2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】函數(shù)的零點與方程的解-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題函數(shù)的零點與方程的解教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標教學(xué)目標：了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系，了解函數(shù)零點存在定理，會判斷函數(shù)零點個數(shù).通過利用函數(shù)的性質(zhì)來研究方程的解，來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.在利用函數(shù)的性質(zhì)來研究方程的解的過程中，發(fā)展學(xué)生的直觀想象，數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).教學(xué)重點：對函數(shù)零點概念的理解.教學(xué)難點：零點存在定理.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動引入方程的根與函數(shù)的零點提問：求方程的根，并畫出函數(shù)的圖象，并思考這二者之間什么關(guān)系？學(xué)生活動：二次函數(shù)與橫軸的交點橫坐標為方程的根；設(shè)計意圖：用函數(shù)的觀點看待方程,把方程的解理解為"使函數(shù)值為0的自變量",建立了二者之間的內(nèi)在聯(lián)系.進一步引出函數(shù)零點的概念.零點定義與例題函數(shù)零點的概念：對于函數(shù),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點.：求下列方程的解并進一步說明相應(yīng)函數(shù)的零點（1）（2）（3）（4）解：（1）由于方程的判別式小于零，從而此方程沒有解，也說明函數(shù)沒有零點.（2）為求方程的根，可以通過適當(dāng)?shù)刈冃无D(zhuǎn)化為二次方程求根，可得方程的解為，從而也可以說明函數(shù)有零點，且零點為1.（3）和（4）沒有求根公式可以應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考如何借助函數(shù)來研究相應(yīng)方程的解。設(shè)計意圖：通過上面具體的例子讓學(xué)生體會方程的解與函數(shù)的零點，前兩個例子可以通過代數(shù)運算求得方程的解，但對于較復(fù)雜的方程，我們又要怎樣研究它的解呢？三、零點存在定理提問：判斷函數(shù)有沒有零點.設(shè)計意圖：通過上面的例子，已經(jīng)知道方程的解目前沒有好的辦法進行處理，對于比較復(fù)雜的方程，引導(dǎo)學(xué)生思考如何借助函數(shù)來研究它的解.這里主要應(yīng)用兩個辦法，第一是借助函數(shù)圖象，進行直觀的觀察函數(shù)的零點；第二是借助函數(shù)的零點存在定理.為了得到零點存在定理，先讓學(xué)生完成下面的問題.請同學(xué)們再畫出一些有零點的函數(shù)圖象和一些沒有零點的函數(shù)圖象.并思考函數(shù)在什么條件下有零點，什么條件下無零點.學(xué)生活動：無零點：圖象在x軸上方或下方，函數(shù)值恒正或恒負.有零點穿過x軸.簡化為只研究圖象連續(xù)不間斷的情況進一步提問：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不間斷的一條曲線，你認為函數(shù)在什么條件下有零點？學(xué)生活動：圖象在x軸上方、下方都存在，函數(shù)值有正或有負.設(shè)計意圖：引出零點存在定理零點存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有,那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點.例2：函數(shù)在以下那個區(qū)間一定存在零點？為什么？解：由于，且函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，利用零點存在定理可得：函數(shù)在(1,e)內(nèi)有零點.四、零點個數(shù)上面問題利用零點存在定理解決了函數(shù)零點存在的問題，當(dāng)然也就解決了相應(yīng)方程解的問題，那么要如何解決函數(shù)零點個數(shù)問題？對例2繼續(xù)追問：函數(shù)有幾個零點？為什么？學(xué)生活動：加入單調(diào)性的條件.至此，我們解決了函數(shù)零點的存在性與唯一性的問題.分析：判斷函數(shù)單調(diào)性，易見這個函數(shù)在其定義域內(nèi)為遞增函數(shù)，從而此函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一零點.推論：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，在區(qū)間[a,b]上具有單調(diào)性，且，那么函數(shù)在區(qū)間[a,b]上有唯一零點.提問：如何解決一般函數(shù)的零點個數(shù)問題.學(xué)生活動：討論得出結(jié)果.（分段單調(diào)）總結(jié)：以上過程對零點的定義，零點的存在性，零點的個數(shù)，尋找零點的位置作了系統(tǒng)的介紹.四、小結(jié)函數(shù)零點定