陜西省咸陽(yáng)市新興中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

陜西省咸陽(yáng)市新興中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

若，則的取值范圍是

(

）A．（0，1）

B．（0，）C．（，1）

D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：C2.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)，若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則的前100項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．0參考答案：B試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)在上單調(diào)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，所以，所以，故選B．考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖象；2、等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式．3.函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期為π，當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）至少有12個(gè)零點(diǎn)，則n﹣m的最小值為（）A．12π B． C．6π D．參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)f（x），由周期公式求出ω的值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的根，由條件和正弦函數(shù)的周期性求出n﹣m的最小值．【解答】解：由題意得，f（x）=sinωx+cosωx+1=，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小正周期為π，所以，解得ω=2，則，由得，，則或（k∈Z），解得x=kπ﹣，或x=kπ﹣，所以一個(gè)周期內(nèi)相鄰的零點(diǎn)之間的間隔為，因?yàn)楫?dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）至少有12個(gè)零點(diǎn)，所以n﹣m的最小值為=，故選D．4.如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于8，我們稱a為“吉祥數(shù)”．將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=2015，則n=(

) A．83 B．82 C．39 D．37參考答案：A考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：利用“吉祥數(shù)”的定義，分類列舉出“吉祥數(shù)”，推理可得到結(jié)論．解答： 解：由題意，一位數(shù)時(shí)只有8一個(gè)；二位數(shù)時(shí)，有17，26，35，44，53，62，71，80共8個(gè)三位數(shù)時(shí)：（0，0，8）有1個(gè)，（0，1，7）有4個(gè)，（0，2，6）有4個(gè)，（0，3，5）有4個(gè)，（0，4，4）有2個(gè)，（1，1，6）有3個(gè)，（1，2，5）有6個(gè)，（1，3，4）有6個(gè)，（2，2，4），有3個(gè)，（2，3，3）有3個(gè)，共1+4×3+2+3×3+6×2=36個(gè)，四位數(shù)小于等于2015：（0，0，1，7）有3個(gè)，（0，0，2，6）有1個(gè)，（0，1，1，6）有6個(gè)，（0，1，2，5）有7個(gè)，（0，1，3，4）有6個(gè)，（1，1，1，5）有3個(gè)，（1，1，2，4）有6個(gè)，（1，1，3，3）有3個(gè)，（1，2，2，3）有3個(gè)，共有3×4+6×3+1+7=38個(gè)數(shù)，∴小于等于2015的一共有1+8+36+38=83個(gè)，即a83=2015故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，涉及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理和排列組合的知識(shí)，屬中檔題．5.已知為異面直線，平面，平面.直線滿足，則（

）A．，且 B．，且C．與相交，且交線垂直于 D．與相交，且交線平行于參考答案：D略6.若定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的遞增函數(shù)，則不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．RD．（﹣2，2）參考答案：A考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則在對(duì)稱區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減．所以f（﹣1）=f（1），所以討論log2x在區(qū)間[0，+∞）和（﹣∞，0）兩種情況，所以log2x≥0即x≥1時(shí)，為了用上函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增的條件，將原不等式變成，f（log2x）＜f（1），根據(jù)單調(diào)性，所以得到log2x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同樣的辦法，求出log2x＜0時(shí)的原不等式的解，這兩種情況所得的解求并集即可．解答：解：根據(jù)已知條件知：y=f（x）在（﹣∞，0）是減函數(shù)，f（﹣1）=f（1）；∴①若log2x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log2x）＜f（1）；∴l(xiāng)og2x＜1，x＜2；∴1≤x＜2；②若log2x＜0，即0＜x＜1，f（log2x）＜f（﹣1）；∴l(xiāng)og2x＞﹣1，x；∴；綜上得原不等式的解集為．故選A．點(diǎn)評(píng)：考查偶函數(shù)的概念，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性的特點(diǎn)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．7.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（，），則log4f（2）的值為

A．

B．-

C．2

D．-2參考答案：A略8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C9.頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD—中，AB=，，則，兩點(diǎn)間的球面距離為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.若cosα=，α∈（0，π），則cos（﹣α）=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所給的三角函數(shù)式，可得結(jié)果．【解答】解：∵cosα=，α∈（0，π），則cos（﹣α）=sinα==，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為

.參考答案：312.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______________．參考答案：13.對(duì)于函數(shù)

①f(x)=lg(|x-2|+1),

②f(x)=(x-2)2,

③f(x)=cos(x+2),判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：f(x+2)是偶函數(shù)；命題乙：f(x)在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；命題丙：f(x+2)-f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù).能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是______參考答案：②略14.已知，，則

。參考答案：15.函數(shù)的最大值是_*_，最小值是_*_.參考答案：1，-3略16.已知函數(shù)滿足：x4,則；當(dāng)x＜4時(shí)=，則

．參考答案：

17.定義函數(shù)：G（x）=，下列結(jié)論正確的①G（a）G（b）=G（a+b）；②G（a）+G（b）≥2G（）；③G（a+b）≥1+a+b；④G（ab）=G（a）G（b）參考答案：②③【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】畫(huà)出函數(shù)G（x）=的圖象，數(shù)形結(jié)合逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：G（x）=的圖象如下圖所示：當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故①錯(cuò)誤；函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象平等于x軸不具有凸凹性，函數(shù)在y軸右側(cè)為凹函數(shù)，故G（a）+G（b）≥2G（）恒成立，故②正確；由圖可得：G（x）≥1+x恒成立，故G（a+b）≥1+a+b恒成立，故③正確；當(dāng)a，b＞2時(shí)，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故④錯(cuò)誤；故正確的結(jié)論是：②③，故答案為：②③【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。依題意得：，即

解得…2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①

當(dāng)時(shí)，，令得…….3分當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0—0+0—

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減……………4分又，，?！嘣谏系淖畲笾禐?…………5分②

當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,最大值為0；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增?！嘣谧畲笾禐椤！?分綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為?！?分（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。不妨設(shè)，則，顯然∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴即

（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.若，則代入（*）式得：即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，代入（*）式得：

即

（**）令

，則∴在上單調(diào)遞增，

∵

∴,∴的取值范圍是?！鄬?duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?！?.14分

略19.已知直線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓與拋物線在A（其中A點(diǎn)在y軸的右側(cè)）處有共同的切線.

（1）求圓M的方程；

（2）若圓M與直線y=mx交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.參考答案：解析：（1）由

拋物線在A處的切線斜率為，設(shè)圓的方程為，

由切線性質(zhì)得

①

又圓心在AB的中垂線上，即

②

由①②得圓心

圓M的方程為

（2）由

設(shè)，

又，

20.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知數(shù)列的遞推公式為（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（1），又，所以（），所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列．···················································6分（2），······················································································8分所以數(shù)列的前n項(xiàng)和=．21.經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種新產(chǎn)品在投放市場(chǎng)的30天中,前20天其價(jià)格直線上升，后10天價(jià)格呈直線下降趨勢(shì)?，F(xiàn)抽取其中4天的價(jià)格如下表所示：時(shí)間第4天第12天第20天第28天價(jià)格(千元)34425034

（1）寫(xiě)出價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式（表示投放市場(chǎng)的第天）。（2）若銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：，問(wèn)該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天，日銷售額最高?參考答案：解析：（1）

……5分（2）設(shè)銷售額為元，則

…………7分當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)，

………………9分當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，

………………12分22.（本題滿分7分）證明下面兩個(gè)命題：（1）在所有周長(zhǎng)相等的矩形中，只有正方形的面積最大；（2）余弦定