高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 相等關(guān)系與不等關(guān)系

課時(shí)作業(yè)(三)相等關(guān)系與不等關(guān)系一、單項(xiàng)選擇題1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關(guān)系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)<g(x) D．隨x的值變化而變化B[f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0?f(x)>g(x).]2．若m<0，n>0且m＋n<0，則下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－mD[m＋n<0?m<－n?n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立，故選D.]3．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，β∈[0，π]，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，π))D[由題設(shè)得－eq\f(π,3)<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,3)，所以－eq\f(π,3)≤－eq\f(β,3)≤0，所以－eq\f(2π,3)<2α－eq\f(β,3)<π.]4．“m>0且n>0”是“mn>0”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由m>0且n>0，即m，n同正，得mn>0成立，充分性成立；而mn>0時(shí)，m>0且n>0或m<0且n<0，必要性不成立．故選A.]5．若a，b∈R，且a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)3＋b3>0C．a(chǎn)2－b2<0 D．a(chǎn)＋b<0D[由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|，當(dāng)b≥0時(shí)，a＋b<0成立，當(dāng)b<0時(shí)，a＋b<0成立，所以a＋b<0恒成立．故選D項(xiàng)．]6．若a>b>0，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0 B．eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)D[因?yàn)閏<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac，又因?yàn)閏d>0，所以eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d)，故選D項(xiàng)．]7．(2023·山東德州樂陵第一中學(xué)調(diào)研)已知－1<a<0，b<0，則b，ab，a2b的大小關(guān)系是()A．b<ab<a2b B．a(chǎn)2b<ab<bC．a(chǎn)2b<b<ab D．b<a2b<abD[因?yàn)椋?<a<0，b<0，所以ab>0，a2b<0，所以ab為三者中的最大值．因?yàn)椋?<a<0，所以0<a2<1，所以a2b－b＝(a2－1)b>0，所以a2b>b，所以b<a2b<ab.故選D.]8．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2<b2<c2 B．a(chǎn)|b|<c|b|C．ba<ca D．ca<cbD[因?yàn)閍<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符號(hào)不確定．因?yàn)閎>a，兩邊同時(shí)乘以正數(shù)c，不等號(hào)方向不變，所以ca<cb恒成立．]二、多項(xiàng)選擇題9．已知a，b，c是實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分條件B．“a2>b2”是“a>b”的必要條件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要條件CD[對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)a＝－5，b＝1時(shí)，滿足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，滿足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；對(duì)于C項(xiàng)，由ac2>bc2得c≠0，則有a>b成立，即充分性成立，故正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a＝－5，b＝1時(shí)，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立；當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，滿足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要條件．故選CD項(xiàng)．]10．設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)eq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)) B．eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC．eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．a(chǎn)c2<bc2ABC[因?yàn)閥＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2))，故A項(xiàng)正確；因?yàn)閥＝eq\f(1,x)－c在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－c，故B項(xiàng)正確；因?yàn)閑q\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2（b－a）,（b＋2）b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)，故C項(xiàng)正確；當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以D項(xiàng)不正確．故選ABC項(xiàng)．]11．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則不等式中，正確的是()A．a(chǎn)＋b<ab B．|a|<|b|C．a(chǎn)<b D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2ABD[若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a<0，b<0，且a>b，所以a＋b<0，ab>0，故A正確；由a<0，b<0，且a>b，顯然|a|<|b|，故B正確；顯然C錯(cuò)；由于a<0，b<0，故eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0.則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時(shí)取“＝”).又a>b，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2.故D正確．故選ABD.]12．(2023·浙江溫州七校期中)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，這種符號(hào)逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是()A．若ab≠0且a<b，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．若0<a<1，則a3<aC．若a>b>0，則eq\f(b＋1,a＋1)>eq\f(b,a)D．若c<b<a且ac<0，則cb2<ab2BC[對(duì)于A項(xiàng)，取a＝－2，b＝1，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，若0<a<1，則a3－a＝a(a2－1)<0，∴a3<a，故B項(xiàng)正確．對(duì)于C項(xiàng)，若a>b>0，則a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，∴a(b＋1)>b(a＋1)，∴eq\f(b＋1,a＋1)>eq\f(b,a)，故C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，若c<b<a且ac<0，則a>0，c<0.而b可能為0，因此cb2<ab2不一定成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC.]三、填空題13．已知a，b∈R，則不等式a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________．解析：若ab<0，由a<b兩邊同除以ab得eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；若ab>0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是a<0<b.答案：a<0<b14．用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長為xm，其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________．解析：矩形靠墻的一邊長為xm，則相鄰邊長為eq\f(30－x,2)m，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))m，根據(jù)題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216))15．已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·(eq\f(1,b2)－eq\f(1,a2))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)16．已知12<a<60，15<b<36，則a－b的取值范圍是________，eq\f(a,b)的取值范圍是________．解析：因?yàn)?5<b<36，所以－36<－b<－15.又12<a<60，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45，所以a－b的取值范圍是(－24，45).因?yàn)閑