廣東省茂名市廣南中學2022年度高二數(shù)學文期末試卷含解析

廣東省茂名市廣南中學2022年度高二數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.不等式組表示的平面區(qū)域是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】分別畫出約束條件下的可行域即可求解【詳解】由題意得，表示直線及其左下方區(qū)域，表示直線及其左上方區(qū)域，因此表示平面區(qū)域是選項C【點睛】本題考查已知約束條件下求可行域，屬于基礎題2.已知函數(shù)在區(qū)間(－1,1)內存在極值點，且恰有唯一整數(shù)解使得，則a的取值范圍是（

）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，）A. B.C. D.參考答案：D【分析】對函數(shù)求導，函數(shù)在區(qū)間內存在極值點等價于導數(shù)在區(qū)間有根，可求出的大范圍，然后研究出函數(shù)的單調區(qū)間，畫出函數(shù)的大致圖像，結合圖像分析恰有唯一整數(shù)解使得的條件，即可求出實數(shù)的具體范圍。【詳解】由題可得：要使函數(shù)在區(qū)間內存在極值點，則有解，即，且，解得：，令，解得：，則函數(shù)的單調增區(qū)間為，令，解得：，則函數(shù)的單調減區(qū)間為由題可得（1）

當，即時，函數(shù)的大致圖像如圖：所以要使函數(shù)恰有唯一整數(shù)解使得，則，解得：，（2）當，即時，函數(shù)大致圖像如圖：所以要使函數(shù)恰有唯一整數(shù)解使得，則，解得：，綜上所述：，故答案選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)極值點存在的問題，以及函數(shù)值的取值范圍，研究此類題的關鍵是借助導數(shù)研究函數(shù)單調性，畫出函數(shù)大致圖像，結合圖像分析問題，考查學生轉化的能力以及數(shù)形結合的思想，屬于中檔題。3.點P（x,y）在以A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2,0)為頂點的△ABC內部運動（不包含邊界），則的取值范圍是 (A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D4.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為棱長為1的正三角形，側棱AA1⊥底面ABC，點D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα的值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】用空間向量求直線與平面的夾角．【分析】建立空間直角坐標系，求出平面AA1C1C的一個法向量是，和，計算cos＜，＞即可求解sinα，【解答】解：如圖，建立坐標系，易求點D（，，1），平面AA1C1C的一個法向量是=（1，0，0），所以cos＜，＞==，即sinα=．故選D．【點評】本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，考查計算能力，是基礎題．5.兩個圓C1：x2+y2+2x+y﹣2=0與C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切線有且僅有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條參考答案：D【考點】兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定．【分析】先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關系，即可判定公切線的條數(shù)．【解答】解：兩圓的圓心分別是（﹣1，﹣），（2，1），半徑分別是，1；兩圓圓心距離：=＞，說明兩圓相離，因而公切線有四條．故選：D．6.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且當x∈(－∞，1)時，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)為f(x)的導數(shù)).設a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，則a，b，c三者的大小關系是A.a<b<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a參考答案：B由f(x)＝f(2－x)可得，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(3)＝f(－1).又當x∈(－∞，1)時，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，則f(x)在(－∞，1)上單調遞增.所以f(－1)<f(0)<f.即c<a<b，故選B.7.若橢圓2kx2+ky2=1的一個焦點是（0，-4），則k的值為

（

）A. B.8 C. D.32參考答案：A8.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點位于復平面內的（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D由題得,所以復數(shù)z對應的點為（2，-1），所以復數(shù)z對應的點在第四象限.故選D.

9.曲線在點處的切線方程為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A10.如圖，甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則乙樓的高是

（

）A．

B．

C．40

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2．，A1關于直線bx+ay=0的對稱點在圓（x+a）2+y2=a2上，則橢圓的離心率為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由已知求出橢圓左頂點關于直線bx+ay=0的對稱點，代入圓（x+a）2+y2=a2整理得答案．【解答】解：由題意可知，A1（﹣a，0），設A1關于直線bx+ay=0的對稱點為（x0，y0），則，解得：．代入（x+a）2+y2=a2，得，整理得：b4+4a2b2=（a2+b2）2，即a2=2b2=2（a2﹣c2）=2a2﹣2c2，∴．故答案為：．12.函數(shù)的增區(qū)間是____________．參考答案：

∵2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1.∵二次函數(shù)y＝2x2－3x＋1的減區(qū)間是，∴f(x)的增區(qū)間是.13.,則參考答案：114..二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）參考答案：60【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求解.【詳解】有題意可得，二項式展開式的通項為：令可得，此時.【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查通項公式，考查計算能力，屬于基礎題.15.“楊輝三角”是我國數(shù)學史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示，去除所有為1的項，依此構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前46項和為_____.參考答案：2037【分析】根據(jù)“楊輝三角”的特點可知次二項式的二項式系數(shù)對應“楊輝三角”中的第行，從而得到第行去掉所有為1的項的各項之和為：；根據(jù)每一行去掉所有為的項的數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列的特點可求得至第11行結束，數(shù)列共有45項，則第46項為，從而加和可得結果.【詳解】由題意可知，次二項式的二項式系數(shù)對應“楊輝三角”中的第行則“楊輝三角”第行各項之和為：第行去掉所有為的項的各項之和為：從第行開始每一行去掉所有為的項的數(shù)字個數(shù)為：則：，即至第行結束，數(shù)列共有項第46項為第12行第1個不為1的數(shù)，即為：前46項的和為：本題正確結果：2037【點睛】本題考查數(shù)列求和的知識，關鍵是能夠根據(jù)“楊輝三角”的特征，結合二項式定理、等差等比數(shù)列求和的方法來進行轉化求解，對于學生分析問題和總結歸納的能力有一定的要求，屬于較難題.16.設函數(shù)f（x）=+xlnx，g（x）=﹣4x3+3x，對任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a≥1

【考點】函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】t∈[，2]時，g（t）的最大值為1，若對任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，則在[，2]上+xlnx≥1恒成立，構造函數(shù)h（x）=﹣x2lnx+x，求其最大值，可得答案．【解答】解∵在[，2]上g′（x）=﹣12x2+3≤0恒成立，∴當x=時，g（x）=﹣4x3+3x取最大值1，∵對任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，∴在[，2]上+xlnx≥1恒成立，即在[，2]上a≥﹣x2lnx+x恒成立，令h（x）=﹣x2lnx+x，則h′（x）=﹣x（2lnx+1）+1，h′′（x）=﹣2lnx﹣3，∵在[，2]上h′′（x）＜0恒成立，∴h′（x）在[，2]上為減函數(shù)，∵當x=1時，h′（x）=0，故當x=1時，h（x）取最大值1，故a≥1，故答案為：a≥1【點評】本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔．17.函數(shù)f（x）=，則不等式xf（x）﹣x≤2的解集為參考答案：[﹣1，2]【考點】其他不等式的解法；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】計算題；分類討論；轉化思想．【分析】對x＞1和x≤1分別利用函數(shù)表達式，求出不等式的解集，然后取并集．【解答】解：當x＞1時，不等式xf（x）﹣x≤2化為x2﹣x≤2即：﹣1≤x≤2，所以1＜x≤2；當x≤1時，不等式xf（x）﹣x≤2化為﹣2x≤2可得：﹣1≤x≤1綜上不等式xf（x）﹣x≤2的解集為：[﹣1，2]故答案為：[﹣1，2]【點評】本題考查不等式的解法，考查轉化思想，分類討論思想，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等式：，，，…，由此歸納出對任意角度θ都成立的一個等式，并予以證明．參考答案：歸納：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sinθcos(θ＋30°)＝.

．．．．．．．．5分證明如下：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sinθcos(θ＋30°)＝sin2θ＋(cosθ－sinθ)2＋sinθ(cosθ－sinθ)＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ－sin2θ＝.

．．．．．．．．12分19.已知數(shù)列，…的前n項和為Sn.（1）計算的值，根據(jù)計算結果，猜想Sn的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的Sn表達式.參考答案：（I）

猜想

（II）①當時，左邊=，右邊=，猜想成立．

②假設當時猜想成立，即，那么，

所以，當時猜想也成立．

根據(jù)①②可知，猜想對任何都成立．

20.（本小題滿分12分）已知，，且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解:設

的解集為

，的解集為，

……………4分是充分不必要條件，是的必要不充分條件，

………………6分，

，又，

………………10分

.

………………12分21.已知命題p：?x∈[1，]，x2﹣a≥0，命題q：?x0∈R，x02﹣ax0+2﹣a=0，若命題“p∧q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】復合命題的真假．【分析】命題p：?x∈[1，]，x2﹣a≥0，可得a≤（x2）min．命題q：?x0∈R，x