第7章抽樣與抽樣分布

第7章抽樣與抽樣分布統(tǒng)計(jì)圖表2統(tǒng)計(jì)圖表3統(tǒng)計(jì)圖表4統(tǒng)計(jì)圖表5統(tǒng)計(jì)圖表6統(tǒng)計(jì)圖表7統(tǒng)計(jì)圖表8劉濤個(gè)人百度指數(shù)近30天平均搜索指數(shù)達(dá)105098，同比上升240%，環(huán)比上升353%。王子文的人氣迅速躥升，百度指數(shù)近30天平均搜索指數(shù)為143401，同比增長(zhǎng)大于1000%，環(huán)比增長(zhǎng)大于1000%。喬欣詞條下近30天平均搜索指數(shù)為48263，環(huán)比增長(zhǎng)大于1000%。因?yàn)榻巧P(guān)關(guān)的乖巧可人，就連“關(guān)關(guān)”都有其下詞條，近30天平均搜索指數(shù)為5590，環(huán)比上漲61%。歡樂頌統(tǒng)計(jì)圖表9統(tǒng)計(jì)圖表10抽樣調(diào)查研究了26個(gè)字母統(tǒng)計(jì)圖表11本章要點(diǎn):第7章抽樣與抽樣分布簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法點(diǎn)估計(jì)的基本方法樣本均值與樣本比例的抽樣分布*其他常見的抽樣方法簡(jiǎn)介例:諾里斯電器公司的一項(xiàng)研究

諾里斯電器公司生產(chǎn)了一種能在各種電器上使用的高亮度燈泡，為了提高燈泡壽命，產(chǎn)品設(shè)計(jì)部門研發(fā)了一種新型燈絲，為了評(píng)估新燈絲的優(yōu)點(diǎn)，生產(chǎn)了200只利用新型燈絲制作的燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到樣本數(shù)據(jù)如右，試對(duì)所有用新型燈絲生產(chǎn)的燈泡使用壽命進(jìn)行評(píng)估。

第7章抽樣與抽樣分布14引例:聯(lián)合電氣公司抽樣問題的案例

問題：

聯(lián)合電氣公司的人事部門經(jīng)理要擬訂一份公司2500名經(jīng)理的簡(jiǎn)介。內(nèi)容包括經(jīng)理們的平均年薪和已完成公司培訓(xùn)計(jì)劃的經(jīng)理所占比例。

15

16事件：人事部門經(jīng)理不想用全面調(diào)查而是抽樣的方法，從2500名經(jīng)理中抽取30名來估計(jì)總體信息。分析：

以下內(nèi)容將圍繞這一案例的分析、解決展開。統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷過程1、總體是2500名管理人員信息的數(shù)據(jù)2、樣本是選中的30名管理人員的信息數(shù)據(jù)3、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本平均年薪是51814(美元)4、根據(jù)樣本平均值對(duì)總體平均值進(jìn)行估計(jì).定義:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)并對(duì)總體參數(shù)的有關(guān)假定做出檢驗(yàn).推斷統(tǒng)計(jì)中有關(guān)概念總體(population)：在一個(gè)特定研究中感興趣的對(duì)象全體所組成的集合，總體分：有限總體與無限總體樣本(sample)：總體的一個(gè)子集抽樣(samplesurvey)：收集一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的過程被抽樣總體(statisticalinference)：根據(jù)指理論上應(yīng)抽樣的對(duì)象的全體抽樣框(frame):指事實(shí)上被抽樣的全體元素的集合統(tǒng)計(jì)圖表19幾個(gè)概念平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差比例參數(shù)(唯一性)p統(tǒng)計(jì)量(隨機(jī)變量)x

sp

總體樣本統(tǒng)計(jì)應(yīng)用：兩個(gè)例子

ThepurposeofStatisticsinferenceistoobtaininformationaboutapopulationfrominformationcontainedinsample.

例1：一汽車輪胎制造商生產(chǎn)一種被認(rèn)為壽命更長(zhǎng)新型輪胎。

例2：某黨派想支持某一候選人參選美國(guó)某州議員，為了決定是否支持該候選人，該黨派領(lǐng)導(dǎo)需要估計(jì)支持該候選人的民眾占全部登記投票人總數(shù)的比例。由于時(shí)間及財(cái)力的限制：120個(gè)樣本測(cè)試平均里程：36,500公里推斷新輪胎平均壽命:36,500公里400個(gè)樣本

支持人數(shù)：160推斷支持該候選人的選民占全部選民的比例：160/400=40%21統(tǒng)計(jì)推斷對(duì)樣本要求

要利用樣本的信息對(duì)總體特征做合理的推斷,樣本必須具有代表性.

調(diào)查：新華學(xué)院學(xué)生的就餐情況統(tǒng)計(jì)圖表22統(tǒng)計(jì)圖表23統(tǒng)計(jì)圖表2425簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（Simplerandomsampling）是最常用的一種抽樣方法。它的定義和樣本抽取程序取決于總體是有限總體還是無限總體。

26一、有限總體抽樣（一）有限總體的含義可以列出或計(jì)數(shù)總體中所有元素（單位）的總體稱為有限總體。（二）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本定義從容量為N的有限總體中進(jìn)行抽樣，如果容量為n的每個(gè)可能樣本被抽到的機(jī)會(huì)相同，我們稱容量為n的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。27事件：人事部門經(jīng)理不想用全面調(diào)查而是抽樣的方法，從2500名經(jīng)理中抽取30名來估計(jì)總體信息。分析：

以下內(nèi)容將圍繞這一案例的分析、解決展開。28（三）抽樣方法1.無放回抽樣（不重復(fù)抽樣）一個(gè)元素一旦選入樣本，就從總體中剔除，不能再次被選入。

[例]

在聯(lián)合電氣公司的問題中，用無放回抽樣方法抽取樣本。一、有限總體抽樣29分析：在此問題中，N=2500，n=30。用無放回抽樣方法抽取樣本的方法步驟如下：（1）抽樣的準(zhǔn)備工作第一步：將2500名聯(lián)合電氣公司經(jīng)理編號(hào)1，2，3，…，2499，2500。第二步：將每個(gè)號(hào)碼寫在大小相等的紙片上，并揉成均勻的球狀。第三步：每個(gè)紙球放入圓形容器中搖勻。

30（2）具體抽樣第一步：從2500個(gè)紙球中隨機(jī)抽取1個(gè)，做好編號(hào)記錄，然后將其放在一邊。第二步：從剩下的2499個(gè)紙球中再抽取另1個(gè)，做好記錄后再放在一邊。第三步：以此類推，直至抽夠30個(gè)為止。

由此就構(gòu)成一個(gè)無放回抽樣的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

312.放回抽樣（重復(fù)抽樣）一個(gè)元素一旦選入樣本，仍被放回總體中。先前被選入的元素可能再次被選，并且在樣本中可能出現(xiàn)多次（多于一次）。[例7.2]

在聯(lián)合電氣公司問題中，用放回抽樣方法抽取樣本。32分析：抽樣的準(zhǔn)備工作同無放回抽樣。具體抽樣：第一步：從2500個(gè)紙球中隨機(jī)抽取第1個(gè)，做好編號(hào)記錄，然后將其放回總體參加下一次抽選。第二步：從2500個(gè)紙球中再隨機(jī)抽取第2個(gè)，做好編號(hào)記錄，然后將其放回總體參加下一次抽選。第三步：以此類推，直至抽夠30個(gè)為止。

33

最常用的抽樣方法是無放回抽樣(不重復(fù)抽樣)。以后，只要提到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，就假定是無放回抽樣。

統(tǒng)計(jì)圖表34簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的具體方法2.利用Excel函數(shù)抽取樣本利用函數(shù)randbetween(bottom,top)進(jìn)行重復(fù)隨機(jī)抽樣3.利用Excel數(shù)據(jù)分析工具中的“抽樣”選項(xiàng)抽取樣本(重復(fù))流程:工具----->數(shù)據(jù)分析---->抽樣---->抽樣選項(xiàng)，---->抽樣對(duì)話框---->輸入?yún)^(qū)域框中輸入總體單位編號(hào)或數(shù)字---->確定1.利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本4.利用SPSS可方便快捷地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)“抽樣”(不重復(fù))37二、無限總體抽樣（一）無限總體的含義

在實(shí)際應(yīng)用中，若總體單位數(shù)很多，要逐一編號(hào)是難以辦到的，特別是有些現(xiàn)象，事前也不可能編號(hào)(如一些連續(xù)大量正在生產(chǎn)的產(chǎn)品)因此我們定義：被研究的總體中所涉及某一正在進(jìn)行的過程使得不可能列出總體中的所有元素，則可視為無限總體。38二、無限總體抽樣

（二）無限總體簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本定義

滿足下面條件的樣本稱為無限總體簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：每個(gè)個(gè)體都來自同一個(gè)總體。每個(gè)個(gè)體被抽取是相互獨(dú)立的。

39

統(tǒng)計(jì)應(yīng)用：兩個(gè)例子

ThepurposeofStatisticsinferenceistoobtaininformationaboutapopulationfrominformationcontainedinsample.

例1：一汽車輪胎制造商生產(chǎn)一種被認(rèn)為壽命更長(zhǎng)新型輪胎。

例2：某黨派想支持某一候選人參選美國(guó)某州議員，為了決定是否支持該候選人，該黨派領(lǐng)導(dǎo)需要估計(jì)支持該候選人的民眾占全部登記投票人總數(shù)的比例。由于時(shí)間及財(cái)力的限制：120個(gè)樣本測(cè)試平均里程：36,500公里推斷新輪胎平均壽命:36,500公里400個(gè)樣本

支持人數(shù)：160推斷支持該候選人的選民占全部選民的比例：160/400=40%常用的估計(jì)量有：(1)樣本平均數(shù)為總體平均數(shù)的估計(jì)量；(2)樣本方差為總體方差的估計(jì)量(3)樣本成數(shù)為總體成數(shù)p的估計(jì)量。三、點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就是用樣本估計(jì)量的一個(gè)具體觀測(cè)值直接作為總體的未知參數(shù)的估計(jì)值的方法。42

點(diǎn)估計(jì)例現(xiàn)在再回到聯(lián)合電氣公司的問題上來。假定已經(jīng)抽取了一個(gè)由30名經(jīng)理所組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，他們相應(yīng)的年薪以及參加管理培訓(xùn)計(jì)劃情況的數(shù)據(jù)如下表：43

點(diǎn)估計(jì)例44

點(diǎn)估計(jì)例將樣本結(jié)果與總體參數(shù)的真值作對(duì)比：總體參數(shù)參數(shù)值點(diǎn)估計(jì)量點(diǎn)估計(jì)值5180040000.605181433480.6345

抽樣分布

46

例：在一箱（5×50×200=50000支）卷煙中隨機(jī)抽出40支測(cè)量煙絲重量X，然后對(duì)這箱卷煙的煙絲重量進(jìn)行分析。樣本樣本指標(biāo)N=50000n=40放回抽樣不放回抽樣X1、X2、…XN

X

的抽樣分布

如果將整理成分布數(shù)列，得到以下形式：樣本平均數(shù)概率（頻率）

p1p2pk形成了抽樣分布表，該表便為X的抽樣分布。x的抽樣分布49一、的期望值

（7-1）公式（7-1）說明，是的無偏估計(jì)。

無偏性（Unbiasedness）點(diǎn)估計(jì)量的一個(gè)性質(zhì)。點(diǎn)估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估總體參數(shù)的值。

[例]總體A、B、C三人年齡為：1,2,3，N=3n=2。=2歲結(jié)論是:樣本均值的無偏性

51（一）無限總體的標(biāo)準(zhǔn)差(重復(fù)抽樣)（7-2）（二）有限總體的標(biāo)準(zhǔn)差（不重復(fù)抽樣）（7-3）二、的標(biāo)準(zhǔn)差

抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)、重復(fù)抽樣

B、不重復(fù)抽樣54[例]在聯(lián)合電氣公司問題中，假定求：分析：由于抽樣比

所以可以直接用計(jì)算

考察一個(gè)N=6的總體(6點(diǎn)的骰子)，其原始分布屬于均勻分布：X123456p1/61/61/61/61/61/6

從這個(gè)總體中有放回地抽取n=2的樣本(二個(gè)骰子同時(shí)拋點(diǎn)數(shù))，所有可能的樣本總數(shù)為Nn=36，假定要通過樣本估計(jì)總體的均值，則所有36個(gè)可能結(jié)果為：三、X的抽樣分布的形態(tài)

第一次第二次123456111.522.533.521.522.533.54322.533.544.542.533.544.55533.544.555.563.544.555.56所有36個(gè)可能結(jié)果:樣本均值的分布整理成：11.522.533.544.555.56p1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36用圖示反映其分布狀況如：

58

X的抽樣分布的形態(tài)中心極限定理對(duì)于三種不同總體的演示60這一命題要解決的問題就是，根據(jù)抽樣誤差確定在一次抽樣中，樣本均值落在以總體均值為中心，左右分別小于（等于）和大于（等于）一個(gè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的概率有多大。

樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值稱作抽樣誤差（單個(gè)樣本的抽樣誤差):

61[例7.6]

在聯(lián)合電氣公司問題中，假定人事部經(jīng)理把樣本均值落在總體均值左右各500元以內(nèi)作為一個(gè)可接受的估計(jì)值。

那么，根據(jù)30名經(jīng)理組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本得到的樣本均值在總體均值左右500元以內(nèi)的概率有多大呢？

即要計(jì)算：

62解：

圖7.7

樣本均值在總體均值左右500元范圍之間的概率63結(jié)論:

上述計(jì)算結(jié)果表明,

人事部經(jīng)理有50.36%的把握保證由30名公司經(jīng)理組成的樣本，他們平均年薪在51300~52300元之間。

64樣本容量與抽樣分布之間的關(guān)系

由公式可以看出，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差與樣本容量的平方根有關(guān)。即當(dāng)樣本容量增加時(shí)，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差會(huì)減少。

例如，當(dāng)n=30時(shí)，聯(lián)合電氣公司問題均值標(biāo)準(zhǔn)誤差為730.30，當(dāng)樣本容量增加到100時(shí)，則新烽電子公司問題均值標(biāo)準(zhǔn)誤差減少到

65在的情況下，由100名新烽電子公司經(jīng)理組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本所得到樣本均值落在總體均值左右500元之間的概率。

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

66

由此，樣本均值在51300~52300元之間的概率為：0.3944+0.3944=0.7888圖7.8

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本均值的抽樣分布比較（樣本由和名聯(lián)合電氣公司經(jīng)理年薪組成）

在許多商務(wù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，決策人員還經(jīng)常要用樣本比例對(duì)總體比例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。這一過程我們用下圖來描述：

67總體比例p=？從總體中抽取容量為n的樣本

推斷

68一、樣本比例的期望值

（7-4）

69

（一）無限總體(重復(fù)抽樣)

（7-5）

(二)有限總體(不重復(fù)抽樣)(7-6)

計(jì)算.70

例如，在聯(lián)合電氣公司問題中，已經(jīng)參加了公司管理培訓(xùn)計(jì)劃的經(jīng)理所占比例是0.60，因?yàn)?/p>

71

大樣本容量的標(biāo)準(zhǔn)：

72例如，在聯(lián)合電氣公司問題中，由于

73

當(dāng)抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本并用樣本比例的值來估計(jì)總體比例p的值時(shí)，二者之間會(huì)有一定的抽樣誤差，即

74

例如，在聯(lián)合電氣公司問題中，人事部經(jīng)理想知道樣本比例在總體比例的范圍之內(nèi)的概率，即樣本比例在0.55和0.65之間的概率是多少？分析：補(bǔ)充：其他抽樣方法

抽樣組織方式是指在抽樣時(shí)對(duì)總體的加工整理形式。根據(jù)對(duì)總體的加工整理形式不同，在抽樣調(diào)查中抽樣的組織方式很多，除簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣外，還有類型抽樣、等距抽樣、整群抽樣、多階段抽樣、方便抽樣和判斷抽樣等其他抽樣方法。一、類型抽樣類型抽樣又稱分層抽樣或分類抽樣。它是先將總體的全部單按照某個(gè)標(biāo)志分成若干組，然后在各組中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式或其他方式抽取樣本單位的抽樣組織方式。[例]10人年齡資料如下。N=10n=3，推斷總體平均年齡。人：ABC

DEFG

HIJ年齡：5812

40424648

707276[簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣]（B

、H、I），（

C、D

、E

），（F

、G

、

I）結(jié)論：總體變異較大時(shí)類型抽樣。[類型抽樣]（B

、E、I），（

C、D

、H

），（A

、G

、

J）類型抽樣是應(yīng)用于總體內(nèi)各單位在被研究標(biāo)志上有明顯差別的抽樣，如研究農(nóng)作物產(chǎn)量時(shí)，耕地有平原、丘陵和山地等；研究職工的工資水平時(shí)，各行業(yè)之間有明顯的差別。類型抽樣實(shí)質(zhì)上是把統(tǒng)計(jì)分組和抽樣原理有機(jī)結(jié)合的抽樣組織方式。通過分組，可以使組中具有同質(zhì)性，組間具有差異性，然后從各組中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。這樣可以保證樣本對(duì)總體具有更高的代表性，所以計(jì)算出的抽樣誤差就比較小。類型抽樣應(yīng)掌握的主要原則是：分組時(shí)應(yīng)使組內(nèi)差異盡可能小，使組間差異盡可能大。

設(shè)全及總體有N個(gè)單位，現(xiàn)在需要抽取一個(gè)容量為n的樣本，可以將總體單位N按一定標(biāo)志排隊(duì)，然后將N劃分為n個(gè)單位相等的部分，每一部分都包含K個(gè)單位，即N/n=K。

二、等距抽樣等距抽樣又稱為機(jī)械抽樣或系統(tǒng)抽樣。它是先將總體各單位按某一標(biāo)志順序排列，然后按照固定的順序和相同的間隔來抽取樣本單位的抽樣組織方式。1、2、3、…、i、…、Ki+2Ki+(n-1)Kn在第一部分K個(gè)單位中（順序?yàn)?、2、3、…、i、…、K）隨機(jī)抽取一個(gè)單位i，而在第二部分中抽取第i+K單位。第三部分中抽取第i+2K單位……在第n部分抽取第i+(n-1)K單位，共n個(gè)單位組成一個(gè)樣本，而且每個(gè)樣本的間隔均為K，這種抽樣方法稱等距抽樣。等距抽樣的隨機(jī)性表現(xiàn)在抽取第一個(gè)樣本單位上，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)單位確定后，其余各個(gè)單位的位置也就確定了。等距抽樣可以分為無關(guān)標(biāo)志排序抽樣和有關(guān)標(biāo)志排序抽樣兩類。

無關(guān)標(biāo)志排序抽樣是指排序的標(biāo)志與被研究的標(biāo)志無關(guān)，如：觀察學(xué)生考試成績(jī)用姓氏筆劃；觀察產(chǎn)品質(zhì)量按生產(chǎn)的先后順序等。無關(guān)標(biāo)志排序可以保證抽樣的隨機(jī)性，它實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

有關(guān)標(biāo)志排序抽樣是指排序的標(biāo)志與被研究標(biāo)志相關(guān)。

在對(duì)總體各單位的變異情況有所了解的情況下，也可以采用有關(guān)標(biāo)志進(jìn)行總體單位排列，使各單位的排列順序和它的變量數(shù)值大小保持密切的關(guān)系。如：農(nóng)產(chǎn)量抽樣調(diào)查，可利用各縣或各鄉(xiāng)當(dāng)年估計(jì)畝產(chǎn)或最近三年平均畝產(chǎn)標(biāo)志排隊(duì)，抽取調(diào)查單位；又如職工家計(jì)調(diào)查，可按職工平均工資排隊(duì)，抽取調(diào)查企業(yè)或調(diào)查戶。由此可見，按有關(guān)標(biāo)志排序?qū)嵸|(zhì)上是運(yùn)用類型抽樣的一些特點(diǎn)，有利于提高樣本的代表性。但也必須注意到，等距抽樣在排序時(shí)，第一個(gè)樣本單位的位置確定后，其余單位也隨之確定，因此要避免抽樣間隔和現(xiàn)象本身的周期性節(jié)奏相重合，引起系統(tǒng)性的影響。三、整群抽樣整群抽樣又稱為分群抽樣或集團(tuán)抽樣。它是將總體劃分為若干群，然后以群為單位從中按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式或等距抽樣方式抽取部分群，對(duì)中選群中的所有單位一一進(jìn)行調(diào)查的抽樣組織方式。

ABCDEFGHIJKLNOPLHPD1、按某種標(biāo)志或要求將總體區(qū)分為若干群（R），群內(nèi)單位數(shù)（M）相等；2、采取不重復(fù)抽樣方式從R群隨機(jī)抽出r群，爾后對(duì)樣本群進(jìn)行全面調(diào)查以推斷總體?？傮w群數(shù)R樣本群數(shù)r

在大規(guī)模的抽樣調(diào)查中，如果總體單位多且分布區(qū)域廣，缺少進(jìn)行抽樣的抽樣框，或者在按經(jīng)濟(jì)效益原則不宜編制這種抽樣框的情況下，宜采用整群抽樣方式。整群抽樣中的群主要是自然形成的，如按行政區(qū)域、地理區(qū)域劃分群。整群抽樣和其他抽樣組織方式比較，在相同的條件下，抽樣誤差較大，代表性較低。在統(tǒng)計(jì)工作實(shí)踐中采用整群抽樣時(shí)，一般都要比其他抽樣方式抽樣更多的單位，借以降低抽樣誤差，提高抽樣結(jié)果的準(zhǔn)確程度。四、多階段抽樣

多階段抽樣又稱多級(jí)抽樣。它是將抽取樣本單位的過程劃分為幾個(gè)階段，然后逐階段抽取樣本單位的抽樣組織方式。

如果先將總體進(jìn)行分組，從中隨機(jī)抽出一些組，然后再?gòu)闹羞x的組中隨機(jī)抽取總體單位，稱為二階段抽樣，如整群抽樣隨機(jī)抽出群，再?gòu)娜褐须S機(jī)抽出樣本單位就是二階段抽樣。

如果將總體進(jìn)行多層次分組，然后依次在各層中隨機(jī)抽取，直到抽到總體單位，就稱為多階段抽樣，如我國(guó)農(nóng)產(chǎn)量調(diào)查就是采用多階段抽樣調(diào)查，即先從省中抽縣，