高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計(jì)數(shù)原理簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 第1章4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

§4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題1．進(jìn)一步理解計(jì)數(shù)原理和排列、組合的概念．(重點(diǎn))2．能夠運(yùn)用原理和公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題閱讀教材P18～P21，完成下列問(wèn)題．1．計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本解法(1)直接法：以________為考察對(duì)象，先滿(mǎn)足________的要求，再考慮________(又稱(chēng)元素分析法)．或以________為考察對(duì)象，先滿(mǎn)足________的要求，再考慮________(又稱(chēng)位置分析法)．(2)間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出所有的方法數(shù)，再減去不符合要求的方法數(shù)．【答案】(1)元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2．解決計(jì)數(shù)問(wèn)題應(yīng)遵循的原則先________后一般，先________后排列，先________后分步，充分考慮元素的特殊性，進(jìn)行合理的分類(lèi)與分步．【答案】特殊組合分類(lèi)5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，若甲球必須放入A盒，則不同放法總數(shù)是()A．120 B．72C．60 D．36【解析】分兩類(lèi)：第一類(lèi)，A盒只有甲球，則余下4個(gè)球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，此時(shí)4個(gè)球應(yīng)分為2,1,1三組，有Ceq\o\al(2,4)種，每一種有Aeq\o\al(3,3)種放法，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種放法；第二類(lèi)，A盒中有甲球和另1球，則有Aeq\o\al(4,4)種排法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有放法總數(shù)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝60種．【答案】C[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]排列問(wèn)題某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有()A．504種 B．960種C．1008種 D．1108種【精彩點(diǎn)撥】先安排甲、乙，再考慮丙、丁，最后安排其他員工．【自主解答】(1)若甲、乙安排在開(kāi)始兩天，則丁有4種選擇，共有安排方案Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192種；(2)若甲、乙安排在最后兩天，則丙有4種選擇，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192種；(3)若甲、乙安排在中間5天，選擇兩天有4種可能，若丙安排在10月7日，丁有4種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝192種；若丙安排在中間5天的其他3天，則丁有3種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝432種．所以共有192＋192＋192＋432＝1008種．【答案】C1．本小題用到分類(lèi)討論的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)進(jìn)行討論．2．較復(fù)雜的排列問(wèn)題要注意模型化歸，轉(zhuǎn)化為常用的方法．[再練一題]1．由1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690018】A．72 B．96C．108 D．144【解析】第一步將2,4,6全排，有Aeq\o\al(3,3)種；第二步分1,3相鄰且不與5相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種；1,3,5均不相鄰，有Aeq\o\al(3,3)種．故總的排法為Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3))＝108種，故選C.【答案】C組合問(wèn)題某班有54位同學(xué)，其中正、副班長(zhǎng)各1名，現(xiàn)選派6名同學(xué)參加某科課外小組，在下列各種情況中，各有多少種不同的選法？(只列式不計(jì)算)(1)正、副班長(zhǎng)必須入選；(2)正、副班長(zhǎng)只有1人入選；(3)正、副班長(zhǎng)都不入選；(4)正、副班長(zhǎng)至多有1人入選；(5)班長(zhǎng)以外的某3人不入選；(6)班長(zhǎng)有1人入選，班長(zhǎng)以外的某2人不入選．【精彩點(diǎn)撥】這是一道有限制條件的組合問(wèn)題，先處理特殊元素，然后考慮一般元素．【自主解答】(1)先選正、副班長(zhǎng)，再?gòu)氖Ｏ碌?2人中選4人．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,52)種．(2)先從正、副班長(zhǎng)中選1人，再?gòu)氖Ｏ碌?2人中選5人．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,52)種．(3)因?yàn)檎⒏卑嚅L(zhǎng)都不選，因此從剩下的52人中選6人，共Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(6,52)種，即Ceq\o\al(6,52)種．(4)只有一個(gè)班長(zhǎng)入選，或兩個(gè)班長(zhǎng)都不入選，故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,52)＋Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(6,52)種，或Ceq\o\al(6,54)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,52)種．(5)某3人可除外，故共有Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(6,51)種，即Ceq\o\al(6,51)種．(6)Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(0,2)·Ceq\o\al(5,50)種，即Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,50)種．解答組合應(yīng)用題的總體思路1．整體分類(lèi)，對(duì)事件進(jìn)行整體分類(lèi)，從集合的意義講，分類(lèi)要做到各類(lèi)的并集等于全集，以保證分類(lèi)的不遺漏，任意兩類(lèi)的交集等于空集，以保證分類(lèi)的不重復(fù)，計(jì)算結(jié)果時(shí)使用加法原理．2．局部分步，整體分類(lèi)以后，對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，以保證分步的不遺漏，同時(shí)步驟要獨(dú)立，以保證分步的不重復(fù)，計(jì)算每一類(lèi)的相應(yīng)結(jié)果時(shí)，使用乘法原理．[再練一題]2．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有()A．252種 B．112種C．20種 D．56種【解析】不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112(種)．【答案】B[探究共研型]排列、組合的綜合應(yīng)用探究1從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相乘，有多少個(gè)不同的結(jié)果？完成的“這件事”指的是什么？【提示】共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2)＝6(個(gè))不同結(jié)果．完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相乘．探究2從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相除，有多少個(gè)不同結(jié)果？這是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題？完成的“這件事”指的是什么？【提示】共有Aeq\o\al(2,4)－2＝10(個(gè))不同結(jié)果．這個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題．完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相除．探究3完成“從集合{0,1,2,3,4}中任取三個(gè)不同元素組成一個(gè)是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類(lèi)，還是先分步？有多少個(gè)不同的結(jié)果？【提示】由于0不能排在百位，而個(gè)位必須是偶數(shù).0是否排在個(gè)位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個(gè)位分類(lèi)進(jìn)行．第一類(lèi)：0在個(gè)位，則百位與十位共Aeq\o\al(2,4)種排法；第二類(lèi)：0不在個(gè)位且不在百位，則需先從2,4中任選一個(gè)排個(gè)位再?gòu)氖Ｏ路橇銛?shù)字中取一個(gè)排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個(gè)排十位，共Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝18(種)不同的結(jié)果，由分類(lèi)加法原理，完成“這件事”共有Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝30(種)不同的結(jié)果．有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．【精彩點(diǎn)撥】(1)按選中女生的人數(shù)多少分類(lèi)選?。?2)采用先選后排的方法．(3)先安排該男生，再選出其他人擔(dān)任4科課代表．(4)先安排語(yǔ)文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔(dān)任余下三科的課代表．【自主解答】(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先選后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其余3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種．解決排列、組合綜合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則1．按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．2．按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)．解決時(shí)通常從以下三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．[再練一題]3．某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案共有()A．16種 B．36種C．42種 D．60種【解析】若選擇了兩個(gè)城市，則有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種投資方案；若選擇了三個(gè)城市，則有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24種投資方案，因此共有36＋24＝60種投資方案．【答案】D[構(gòu)建·體系]1．某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()A．14 B．24C．28 D．48【解析】(間接法)：6人中選派4人的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,6)，其中都選男生的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,4).所以至少有1名女生的選派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(種)．【答案】A2．在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個(gè)數(shù)字之和為9的三位數(shù)共有()A．6個(gè) B．9個(gè)C．12個(gè) D．18個(gè)【解析】由題意知，所求三位數(shù)只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝12(個(gè))．【答案】C3．6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種(用數(shù)字作答).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690019】【解析】6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法：排列好甲、乙兩人外的4人，有Aeq\o\al(4,4)種方法，然后把甲、乙兩人插入4個(gè)人的5個(gè)空位，有Aeq\o\al(2,5)種方法，所以共有：Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480.【答案】4804．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．【解析】有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36種滿(mǎn)足題意的分配方案．其中Ceq\o\al(1,3)表示從3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù)；Ceq\o\al(2,4)表示從4名大學(xué)生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；Aeq\o\al(2,2)表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)．【答案】365．車(chē)間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車(chē)工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車(chē)工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車(chē)工修理一臺(tái)機(jī)床，問(wèn)有多少種選派方法．【解】法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車(chē)工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(種)；A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車(chē)工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＝80(種)；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：Ceq\o\al(1,2)·