2022年湖南省長(zhǎng)沙市望岳中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2022年湖南省長(zhǎng)沙市望岳中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在(1,2)上有最大值無最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：C分析：函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在之間，一階導(dǎo)函數(shù)有根在，且左側(cè)函數(shù)值小于0，右側(cè)函數(shù)值大于0，列不等式求解詳解：函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在之間，設(shè)的根為，極大值點(diǎn)在處取得則解得，故選C。點(diǎn)睛：極值轉(zhuǎn)化為最值的性質(zhì)：1、若上有唯一的極小值，且無極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無極小值，那么極大值為的最大值；2.兩人約定在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間相見，且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，則兩人在約定時(shí)間內(nèi)能相見的概率是

（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略3.若，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.設(shè)變量x，y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為 ()．A．6

B．7

C．8

D．23參考答案：B略5.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到，，，都是質(zhì)數(shù)，于是他提出猜想：任何形如N*）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想.半個(gè)世紀(jì)之后，善于發(fā)現(xiàn)的歐拉發(fā)現(xiàn)第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜想，這一案例說明

A．歸納推理，結(jié)果一定不正確

B．歸納推理，結(jié)果不一定正確

C．類比推理，結(jié)果一定不正確

C．類比推理，結(jié)果不一定正確參考答案：B6.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為

(

)A.

B.

C.或

D.或參考答案：D7.對(duì)任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍．【分析】通過參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問題轉(zhuǎn)化為2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，記g（x）=，二次求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性可知當(dāng)x=4時(shí)g（x）取得最小值g（4）=1，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：設(shè)f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（當(dāng)且僅當(dāng)ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0時(shí)，取等號(hào)），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又∵h(yuǎn)（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根為4，∴當(dāng)x＞4時(shí)g（x）遞增，當(dāng)0＜x＜4時(shí)g（x）遞減，∴當(dāng)x=4時(shí)，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（當(dāng)x=2，y=0時(shí)，a取得最大值），故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．8.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在第一象限，且在橢圓C上，點(diǎn)在第一象限且在橢圓C上，滿足,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：A略9.函數(shù)y=的定義域?yàn)锳，全集為R，則?RA為(

)A．（，1]B．∪（1，+∞）D．（﹣∞，]∪參考答案：C10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．（3x）′=x?3x﹣1B．（2ex）′=2ex（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）C．（x2）′=2xD．（）′=參考答案：B【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)即可．【解答】解：（3x）′=ln3?3x，故A錯(cuò)誤，（2ex）′=2ex，正確，（x2）′=2x﹣，故C錯(cuò)誤，（）′=，故D錯(cuò)誤，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面積是______________.參考答案：1略12.已知為等差數(shù)列，，，為其前n項(xiàng)和，則使達(dá)到最大值的n等于

.參考答案：613.若實(shí)數(shù)x，y滿足(x＋5)2＋(y－12)2＝196，則x2＋y2的最小值是________．參考答案：114.某班有名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)該班學(xué)生成績(jī)?cè)谝陨系娜藬?shù)為 人。參考答案：15.在中，已知，則

．參考答案：略16.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為290，偶數(shù)項(xiàng)和為261，則參考答案：29略17.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f[f（﹣1）]=_；若函數(shù)f（x）與y=k存在兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：﹣2；（0，1]考點(diǎn)： 函數(shù)的圖象；函數(shù)的值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用分段函數(shù)求解函數(shù)值即可．解答： 解：函數(shù)f（x）=，則f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；函數(shù)f（x）與y=k的圖象為：兩個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍：0＜k≤1．故答案為：﹣2；（0，1]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的值的求法，函數(shù)的圖象以及函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知不等式ax2－3x＋6＞4的D解集為{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.參考答案：(1)因?yàn)椴坏仁絘x2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，b＞1且a＞0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得4分(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.5分因?yàn)閏＞2，所以不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|2＜x＜c}.19.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=－2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若對(duì)于[－2,2]上任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值；（3）若過點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1）由題意，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解；（3）由題意，若過點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，等價(jià)與函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線的斜率這一方程有3解．解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．根據(jù)題意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．列表如下：所以當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．因此對(duì)于[﹣2，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值為4．（3）因?yàn)辄c(diǎn)M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，所以可設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0）．則y0=x03﹣3x0．因?yàn)閒'（x0）=3x02﹣3，所以切線的斜率為3x02﹣3．則3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．因?yàn)檫^點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．所以函數(shù)g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)．則g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2．當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；所以，函數(shù)g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，有方程與函數(shù)的關(guān)系知要滿足題意必須滿足：，即，解得﹣6＜m＜2．20.如圖，已知圓C的方程為：x2+y2+x﹣6y+m=0，直線l的方程為：x+2y﹣3=0．（1）求m的取值范圍；（2）若圓與直線l交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，若為圓，須有，解出即可；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得OP、OQ所在直線互相垂直，即kOP?kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根據(jù)P、Q在直線l上可變?yōu)殛P(guān)于y1、y2的表達(dá)式，聯(lián)立直線方程、圓的方程，消掉x后得關(guān)于y的二次方程，將韋達(dá)定理代入上述表達(dá)式可得m的方程，解出即可；【解答】解：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，依題意得：，即m＜，故m的取值范圍為（﹣∞，）；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則kOP?kOQ=﹣1，即，所以x1x2+y1y2=0，又因?yàn)閤1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，將直線l的方程：x=3﹣2y代入圓的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，所以y1+y2=4，，代入①式得：，解得m=3，故實(shí)數(shù)m的值為3．21.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線的方程.參考答案：(1)設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，∴，∴圓的方程為.(2)①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，連接，則，∵，∴，則由得，∴直線為：，故直線的方程為或.22.如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別