層次分析法及模糊綜合評價建模方法

層次分析法及模糊綜合評價建模方法第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造判斷矩陣用相互比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一相互比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日3層次分析法（AHP）求解流程圖建立層次結(jié)構(gòu)分析模型構(gòu)造判斷矩陣層次單排序及其一致性檢驗層次總排序的一致性檢驗層次總排序第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日二.層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日5整個層次結(jié)構(gòu)分析模型可以分成三層：

最高層(目的層)——合理使用利潤，促進企業(yè)發(fā)展。

中間層

(各種使用企業(yè)留成利潤方案所應(yīng)當考慮的準則)——進一步調(diào)動廣大職工勞動積極性，大力提高企業(yè)技術(shù)水平和盡力改善職工物質(zhì)文化生活。

最低層（所考慮的五種措施）—選擇最優(yōu)方案。這種層次結(jié)構(gòu)分析模型可用下圖所示。第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日6合理使用企業(yè)利潤促進企業(yè)發(fā)展調(diào)動職工勞動積極性B1提高企業(yè)技術(shù)水平B2改善職工物質(zhì)文化生活B3發(fā)獎金S1擴大集體福利事業(yè)S2辦職工業(yè)余技校S3建圖書館俱樂部文體工隊S4引進新技術(shù)設(shè)備S5目標（O）層準則（C）層措施層(P)第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？

當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互矩陣：設(shè)，若元素滿足一致矩陣：設(shè)為一個正互矩陣，并且滿足第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日一致矩陣性質(zhì)：設(shè)，則有(1)(2)A的每一行(列)元素均是第一行(列)相應(yīng)元素的正倍數(shù)，并且rank(A)=1(3)A的最大特征值，其余的特征值均為0.(4)若對應(yīng)的特征向量為，則第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根,是A為一致陣的充要條件.

正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標定義合理第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日1）將A的每一列向量歸一化到得2.

正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——和法的步驟如下：2）對按行求和得4）計算最大特征值3）將歸一化得，則為近似特征向量；第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日列向量歸一化歸一化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010按行求和第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)2第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日18關(guān)于如何確定成對比較矩陣

中元素的值,Saaty等建議試用1~9尺度，即的取值范圍是1,2，…,9以及倒數(shù)是1,1\2,…,1\9,判斷矩陣的元素一般采用1~9及其倒數(shù)的標度方法。標度含義135792，4，6，8倒數(shù)Ci與Cj的影響相同Ci比Cj的影響稍強Ci比Cj的影響強Ci比Cj的影響明顯強Ci比Cj的影響絕對強Ci與Cj的影響之比在上述兩個相鄰等級之間若因素i與j比較得判斷,則因素j與i

比較的判斷為Cji=1/Cij

第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日19當CR<0.1時，層次單排序的結(jié)果才認為是滿意的，此時我們用A的最大特征值對應(yīng)的歸一化的特征向量作為比較矩陣的權(quán)重向量。當CR>=0.1時，必須重新調(diào)整成對比較矩陣A，直至具有滿意的一致性。判斷矩陣階數(shù)n12345678910RI000.580.91.121.241.321.411.451.49一致性指標隨機一致性指標一致性比率第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日3.

特征向量作為權(quán)向量——成對比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量小（對所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

按不同準則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日

不考慮支配元素數(shù)目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級安排教學(xué)、科研靠個人積極性考察一個特例：第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數(shù)為殘缺元素輔助矩陣第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日6.

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)

遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例第二十五頁，