高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理二項式定理-參賽作品

課題：1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)一、【學習目標】知識目標1．利用二項式定理得出二項式系數(shù)的一些性質(zhì)；2．能運用二項式系數(shù)的性質(zhì)解決一些簡單問題．能力目標1．熟知二項式系數(shù)的對稱性、單調(diào)性、最大項及所有二項式系數(shù)之和等結(jié)論；2．熟練運用賦值法求一些代數(shù)式的值．情感、態(tài)度與價值觀1．培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力以及分析問題與解決問題的能力．2．通過學習“楊輝三角”的有關知識，了解我們國家悠久的文化傳統(tǒng)，陶冶學生的愛國主情操，進一步提升學生學好數(shù)學用好數(shù)學的決心和勇氣，提升學生學習數(shù)學的興趣．二、【重點難點】重點：二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應用；難點：楊輝三角的基本性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)。三、【知識鏈接】1、二項式定理：________________________________________________；通項：；二項式系數(shù)：______________________________________________；2、(1+x)n

=________________________________________________；四、【合作探究】探究問題一楊輝三角的來歷及規(guī)律問題1：把(a+b)n

（n=1，2，3，4，5，6）展開式的二項式系數(shù)填入課本P32的表格。通過填表，你發(fā)現(xiàn)了每一行的系數(shù)有什么規(guī)律？問題2：為了方便，可將上表改寫成如下形式，表示形式的變化后你發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律嗎？(a+b)1…………………1

1

(a+b)2…………………1

2

1(a+b)3………………1

3

3

1(a+b)4……………1

4

6

4

1

(a+b)5…………1

5

10

10

5

1

(a+b)6………1

6

15

20

15

6

1

……………歸納小結(jié)：楊輝三角揭示了二項展開式的二項式系數(shù)的變化情況，那么楊輝三角有何特點？蘊含規(guī)律：1、項數(shù)規(guī)律2、系數(shù)規(guī)律3、指數(shù)規(guī)律問題3：你能介紹楊輝三角的來歷嗎？探究問題二從函數(shù)角度分析二項式系數(shù)問題1：(a+b)n展開式的二項式系數(shù)為，從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，令f(r)=，定義域為問題2：當n=6時，作出函數(shù)f（r）的圖象如下，其圖象是七個孤立的點。你能作當n=7時函數(shù)f（r）的圖象嗎？問題3：當n=7時，函數(shù)f（r）的圖象是對稱的嗎？對稱軸在哪兒？探究問題三通過圖象歸納二項式系數(shù)的重要性質(zhì)問題1：（對稱性）與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等嗎？由公式怎么表示？問題2：（增減性與最大值）由函數(shù)f（r）的圖象知，二項式系數(shù)的前半部分是逐漸（增大，減小）的，由對稱性知它的后半部分是逐漸的。如何證明？問題3：二項式系數(shù)在中間處取得最大值，那么(1)當n是偶數(shù)時，中間最大的一項二項式系數(shù)是，是二項式展開式的第幾項？(2)當n是奇數(shù)時，中間最大的兩項二項式系數(shù)是和，是二項式展開式的第幾項？變式提升：在的展開式中，二項式系數(shù)最大為；在的展開式中，二項式系數(shù)最大為.探究問題四各項二項式系數(shù)的和問題1：(1+x)n

=+x+x2+…+xr+…+xn,那么+++…+=？問題2：試證：在（a+b）n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。歸納小結(jié)：取特殊值法（又稱賦值法）在解決有關二項式系數(shù)和時經(jīng)常使用的一種，除此之外還有倒序相加法.變式提升：已知則(1)(2)(3)(4)五、【達標自測】1、（a+b）n的各二項式系數(shù)的最大值是____________；2、++…+=________；3、__________；4、證明：+++…+=2n-1(n是偶數(shù))；5、。六、【歸納總結(jié)】1.這節(jié)課我們收獲那些新知識？二項式系數(shù)的三個性質(zhì)2.在探究這些新知識的過程中我們用到了那些數(shù)學思想和方法？*知識拓展*11世紀中國宋代數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》里討論這種形式的數(shù)表，并說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在13歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。布萊士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜