2022北京豐臺區(qū)第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022北京豐臺區(qū)第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示是一個幾體體的三視圖，其側(cè)視圖是一個邊長為的等邊三角形，俯視圖是由兩個等邊三角形拼成的菱形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.參考答案：A略2.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將y=sinx的圖象A．向左平移個長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變B．向左平移至個長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變參考答案：A3.已知，且，則的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知約束條件為，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在交點(diǎn)（8，10）處取得最小值，則k的取值范圍為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在交點(diǎn)（8，10）處取得最小值即可求得k的取值范圍．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（8，10），化目標(biāo)函數(shù)z=kx+y為y=﹣kx+z，∵目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在交點(diǎn)（8，10）處取得最小值，∴﹣k＞2，則k＜﹣2．∴k的取值范圍為（﹣∞，﹣2）．故選：C．5.已知雙曲線的焦距為，拋物線與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如右圖，給出下列命題：①是奇函數(shù)；

②的值域是；③關(guān)于的方程必有實(shí)根；④關(guān)于的不等式的解集非空.其中正確命題的個數(shù)為(

)A．4

B．3

C．2

D．1

參考答案：B略7.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像

（

）

A．向右平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：A略8.（5分）已知復(fù)數(shù)z1=1﹣i，z2=2+i，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限參考答案：D∵z1=1﹣i，z2=2+i，∴=（1﹣i）2（2+i）=（1﹣2i+i2）（2+i）=2﹣4i，因?yàn)辄c(diǎn)（2，﹣4）位于第四象限，故對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限，故選D9.已知命題q：?x∈R，x2＞0，則（）A．命題￢q：?x∈R，x2≤0為假命題 B．命題￢q：?x∈R，x2≤0為真命題C．命題￢q：?x∈R，x2≤0為假命題 D．命題￢q：?x∈R，x2≤0為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】本題中的命題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，依據(jù)全稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵命題q：?x∈R，x2＞0，∴命題￢q：?x∈R，x2≤0，為真命題．故選D．10.已知命題：函數(shù)在R上為增函數(shù)，：函數(shù)在R上為減函數(shù)，則在命題：，：；：；：；其中為真命題的是：（

）

A．和

B.和

C、

和

D、和參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實(shí)數(shù)x，y滿足，若2x﹣y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣]【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先畫出可行域，由2x﹣y≥m恒成立，即求2x﹣y的最小值，設(shè)z=2x﹣y，利用其幾何意義求最小值【解答】解：x，y滿足的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=2x﹣y，則y=2x﹣z，當(dāng)經(jīng)過圖中的A時z最小，由，得A（）．所以z的最小值為2×﹣=﹣所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣]；故答案為：（﹣∞，﹣]．12.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其前項(xiàng)和記為，又設(shè)，的所有非空子集中的最小元素的和為，則的最小正整數(shù)為__________．參考答案：45略13.已知與之間的一組數(shù)據(jù)如右圖所示，則與的回歸直線方程必過定點(diǎn)

.0123135-a7+a

參考答案：（1.5,4）略14.從1到10這十個自然數(shù)中隨機(jī)取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另兩數(shù)之和的概率是

.參考答案：略15.函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則

參考答案：16.已知數(shù)列{an}滿足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*，則a2013=

；a2014=

．參考答案：1;0.考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：根據(jù)數(shù)列之間的遞推關(guān)系即可得到結(jié)論．解答： 解：∵2013=504×4﹣3，滿足a4n﹣3=1∴a2013=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，滿足a4n﹣1=0∴a2014=a1007=0，故答案為：1；

0．點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式在解題中的合理運(yùn)用，根據(jù)遞推關(guān)系推導(dǎo)項(xiàng)之間的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵．17.已知某次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，則114分以上的成績所占的百分比為

（附：,)參考答案：由已知得，故三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（1）曲線f（x）在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)x≥1時，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）根據(jù)題意，對f（x）求導(dǎo)，可得f′（x）=ex﹣1+，進(jìn)而可得f′（1）的值，由互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，將f（x）≥g（x）轉(zhuǎn)化為[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，可以設(shè)h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，對其求導(dǎo)可得h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]，（x≥1），再設(shè)k（x）=ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1，求出k（x）的導(dǎo)數(shù)．分情況討論h（x）≥0是否成立，綜合可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，f（x）=ex﹣1﹣，則其導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex﹣1+，則有f′（1）=1+，若曲線f（x）在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0垂直，則有f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a=；（2）根據(jù)題意，由f（x）≥g（x）可得：f（x）﹣g（x）≥0，即（ex﹣1﹣）﹣[ax2+x﹣（a﹣1）]=[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，設(shè)h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，（x≥1），若f（x）≥g（x），必有h（x）≥0，h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]，（x≥1），設(shè)k（x）=ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1，則k′（x）=ex﹣1﹣a，①、當(dāng)a≤1時，k′（x）≥0對x≥1成立，又由k（1）=0，故k（x）≥0，即h′（x）≥0成立，又h（1）=0，故有h（x）≥0；②、當(dāng)a＞1時，由k′（x）=0，解可得x=1+lna＞1，當(dāng)x∈（1，1+lna）時，k′（x）＜0，又由k（1）=0，故k（x）＜0，即h′（x）＜0成立，又h（1）=0，故h（x）＜0，不合題意；綜上可得：a的取值范圍是（﹣∞，1]．19.某教學(xué)研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次使用北師大數(shù)學(xué)教材研討會，共邀請50名一線教師參加，各校邀請教師人數(shù)如下表所示：學(xué)校ABCD人數(shù)2015510（Ⅰ）從50名教師中隨機(jī)選出2名，求2人來自同一學(xué)校的概率；（Ⅱ）若會上從A，B兩校隨機(jī)選出2名教師發(fā)言，設(shè)來自A校的教師人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（I）從50名教師隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為

……3分選出2人來自同一校的方法數(shù)為故2人來自同一校的概率為：

……6分（II）∵，，．……9分012P∴的分布列為……10分∴．

……12分20.（本小題滿分13分）定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．(1)求函數(shù)＝的解析式；(2)設(shè)g(x)＝，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，e]，使<，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．.參考答案：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函數(shù)得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分(2)由已知得：存在實(shí)數(shù)x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分設(shè)M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，則M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分設(shè)H(x)＝lnx－3x2＋2，則H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上遞減，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3于是有m>2e－e3為所求．……………13分21.已知函數(shù)。(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)把的圖像向右平移個單位后，在是增函數(shù)，當(dāng)最小時，求的值.參考答案：解：．（I)

…4分∴

…6分(II)

…8分

單調(diào)遞增區(qū)間為周期為，則，，

…10分當(dāng)最小時，。

…12分22.已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．（1）當(dāng)a＝b＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；（2）當(dāng)b＝2a＋1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）當(dāng)a＝1，b＞3時，記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的兩個零點(diǎn)是x1和x2(x1＜x2)．求證：f(x1)－f(x2)＞－ln2．參考答案：（1）2x－y－2＝0；（2）當(dāng)a≤0時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．0＜a＜時，f(x)在區(qū)間(0，1)和區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減．當(dāng)a＝時，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．a(chǎn)＞時，f(x)在區(qū)間(0，)和區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減．（3）證明見解析．試題分析：（1）求切線方程，可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，切線方程為，化簡即可；（2）研究單調(diào)性，同樣求出導(dǎo)函數(shù)＝，x＞0．然后研究的正負(fù)，實(shí)質(zhì)只要研究函數(shù)式的正負(fù)，必須分類討論，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)是：，，在時，按，，分類；（3）要證明此不等式，首先要考察的范圍與關(guān)系，由已知求出，因此是方程的兩根，，粗略地估計(jì)一下，由于，因此有，由此可知f(x)在上為減函數(shù)，從而有f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)，這里，正好可證明題設(shè)結(jié)論．當(dāng)a＝時，因?yàn)閒′(x)≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號），所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a＞時，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在區(qū)間(0，)和區(qū)間(1，＋∞)上