湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)育才中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)育才中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個命題：①f（f（x））=1；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③任意一個非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；④存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點恰好構(gòu)成等邊三角形．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，∴對任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個數(shù)是4個，故選：A．2.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的體積為(

)A.6 B.8 C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖畫出四棱錐的直觀圖，然后再結(jié)合四棱錐的特征并根據(jù)體積公式求出其體積即可．【詳解】由三視圖可得四棱錐為如圖所示的長方體中的四棱錐，其中在長方體中，，點分別為的中點．由題意得，所以可得，又，所以平面即線段即為四棱錐的高．所以.故選B．【點睛】本題考查三視圖還原幾何體和幾何體體積的求法，考查空間想象能力和計算能力，解題的關(guān)鍵是由三視圖得到幾何體的直觀圖，屬于中檔題．3.下列命題錯誤的是（

）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.若：，.則：，.C.若復(fù)合命題：“”為假命題，則，均為假命題D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C【分析】對每一個選項逐一分析得解.【詳解】對于選項A,命題“若，則”的逆否命題為“若，則”是真命題，故選項A是正確的；對于選項B,若：，.則：，.是真命題，故選項B是正確的；對于選項C,若復(fù)合命題：“”為假命題，則，至少有一個為假命題，所以該選項是錯誤的，故選項C是錯誤的；對于選項D,因為，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項D是正確的.故選：C【點睛】本題主要考查逆否命題和特稱命題的否定，考查復(fù)合命題的真假和充分不必要條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知集合，，則A.

B.

C.

D.

R參考答案：C略5.已知R上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為(A).

(B).(C)

(D).參考答案：D6.4．設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集．若命題，則（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D7.為確保信息安全，信息需加密傳輸，傳送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3b，4d例如：明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16，當(dāng)接受方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為A．1，6，4，7

B．4，6，1，7

C．7，6，1，4

D．6，4，1，7參考答案：D8.已知點,,,，則向量在方向上的投影為（

）（A） （B）

（C）

（D）參考答案：A略9.復(fù)數(shù)

(A)2i

(B)-2i

(C)2

(D)-2參考答案：A略10.條件：“或”是條件：“有極值點”成立的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，2），則它在A點處的切線方程為

。參考答案：略12.在中，，則△ABC的面積等于

。參考答案：13.將2本相同的語文書和2本相同數(shù)學(xué)書隨機排成一排，則相同科目的書不相鄰的概率為

．參考答案：14.設(shè)、滿足約束條件：，則的最大值是

.參考答案：315.i是虛數(shù)單位，則______.參考答案：5【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求模得解.【詳解】由題得，所以.故答案為：5【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.16.已知實數(shù)滿足，則的最大值為

．參考答案：-2

14.

15.

16.17.直線與圓相切，則k=

參考答案：【知識點】點到直線距離.H2【答案解析】0

解析：圓心到直線距離【思路點撥】利用點到直線距離公式計算即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為,且滿足,(I)求角B的大??；(II)設(shè)，且的最大值是5,求k的值參考答案：解：（1）由得Ks5u得

得-…………5分(2)由,（）且的最大值是，則，令,則，，…………10分略19.設(shè)橢圓的離心率，右焦點到直線的距離，O為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題；壓軸題．分析；（I）利用離心率求得a和c的關(guān)系式，同時利用點到直線的距離求得a，b和c的關(guān)系最后聯(lián)立才求得a和b，則橢圓的方程可得．（II）設(shè)出A，B和直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推斷出x1x2+y1y2=0，求得m和k的關(guān)系式，進而利用點到直線的距離求得O到直線AB的距離為定值，進而利用基本不等式求得OA=OB時AB長度最小，最后根據(jù)求得AB的坐標(biāo)值．解：（I）由，∴．由右焦點到直線的距離為，得：，解得．所以橢圓C的方程為．（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴，整理得7m2=12（k2+1）所以O(shè)到直線AB的距離．為定值∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時取“=”號．由，∴，即弦AB的長度的最小值是．【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和基本的運算能力．20.（13分）設(shè)f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)﹣1≤x≤0時，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)1＜a≤3時，求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；（Ⅲ）如果對滿足1＜a≤3的一切實數(shù)a，函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】綜合題；分類討論．【分析】（Ⅰ）由﹣1≤x≤0得到﹣x的范圍，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以得到f（x）=﹣f（﹣x），把﹣x代入f（x）的解析式即可確定出f（x）在0＜x≤1時的解析式，且得到f（0）=0，；聯(lián)立可得f（x）的分段函數(shù)解析式；（Ⅱ）當(dāng)x大于0小于等于1時，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0時x的值，利用x的值分大于小于1和大于等于1小于等于2兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性分別求出相應(yīng)的最大值g（a），聯(lián)立得到g（a）的分段函數(shù)表達式；（Ⅲ）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是對滿足1＜a≤3的實數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于和a大于等于小于等于3兩種情況考慮g（a）的解析式，分別求出相應(yīng)g（a）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷g（a）的單調(diào)性，根據(jù)g（a）的增減性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出關(guān)于b的不等式，求出兩不等式的公共解集即可滿足題意的b的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤1時，﹣1≤﹣x＜0，則f（x）=﹣f（﹣x）=2x3﹣5ax2+4a2x﹣b．當(dāng)x=0時，f（0）=﹣f（﹣0）∴f（0）=0；∴f（x）=；（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）=6x2﹣10ax+4a2=2（3x﹣2a）（x﹣a）=6（x﹣）（x﹣a）．①當(dāng)＜＜1，即1＜a＜時，當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，1]時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，1]上單調(diào)遞減，∴g（a）=f（）=a3﹣b．②當(dāng)1≤≤2，即≤a≤3時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞增．∴g（a）=f（1）=4a2﹣5a+2﹣b，∴g（a）=（Ⅲ）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是對滿足1＜a≤3的實數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．①當(dāng)1＜a≤時，g′（a）=a2＞0，此時g（a）在（1，）上是增函數(shù)，則g（a）＜﹣b=﹣b．∴﹣b≤0，解得b≥；②當(dāng)≤a≤3時，g′（a）=8a﹣5＞0，此時，g（a）在[，3]上是增函數(shù)，g（a）的最大值是g（3）=23﹣b．∴23﹣b≤0，解得b≥23．由①、②得實數(shù)b的取值范圍是b≥23．【點評】此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，靈活運用函數(shù)的奇偶性解決數(shù)學(xué)問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．21.

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、為棱DD1上任意一點，下為對角線DB的中點。

（I）求證：平面CFB1⊥平面EFB1；

（II）若三棱錐B—EFC的體積為1，且

①求此正方體的棱長；

②求異面直