng)隨溫度呈線性分布時，即＝0＋at，則實(shí)際上，不論如何變化，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面講過的所有定導(dǎo)熱系數(shù)公式，只是需要將換成平均溫度下的平均導(dǎo)熱系數(shù)m。如果取直線關(guān)系時(λ=λ0+bt，λ0>0)，此時溫度分布曲線的性質(zhì)與b的正負(fù)和數(shù)值有關(guān)。tw1tw20xtb>0b<0當(dāng)b>0時，曲線上凸；當(dāng)平壁穩(wěn)態(tài)傳熱時，q=常數(shù)，dq/dx=0當(dāng)b<0時，曲線下凹；當(dāng)b=0時，為直線。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱柱坐標(biāo)系：

圓筒壁就是圓管的壁面。當(dāng)管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度時，通過管壁的導(dǎo)熱就是圓柱坐標(biāo)系上的一維導(dǎo)熱問題。3.1.2通過圓筒壁導(dǎo)熱1、單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：(a)tw1

r1

tw2

rr2對上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件獲得兩個系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！求導(dǎo)根據(jù)熱阻的定義，通過整個圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：恒定值熱流密度熱流量單位長度圓筒壁的熱流量（亦稱為線熱流密度）：單位長度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻，m·K/W2、通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等由不同材料制作的圓筒同心緊密結(jié)合而構(gòu)成多層圓筒壁，如果管子的壁厚遠(yuǎn)小于管子的長度，且管壁內(nèi)外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向構(gòu)成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。單位管長的熱流量

例3－5某管道外經(jīng)為2r，外壁溫度為tw1，如外包兩層厚度均為r（即2＝3＝r）、導(dǎo)熱系數(shù)分別為2和3（2/3=2）的保溫材料，外層外表面溫度為tw2。如將兩層保溫材料的位置對調(diào)，其他條件不變，保溫情況變化如何？由此能得出什么結(jié)論？解：設(shè)兩層保溫層直徑分別為d2、d3和d4，則d3/d2=2，d4/d3=3/2。導(dǎo)熱系數(shù)大的在里面：導(dǎo)熱系數(shù)大的在外面：兩種情況散熱量之比為：結(jié)論：導(dǎo)熱系數(shù)大的材料在外面，導(dǎo)熱系數(shù)小的材料放在里層對保溫更有利。例題3-6電廠中有一直徑為0.2m的過熱蒸汽管道，鋼管壁厚為0.8mm,鋼材的熱導(dǎo)率為λ1=45W/(m·K)，管外包有厚度為δ=0.12m的保溫層，保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)為λ2=0.1W/(m·K)，管內(nèi)壁面溫度為tw1=300℃，保溫層外壁面溫度為tw3=50℃。試求單位管長的散熱損失。解：這是一個通過二層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)前面的計(jì)算式或者熱阻串聯(lián)關(guān)系，有W/m從以上計(jì)算過程可以看出，鋼管壁的導(dǎo)熱熱阻與保溫層的導(dǎo)熱熱阻相比非常小，可以忽略。若題中給出的是第三類邊界條件，即管內(nèi)蒸汽溫度為tf1=300℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h1=150W/(m2·K)，周圍空氣溫度為tf2=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h2=W/(m2·K)，試計(jì)算單位管長的散熱損失及鋼管內(nèi)壁面和保溫層外壁面溫度，并比較各熱阻的大小。對于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，在球坐標(biāo)系中也是一個一維導(dǎo)熱問題。相應(yīng)計(jì)算公式為：溫度分布：熱流量：熱阻：3、通過球殼的導(dǎo)熱§3-2通過肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題：如何增強(qiáng)傳熱能力？如何用玻璃溫度計(jì)測量管內(nèi)流體的溫度？分析：h1↑，h2↑:一般比較困難，改善小的一側(cè)Δt↑：困難

A↑：延伸體一、基本概念

1、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。一般由金屬材料制成，熱導(dǎo)率大工程上和自然界常見到一些帶有突出表面的物體。增大對流換熱面積，以強(qiáng)化換熱總在對流換熱系數(shù)較小的一側(cè)２、肋片的作用3、常見肋片的結(jié)構(gòu)：直肋環(huán)肋針肋直肋環(huán)肋針肋肋高H肋寬b肋厚δ周長P橫截面積A肋基肋端肋片的基本尺寸和術(shù)語b二、等截面直肋的導(dǎo)熱已知：矩形直肋，δ、A、b均保持不變肋基溫度為t0，且t0>tf肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常量h導(dǎo)熱系數(shù)，保持不變無內(nèi)熱源求：溫度場t

和散熱量0xdxΦxΦx+dxδΦc分析：肋寬b方向：肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度b>>δ,不考慮溫度沿該方向的變化于是我們可以把通過肋片的導(dǎo)熱問題視為沿肋片方向上的一維導(dǎo)熱問題。肋厚δ方向：沿肋厚方向的導(dǎo)熱熱阻一般遠(yuǎn)小于它與環(huán)境的換熱熱阻。把沿δ方向的散熱視為負(fù)的虛擬內(nèi)熱源1/hδ/λ1/htｆt1t2tｆ0xdxΦxΦx+dxδΦc假設(shè)：1）導(dǎo)熱系數(shù)λ及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)；2）肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度，不考慮溫度沿該方向的變化；

3）表面上的換熱熱阻1/h，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻δ/λ，即肋片上沿肋厚方向上的溫度均勻不變；

4）肋端視為絕熱，即dt/dx=0；

在上述假設(shè)條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,并將沿程散熱量視為負(fù)的內(nèi)熱源，則導(dǎo)熱微分方程式簡化為0xdxΦxΦx+dxδΦc虛擬內(nèi)熱源強(qiáng)度單位時間肋片單位體積的對流散熱量如圖，在距肋基ｘ處取一長度為dx的微元段，該段的對流換熱量為：因此該微元段的內(nèi)熱源強(qiáng)度為：0xdxΦxΦx+dxδΦc導(dǎo)熱微分方程：引入過余溫度。并令邊界條件：導(dǎo)熱微分方程：二階齊次線性常微分方程絕熱邊界求解得肋片內(nèi)的溫度分布：雙曲余弦函數(shù)θx0θ0θLH肋片表面的散熱量雙曲正切函數(shù)0xdxΦxΦx+dxbδΦc穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過肋基導(dǎo)入肋片的熱量2肋片效率

為了從散熱的角度評價加裝肋片后換熱效果，引進(jìn)肋片效率

表示整個肋片均處于肋基溫度時傳遞的熱流量，也就是肋片傳導(dǎo)熱阻為零時向環(huán)境散失的熱流量。3.肋片的工程計(jì)算

肋片的散熱量:如果肋片的效率能夠順利計(jì)算出來的話，肋片的實(shí)際散熱量也就可以求得。mH這個無因次數(shù)在肋片效率計(jì)算中有重要作用。肋片的縱剖面積影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導(dǎo)率、肋片表面與周圍介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）可見，與參量有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用公式計(jì)算，而直接用圖查出，散熱量

4.通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱

為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面肋片，環(huán)肋及三角形截面直肋是其中的兩種。對于變截面肋片來講，由于從導(dǎo)熱微分方程求得的肋片散熱量計(jì)算公式相當(dāng)復(fù)雜，因此，人們仿照等截面直肋。利用肋片效率曲線來計(jì)算方便多了，書中圖2－14和2－15分別給出了三角形直肋和矩形剖面環(huán)肋的效率曲線。工程上采用的肋片幾何形狀是十分復(fù)雜的。r0xy0矩形環(huán)肋片三角形肋片

計(jì)算m值帶來一定的困難，但mh值是可以確定的。對直肋工程上，往往采用肋效率ηf和為坐標(biāo)的曲線，表示理論界的結(jié)果。矩形和三角形肋片的效率矩形截面環(huán)肋的效率3.幾點(diǎn)考慮

1)肋端散熱的考慮P40推導(dǎo)中忽略了肋端的散熱（認(rèn)為肋端絕熱）。對于一般工程計(jì)算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，取：Hc=H+/2b2)換熱系數(shù)為常數(shù)的假定

為了推導(dǎo)和求解的方便，我們將h、均假定為常數(shù)。但實(shí)際上換熱系數(shù)h并不是常數(shù)，而是隨肋高而變化的。而在自然對流環(huán)境下?lián)Q熱系數(shù)還是溫度的函數(shù)。因此，我們在肋片散熱計(jì)算中也應(yīng)注意由此引起的誤差。實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，并非任何情況下加肋片都能使傳熱增加，有時反而減少。3)何時加肋片對傳熱有利

實(shí)際工程中，由于h在肋高上不相等，且肋片內(nèi)部的溫度場并不是一維的，肋端的hH與h也存在差異，此時采用下式判斷：例3－7為了測量管道內(nèi)的熱空氣溫度和保護(hù)測溫元件—熱電偶，采用金屬測溫套管，熱電偶端點(diǎn)鑲嵌在套管的端部，如圖。套管長H=100mm，外徑d=15mm，壁厚δ=1mm，套管材料的導(dǎo)熱系數(shù)λ=45W/(m·K)。已知熱電偶的指示溫度為200℃，套管根部的溫度t0=50℃，套管外表面與空氣之間對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=40W/(m2·K)。試分析產(chǎn)生測溫誤差的原因并求出測溫誤差。解：由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示的是測溫套管端部的溫度tH。測溫套管與周圍環(huán)境的的熱量交換情況如下：熱量以對流換熱的方式由熱空氣傳給測溫套管，測溫套管再通過熱輻射和導(dǎo)熱將熱量傳給空氣管道壁面。在穩(wěn)態(tài)情況下，測溫套管熱平衡的結(jié)果使測溫套管端部的溫度不等于空氣的溫度，測溫誤差就是套管端部的過余溫度。

解：如果忽略測溫套管橫截面上的溫度變化，并認(rèn)為套管端部絕熱，則套管可以看成是等截面直肋，根據(jù)式（a）R1R2R3T∞TftHt0§補(bǔ)充：多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題自學(xué)S為導(dǎo)熱形狀因子，單位m。取決于導(dǎo)熱體的形狀和大小，純粹是一個集合參量。P77表3-1第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算第二部分非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用。2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時溫度場的方法；②一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

3、了解內(nèi)容：

二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3.3.1概述一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程及其特點(diǎn)導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當(dāng)長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡，物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值。300℃的鐵塊在冷水中的冷卻2、溫度分布（瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）：一初始溫度場均勻并為t0的無限大平壁，突然投入到溫度為t∞的流體中加熱。分析溫度、熱流量隨時間變化平壁剛投入到流體中時，表面溫度tw立即發(fā)生變化，而溫度隨時間的變化率逐漸減小，并趨近于t∞；表面溫度tw變化后，溫度變化逐漸深入物體內(nèi)部，但要到τ2時刻，其中心溫度tm才開始變化，tm隨時間的變化率開始較小，以后增大又減小，最后，tm→t∞3、熱量變化物體投入到流體中后，由于開始時表面的傳熱溫差最大，表面熱流量立即達(dá)到最大值，以后隨著tw的增大而減小，最后趨于0，陰影部分面積表示總的吸熱量Q。4、學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：物體某一部分加熱（冷卻）到某一確定溫度所需的時間物體在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的溫度分布，熱應(yīng)力、熱變形分析、溫度變化率某一時刻物體表面的熱流量及經(jīng)過一段時間總的吸熱量5、求解方法：分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學(xué)模擬3.3.2對流邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析厚度2

的無限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點(diǎn)。導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)由于是軸對稱問題，可以取平板一般分析：引入過余溫度對上述模型采用分離變量法求解，得：傅里葉準(zhǔn)則令μn稱為特征值，是以下超越方程的根：—無量綱距離可見，大平壁中離中心平面任一距離x處的無量綱過余溫度是Bi，F(xiàn)o和無量綱距離的函數(shù)。由于式中含有無窮級數(shù)，計(jì)算工作量很大計(jì)算表明，式中的指數(shù)項(xiàng)衰減很快當(dāng)Fo>0.2時，取無窮級數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，所得結(jié)果的誤差小于1％當(dāng)Fo>0.2時，取無窮級數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，相當(dāng)于將無窮級數(shù)中的Cn（n≥2）取為零于是在Fo>0.2后，有當(dāng)Fo>0.2后平壁內(nèi)任意位置處的過余溫度與平壁對稱面（中心面）的過余溫度θ(0,τ)之比為它表明：當(dāng)Fo>0.2后，雖然θ(x,τ)與θ(0,τ)各自均與τ相關(guān)，但它們的比值卻與τ無關(guān)而僅取決于平壁的幾何位置（x/δ）和Bi數(shù)這意味著初始條件的影響已經(jīng)消失，這就是正規(guī)狀況階段計(jì)算正規(guī)狀況階段的溫度需要根據(jù)Bi數(shù)確定相應(yīng)的特征值，使用時不甚方便工程上常采用兩種簡化的計(jì)算方法，由海斯勒(Heisler)提出的諾模圖(nomogram)方法和由Campo提出的近似擬合公式關(guān)于海斯勒圖的使用方法以及擬合公式的具體表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)根據(jù)溫度分布，可以計(jì)算出一段時間內(nèi)平壁在非穩(wěn)態(tài)過程中所傳遞的熱量對雙面對稱加熱的平壁而言，平壁從流體中吸收的熱量完全被平壁用來升高其自身溫度顯然，從平壁放入流體的時刻起到平壁與流體處于熱平衡狀態(tài)，平壁所吸收熱量為吸熱量

這是該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程所吸收的總熱量

從初始時刻起到某一時刻τ的這段時間內(nèi)，平壁所吸收的熱量為：平壁內(nèi)溫度分布表達(dá)式中含有Fo數(shù)和Bi數(shù)，這說明非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的物理過程和特征要受到這兩個量綱一的量的影響傳熱學(xué)中，通常將表示某一物理現(xiàn)象或物理過程特征的量綱一的量，稱為特征數(shù)或準(zhǔn)則數(shù)Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

出現(xiàn)在特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征長度，用符號l表示，characteristiclength對兩邊對稱加熱的厚為2δ的平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，用平壁的半厚度δ作為其特征長度掌握特征數(shù)的定義及其物理意義是傳熱學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

將Fo數(shù)的定義式改寫為：式中，τ和δ2/a都具有時間的量綱——分子τ表示：邊界上發(fā)生熱擾動時刻算起到計(jì)算時刻為止的時間——分母δ2/a表示：熱擾動經(jīng)過一定厚度的固體層傳播到面積δ2上所需要的時間Fo數(shù)可以看成是反應(yīng)非穩(wěn)態(tài)進(jìn)程的無量綱時間。Fo數(shù)越大，邊界上的熱擾動就能更深入地傳播到物體內(nèi)部，非穩(wěn)態(tài)過程進(jìn)行得越充分1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。

2）Bi物理意義：

Bi特征數(shù)反映了內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與外部(表面)對流傳熱熱阻的相對大小。3）特征長度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。對解的討論1.Fo準(zhǔn)則對溫度分布的影響Fo0.2時，進(jìn)入正規(guī)狀況階段，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對數(shù)都隨時間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨F0增大而減小Fo<0.2時是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點(diǎn)溫度變化速率不同初始階段2.Bi準(zhǔn)則對溫度分布的影響B(tài)i（Bi=α/）表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關(guān)系。當(dāng)Bi時，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)α，對流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降到流體溫度t。二、討論在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚、初溫、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為的流體中冷卻。由于單位面積導(dǎo)熱熱阻與外部對流熱阻的相對大小不同，平板中溫度場的變化會出現(xiàn)以下三種情形：

由于表面對流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過程一開始平板的表面溫度就被冷卻到。并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（1）（3）與的數(shù)值比較接近

這時，平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。

這時，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（2）§3.4集總參數(shù)法的簡化分析

忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，，溫度分布只與時間有關(guān)，即，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。定義：由于物體內(nèi)溫度相差不大，而近似認(rèn)為這種非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中物體內(nèi)的溫度分布與坐標(biāo)無關(guān)，僅隨時間變化，因此物體溫度可用任一點(diǎn)的溫度表示，而將物體的質(zhì)量和熱容量等視為集中這一點(diǎn)，這種方法——集總參數(shù)法。一、集總參數(shù)法分析

h,t∞AQcΔΕρ,c,V,t0一個集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時間的變化率ΔΕ＝通過表面與外界交換的熱流量Qc

當(dāng)物體被冷卻時（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：，則有初始條件控制方程

積分過余溫度比其中的指數(shù)：

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：即與的量綱相同，當(dāng)時，則此時，上式表明：當(dāng)傳熱時間等于時，物體的過余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的36.8％。稱為時間常數(shù)，用表示。時間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，記為r，也稱弛豫時間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時間常數(shù)(Vc/h

A)小熱電偶測溫時，r越小越能反映被測流體溫度的變化反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)。可見，同一物質(zhì)不同的形狀其時間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數(shù)也是不相同。θ/θ0τ/τr0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時間等于其時間常數(shù)時，即τ=τr，τ=4τr，工程上認(rèn)為=4τr時導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時間0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(t<t)，計(jì)算式相同（為什么？）總熱量：物理意義無量綱熱阻無量綱時間Fo越大，熱擾動就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。集總參數(shù)法的判定依據(jù)

如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)，M為形狀修正系數(shù)。

采用此判據(jù)時，物體中各點(diǎn)過余溫度的差別小于5%對厚為2δ的無限大平板對半徑為R的無限長圓柱對半徑為R的球是與物體幾何形狀有關(guān)的無量綱常數(shù)例題3-2將一個初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.3W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達(dá)到800℃所需要的時間。解：首先判斷能否用集總參數(shù)法求解：畢渥數(shù)為可以用集總參數(shù)法求解。

可解得Fov=83.6當(dāng)Bi0時，意味著物體的熱導(dǎo)率很大、導(dǎo)熱熱阻0（Bi=α/）。物體內(nèi)的溫度分布趨于均勻一致?？捎眉倕?shù)法求解.井筒是打開油氣藏、采出油氣資源的必由通道，無論是在鉆井、注入或采出過程中，井筒內(nèi)流體的溫度變化規(guī)律始終是石油工程所關(guān)注的問題井筒內(nèi)流體的溫度變化源自地層加熱或冷卻作用

鉆井工程中：地層加熱作用使鉆井液、水泥漿的溫度在鉆進(jìn)過程中逐漸升高，特別是對深井、超深井，進(jìn)而影響到它們的性能，對鉆井過程、固井質(zhì)量產(chǎn)生影響3.5井筒周圍地層內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱／工程背景注蒸汽開發(fā)稠油油藏時，高溫高壓的濕蒸汽與地層間存在的熱損失使蒸汽沿井筒流動時干度逐漸降低而影響到注汽加熱的效果采油過程中高溫產(chǎn)液在舉升因散熱使產(chǎn)液溫度降低，粘度增加，使稠油機(jī)采井的生產(chǎn)狀況惡化，能耗增加采用加熱措施（如電加熱、電伴熱、井筒熱流體循環(huán)等）開發(fā)稠油、高凝油時，都存在因地層與流體間的熱量傳遞使流體溫度發(fā)生變化而影響生產(chǎn)過程的問題地?zé)衢_發(fā)利用過程中，為計(jì)算井口處熱流體溫度，也需要計(jì)算流體在從井底沿井筒向上流動時與地層之間的傳熱量上述各問題中：——計(jì)算目的：確定井筒內(nèi)流體溫度沿井深的變化——計(jì)算關(guān)鍵：井筒內(nèi)流體與地層之間的傳熱量——計(jì)算困難：具體的工藝不同，井筒結(jié)構(gòu)不同，井筒內(nèi)流體與地層之間的熱量傳遞過程中涉及到的熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)也不盡相同直接研究井筒內(nèi)流體與地層間的熱量傳遞過程有困難

工程上為了便于分析，通常將整個熱量傳遞過程分為：——地層內(nèi)的熱量傳遞過程（簡稱“地層內(nèi)”），熱量傳遞為導(dǎo)熱——井筒內(nèi)的熱量傳遞過程（簡稱“井筒內(nèi)”），熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)取決于具體工藝過程工藝不同，二者的分界面不同——鉆井、固井等工藝中，分界面是裸露的井壁——采油、注氣、壓裂等工藝中，分界面是水泥環(huán)外緣不同工藝中熱量傳遞過程的差別體現(xiàn)在井筒內(nèi)，而地層內(nèi)的熱量傳遞過程是相同的本節(jié)主要分析地層內(nèi)的熱量傳遞過程－導(dǎo)熱過程分析井筒周圍地層內(nèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的方法很多，如理論分析法、數(shù)值分析方法等，應(yīng)用最多的是半解析法，這里主要介紹這種方法自地表至油層的井筒（這里只考慮直井）是聯(lián)系地面與油層的通道當(dāng)與地層溫度不同的流體突然通過井筒時，地層內(nèi)將會產(chǎn)生熱量傳遞過程地層通常是由致密的巖石組成，因此熱量在地層內(nèi)傳遞方式為導(dǎo)熱

物理模型井筒周圍地層內(nèi)的導(dǎo)熱過程是復(fù)雜的，體現(xiàn)在：1）自井筒向外的地層無限大，過程永遠(yuǎn)也達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)2）受地質(zhì)成因與構(gòu)造的影響，自地面到油層，地層的非均質(zhì)性較強(qiáng)，相關(guān)物性是變化的3）受地核的加熱作用，地層溫度向地心方向不斷增加4）井筒結(jié)構(gòu)不同，地層和井筒的交界面不同，交界面處的邊界條件難以給出

物理模型在數(shù)千米深的地層內(nèi)全面考慮上述因素直接求解其導(dǎo)熱問題是復(fù)雜和困難的，結(jié)果也不利于工程計(jì)算實(shí)際計(jì)算時通常將井筒和地層分成若干小段，在每小段內(nèi)可做如下假設(shè)：1）地層是均質(zhì)的，各物性均為常數(shù)2）地層的初始溫度均勻，以該段中間位置處的原始地層溫度作為其初始溫度物理模型3）為了便于和井筒內(nèi)的計(jì)算相耦合，設(shè)地層和井筒的交界面處于第二類邊界條件下4）忽略周向的導(dǎo)熱5）小段內(nèi)忽略軸向?qū)?）地層內(nèi)不存在內(nèi)