第六章 應(yīng)力狀態(tài)分析

工程力學(xué)第六章應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)度理論1第六章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論§6-1應(yīng)力狀態(tài)概述§6-2二向應(yīng)力狀態(tài)分析§6-3應(yīng)力圓及三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介§6-4廣義虎克定律與應(yīng)變能密度§6-5強(qiáng)度理論2§6-1應(yīng)力狀態(tài)概述低碳鋼鑄鐵1、問(wèn)題的提出

塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？?3脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿45o螺旋面斷開(kāi)？低碳鋼鑄鐵?4τABP5

一般性結(jié)論1）受力構(gòu)件上應(yīng)力隨點(diǎn)的位置變化而變化；2）即使在同一點(diǎn),應(yīng)力也是隨截面的方位變化而變化。過(guò)一點(diǎn)所有方位面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方位面？指明62、研究方法yxz單元體上沒(méi)有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，分別用表示，并且只有主應(yīng)力的單元體稱為主應(yīng)力單元。各邊邊長(zhǎng),,dxdydz單元體73、應(yīng)力狀態(tài)分類應(yīng)力狀態(tài)：1）單向應(yīng)力狀態(tài)(一個(gè)主應(yīng)力不等于零)2）平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)（兩個(gè)主應(yīng)力不等于零）3）空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)（三個(gè)主應(yīng)力都不等于零）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)一般來(lái)說(shuō)，過(guò)受力構(gòu)件的任意一點(diǎn)都可找到三個(gè)互相垂直的主平面，因而每點(diǎn)都有三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力

112211312231854321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例6-1、畫出如圖所示梁S截面各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單元體。9S平面5432154321123210alF例6-2、畫出如圖所示梁危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZTS1112z3xzy4321zy4321FSMZT12例6－3、分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。Dyz薄壁圓筒的橫截面面積(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為FAs'13(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對(duì)象p"yOFNFNds's"14312231例6－4、分析A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。15§6-2二向應(yīng)力狀態(tài)分析在二向應(yīng)力狀態(tài)下，已知通過(guò)一點(diǎn)的某些截面上的應(yīng)力（互相垂直的截面），確定通過(guò)這一點(diǎn)的其它斜截面上的應(yīng)力，從而確定該點(diǎn)的主平面和主應(yīng)力。1、斜截面上應(yīng)力sxsysysxsatyxtxytaxyneff′e′a16正負(fù)號(hào)規(guī)定拉（+），壓（）對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。由x

軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時(shí)為正；反之為負(fù)。：：：正應(yīng)力的角標(biāo)表示作用面的法線方向第一個(gè)角標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向17對(duì)隔離體列平衡方程①利用三角函數(shù)公式：且有，化簡(jiǎn)得：②18任意斜截面應(yīng)力公式都是a的函數(shù)?？梢?jiàn)，19確定正應(yīng)力極值：設(shè)a＝a0

時(shí)，上式值為零，即：2、正應(yīng)力極值和方位即α＝α0的截面，正應(yīng)力取極值，切應(yīng)力為零。20此截面的位置可由下式確定：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：s1

s2

s3

確定了兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大和最小正應(yīng)力所在平面。正應(yīng)力極值：214、兩個(gè)導(dǎo)出公式：3最大剪應(yīng)力22例6-5、單元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖，求圖示斜截面上的應(yīng)力和smax、smin、tmax、tmin及主平面和最大剪應(yīng)力所在平面的方位。解：1）取坐標(biāo)軸2）已知條件命名3）計(jì)算

s30°，t

30°xyn234）計(jì)算smax、smin及主平面方位角24100MPax80MPa40MPay12°255）計(jì)算tmax、tmin及其所在平面的方位角。26二向應(yīng)力狀態(tài)分析的方法計(jì)算任意斜面上的應(yīng)力、確定主應(yīng)力及主平面等。1)畫出應(yīng)力主單元體（若已知單元體的應(yīng)力狀態(tài)則省去這一步）；2)取坐標(biāo)軸，并寫出已知應(yīng)力；坐標(biāo)軸應(yīng)與應(yīng)力單元體的邊垂直，x軸與y軸可任意指定，可默認(rèn)水平方向?yàn)閤軸，垂直方向?yàn)閥軸。3)利用相關(guān)公式，計(jì)算出指定斜面的應(yīng)力，最大、最小正應(yīng)力（主應(yīng)力）及其對(duì)應(yīng)的角度，最大、最小剪應(yīng)力；4)確定主平面的方位；畫出主應(yīng)力單元體，則剪應(yīng)力共同指向的平面為最大主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的平面。27例6－6、求主應(yīng)力、主平面并畫出主應(yīng)力單元體；202030解：1）取坐標(biāo)軸xy已知條件2)計(jì)算主應(yīng)力及其對(duì)應(yīng)的角度28主平面方位角主應(yīng)力單元體202030xy19°20′29

例6-7、兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試求出截面C上a,b兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC30(1)計(jì)算支反力,并畫內(nèi)力圖MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a點(diǎn)的應(yīng)力單元體FAFBFB=50kNFA

=200kN31(4)求a點(diǎn)主應(yīng)力aaaaa32(4)橫截面C上b點(diǎn)的主應(yīng)力b點(diǎn)的單元體如圖所示bbbb點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為33例6－8、兩相交于一點(diǎn)處的斜截面上的應(yīng)力如圖，求該點(diǎn)的主應(yīng)力。解：取應(yīng)力單元體sx？34一、應(yīng)力圓將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為把上面兩式等號(hào)兩邊平方，然后相加便可消去，得§6-3應(yīng)力圓及三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介35

因?yàn)閤，y，xy

皆為已知量，所以上式是一個(gè)以，為變量的圓周方程。圓心的坐標(biāo)：圓的半徑：此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓,或稱為莫爾圓應(yīng)力圓上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。36(1)建s–t坐標(biāo)系,選定比例尺o二、應(yīng)力圓作法及對(duì)應(yīng)關(guān)系1、步驟xyxxyxxyyy37Dxyo(2)以x面上的正應(yīng)力值和切應(yīng)力為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，描點(diǎn)DxAyByxD′(4)連接DD′兩點(diǎn)的直線與軸相交于C點(diǎn)(5)以C為圓心,CD為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C(3)以y面上的正應(yīng)力值和切應(yīng)力為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，描點(diǎn)D′38(1)該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

(2)該圓半徑為2、證明393、應(yīng)力圓與單元體之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系1）應(yīng)力圓上的半徑對(duì)應(yīng)著單元體上某一截面；2）半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面旋轉(zhuǎn)方向一致，半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是截面轉(zhuǎn)過(guò)角度的兩倍。與半徑對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。40caA1）應(yīng)力圓上的半徑對(duì)應(yīng)著單元體上某一截面與半徑對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。41CyxaAa'A'q2q2）半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面旋轉(zhuǎn)方向一致，半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是截面轉(zhuǎn)過(guò)角度的兩倍42三、應(yīng)力圓的應(yīng)用1、求單元體上任一截面上的應(yīng)力

從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2得到半徑CE.圓周上E點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力

和切應(yīng)力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn432、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1

，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A14420DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時(shí)針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)0

（負(fù)值）即到1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線0

確定后，1

對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定453、求最大切應(yīng)力G1和G2

兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2最大、最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑46o例6-9、應(yīng)力單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在=30°和=-40°兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解:(1)選好比例尺畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出

D點(diǎn);ACBOB

=y=-0.4和，BD′=yx=0.2,定出

D′點(diǎn).(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。0.547將半徑CD

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到半徑CE,E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑CD順時(shí)針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa48只需知道過(guò)一點(diǎn)任意兩個(gè)面上的應(yīng)力，就可畫出應(yīng)力圓進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析用圖解法分析一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的方法：1、畫應(yīng)力圓1）分別以兩個(gè)面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在s-t坐標(biāo)系中描出兩點(diǎn)；2）若兩平面相互垂直，則對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的連線即為直徑，連線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)為圓心；3）若兩平面不相互垂直，對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的連線不垂直于橫坐標(biāo)，則該連線的垂直平分線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)為圓心；4）若兩平面不相互垂直，則根據(jù)兩平面夾角的具體情況確定圓心的位置；492、通過(guò)應(yīng)力圓進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析1）求斜截面上的應(yīng)力值根據(jù)斜截面與應(yīng)力已知平面的夾角a，從代表已知平面的半徑旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的2a角，得到對(duì)應(yīng)于斜截面的半徑，與半徑相應(yīng)的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)就是斜截面上的應(yīng)力值。2）求主應(yīng)力及主平面方位角應(yīng)力圓與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于主平面，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是主應(yīng)力，在橫坐標(biāo)上從右到左依次為s1，s2，s3；另外，根據(jù)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)及兩倍角關(guān)系，即可確定主平面方位角。3）求最大、最小切應(yīng)力最大、最小切應(yīng)力的絕對(duì)值等于應(yīng)力圓的半徑50例6－10、已知受力構(gòu)件的A點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，過(guò)A點(diǎn)兩斜截面上的應(yīng)力圓如圖，試用應(yīng)力圓求該點(diǎn)的主應(yīng)力、主平面和最大剪應(yīng)力。解：100作應(yīng)力圓∴從n1順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)180即為最大主應(yīng)力的外法線方向。主平面位置如圖。o從應(yīng)力圓上量得：D1D2CAB51解：可得應(yīng)力圓上兩點(diǎn)：CD1與CD2的夾角為1200

，由此可畫出應(yīng)力圓。由應(yīng)力圓可計(jì)算出：用圖解法解例6－7、兩相交于一點(diǎn)處的斜截面上的應(yīng)力如圖，試用應(yīng)力圓求該點(diǎn)的主應(yīng)力，并畫出主應(yīng)力單元體。sotD2D1120o30oCAB52yxz53四、三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介

對(duì)三向應(yīng)力狀態(tài)的要求三個(gè)主應(yīng)力均已知；三個(gè)主應(yīng)力中至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向是已知的；定義三向應(yīng)力狀態(tài)——三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)54szsxsytxytyx至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向已知sytxytyxsxsz可先化為平面應(yīng)力狀態(tài)求出另兩對(duì)面上的主應(yīng)力和主方位，再按三個(gè)主應(yīng)力均已知的情況考慮。sata55tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之應(yīng)力與s1無(wú)關(guān)，于是由s2、s3可作出應(yīng)力圓I平行于s2的方向面－其上之應(yīng)力與s2無(wú)關(guān)，于是由s1、s3可作出應(yīng)力圓II平行于s3的方向面－其上之應(yīng)力與s3無(wú)關(guān)，于是由s1、s2可作出應(yīng)力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1三個(gè)主應(yīng)力均已知的情況56zpypxpIIIIIIs1s2s3stt't'''t''tmax=s1s2s35720030050otmax例6－11、作圖示單元體的應(yīng)力圓并在圖中標(biāo)出最大剪應(yīng)力。58(1)(2)排序確定(3)平面應(yīng)力狀態(tài)特點(diǎn)：其中一個(gè)主應(yīng)力等于零的三向應(yīng)力狀態(tài)59例6-12、單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值。解:40MPaxyz20MPa20MPa20MPa該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力204020xy20sata60由x，xy

定出D

點(diǎn)由y，yx

定出D′

點(diǎn)以DD′為直徑作應(yīng)力圓D′ODC13

3=-26MPa該單元體的三個(gè)主應(yīng)力

1=46MPa

2=20MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓A1A2261

3=-26MPa該單元體的三個(gè)主應(yīng)力

1=46MPa

2=20MPa解法2：解析法62§6-4廣義虎克定律與應(yīng)變能密度1、簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下虎克定律正應(yīng)力僅引起線應(yīng)變(正應(yīng)變)剪應(yīng)力僅引起自身平面內(nèi)的剪應(yīng)變應(yīng)用條件：p，小變形和各向同性材料。xzyAsxsxxzyAtxy632、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律+64++65某點(diǎn)在某方向上的線應(yīng)變與該點(diǎn)三個(gè)互相垂直方向的正應(yīng)力有關(guān)。三個(gè)互相垂直的平面，各平面內(nèi)的剪應(yīng)變僅與自身平面內(nèi)的剪應(yīng)力有關(guān)。66若單元體是主單元體(即各面上的應(yīng)力為主應(yīng)力），則各方向的應(yīng)變即為主應(yīng)變，其大小為：各平面的剪應(yīng)變?yōu)榱?7

對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)(假設(shè)z

=0，xz=0，yz=0)xyxyyx68例6－13、測(cè)得A點(diǎn)處的x=400×10-6，y=-120×10-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A點(diǎn)在x和y方向上的正應(yīng)力。解：取應(yīng)力單元體平面應(yīng)力狀態(tài)解得：PCBAxxyyA能否求出任一橫截面任一點(diǎn)上的正應(yīng)力及切應(yīng)力、變形、強(qiáng)度校核。解：取應(yīng)力單元體平面應(yīng)力狀態(tài)解得：69例6-14、支梁由18號(hào)工字鋼制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3。求：A點(diǎn)沿00，450，900

方向的線應(yīng)變h/4AAA0.50.50.25FA0°45°90°70解：

zAh/4AAA71AA=50.8A=68.872例6-15、邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊，無(wú)間隙地放入體積較大，變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中,如圖所示.已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比m=0.34，當(dāng)受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，求該銅塊的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力.aaaFzyxzxy解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力變形條件為73解得銅塊的主應(yīng)力為最大切應(yīng)力74討論xyz“2”75應(yīng)變能密度微元應(yīng)變能dydxdz76由功能原理，得：所以變形比能：77形狀改變比能體積改變比能78§6-6強(qiáng)度理論目的：建立危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)及強(qiáng)度條件拉壓變形時(shí)材料的強(qiáng)度失效判據(jù)及強(qiáng)度條件失效判據(jù)強(qiáng)度條件失效形式塑性材料脆性材料斷裂屈服關(guān)鍵是找出極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）如何找出極限應(yīng)力？通過(guò)材料的拉壓實(shí)驗(yàn)79如何建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)及強(qiáng)度條件？1、確定失效形式塑性材料屈服脆性材料斷裂2、假定失效的主要原因強(qiáng)度理論:關(guān)于材料強(qiáng)度失效主要原因的假說(shuō)材料無(wú)論處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)還是處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，引起同一形式失效的因素是相同的。通過(guò)材料的相應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)失效因素的極限值與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。通過(guò)材料的軸向拉伸實(shí)驗(yàn)找出失效因素的極限值3、確定引起失效因素的極限值80斷裂準(zhǔn)則(脆性材料)最大拉應(yīng)力理論---第一強(qiáng)度理論無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大拉應(yīng)力達(dá)到只與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)強(qiáng)度條件s1s3s281最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論---第二強(qiáng)度理論無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到只與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)強(qiáng)度條件s1s3s282屈服準(zhǔn)則(塑性材料)最大切應(yīng)力準(zhǔn)則----第三強(qiáng)度理論無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于最大切應(yīng)力達(dá)到了只與材料性能有關(guān)的極限值。強(qiáng)度條件s1s3s2失效判據(jù)83形狀改變比能準(zhǔn)則----第四強(qiáng)度理論無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的形狀改變比能達(dá)到某一極限值。s1s3s284失效判據(jù)強(qiáng)度條件85把各種強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件寫成統(tǒng)一形式r稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力。861、適用范圍(2)塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論；(3)在三向拉應(yīng)力相近時(shí)，無(wú)論是塑性還是脆性都將以斷裂的形式失效，故選用第一或第二強(qiáng)度理論；各種強(qiáng)度理論的適