2021-2022學(xué)年北京教育學(xué)院分院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年北京教育學(xué)院分院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在實(shí)數(shù)0，－1.5,1，－中，比－2小的數(shù)是（

）A.0 B.－1.5 C.1 D.－參考答案：D分析：實(shí)數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．詳解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得<-2＜-1.5＜0＜1，∴最小的數(shù)是．故選D．點(diǎn)睛：此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小．2.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線y＝kx－3k與平面區(qū)域M有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.若集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由A中不等式變形得：x（x-3）＜0，

解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}，

∵B={x|-1＜x＜2}，

∴A∪B={x|-1＜x＜3}，

故選：B．

4.如圖所示，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=PA=2，則該幾何體外接球的表面積為（）A．4π B．9π C．12π D．36π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】根據(jù)題意，證出BC⊥平面PAB，PC是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑．利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PB得外接球半徑，從而得到所求外接球的表面積．【解答】解：PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥PB在Rt△PBA中，可得PB=，在Rt△PCA中，可得PC=取PB的中點(diǎn)O，則OA=OB=OC=OP=∴PC是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑；幾何體外接球的表面積4πR2=9π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．5.雙曲線的實(shí)軸長是()A．2

B．2

C．4

D．4參考答案：C略6.若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A． B．－1或3 C． D．－3或1參考答案：D7.某企業(yè)擬生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知每件甲產(chǎn)品的利潤為萬元，每件乙產(chǎn)品的利潤為萬元，且甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在、兩種設(shè)備上加工．在每臺(tái)設(shè)備、每臺(tái)設(shè)備上加工1件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為和，加工1件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為和，設(shè)備每天使用時(shí)間不超過，設(shè)備每天使用時(shí)間不超過，則通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，該企業(yè)在一天內(nèi)的最大利潤是

(

)A．萬元

B.

萬元

C.萬元 D.萬元 參考答案：D8.已知圓C:,直線，圓C上任意一點(diǎn)A到直線的距離小于2的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型.

K3【答案解析】A

解析：因?yàn)閳A心到直線的距離是5，所以圓上到直線距離小于2的點(diǎn)構(gòu)成的弧所對(duì)弦的弦心距是3，設(shè)此弧所對(duì)圓心角為，則，所以，所對(duì)的弧長為，所以所求概率為：,故選A.【思路點(diǎn)撥】先求圓上到直線距離小于2的點(diǎn)構(gòu)成的弧的弧長，此弧長與圓的周長的比為所求概率.9.奇函數(shù)f（x）、偶函數(shù)g（x）的圖象分別如圖1、2所示，方程f（g（x））=0、g（f（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為a、b，則a+b=（）A．14 B．10 C．7 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．【專題】計(jì)算題．【分析】先利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷兩函數(shù)的圖象，再利用圖象由外到內(nèi)分別解方程即可得兩方程解的個(gè)數(shù)，最后求和即可【解答】解：由圖可知，圖1為f（x）圖象，圖2為g（x）的圖象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2）∴方程f（g（x））=0?g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1?x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7個(gè)根，即a=7；而方程g（f（x））=0?f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b?f（x）=0?x=﹣1，x=0，x=1，∴方程g（f（x））=0有3個(gè)根，即b=3∴a+b=10故選Baa【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象解方程的方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬基礎(chǔ)題10.已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為__________．參考答案：1120【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為2，求出項(xiàng)數(shù)，即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理，熟記展開式通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓平面區(qū)域：，若圓心,且圓與軸相切，則的最大值為_____________參考答案：37【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．E5

解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：∵圓與x軸相切，∴由圖象知b=1，即圓心在直線y=1上，若a2+b2最大，則只需要|a|最大即可，由圖象知當(dāng)C位于直線y=1與x+y﹣7=0的交點(diǎn)時(shí)，|a|最大，此時(shí)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），此時(shí)a=6，故a2+b2的最大值為62+12=37，故答案為：37【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓與x軸相切，得到b=1，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．13.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，則的最小值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求公差d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求出an、Sn，代入利用分離常數(shù)法化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因?yàn)閍1，a3，a13成等比數(shù)列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn==n2，則====﹣2≥2﹣2=4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且取到最小值4，故答案為：4．14.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列結(jié)論：①y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值為4；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；則其中正確結(jié)論的序號(hào)為．參考答案：①②③④【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解；②根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；③結(jié)合三角函數(shù)的有界性和最值進(jìn)行求解判斷；④根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷；【解答】解：①函數(shù)的周期T=，故y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)正確；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）正確；③當(dāng)4sin（2x+）=1時(shí)，y=f（x）的最大值為4，正確；④當(dāng)x=時(shí)，f（）=4sin（2×+）=4sin=4為最大值，即f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，正確．故正確的是①②③④，故答案為：①②③④【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．15.給出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

參考答案：③正確略16.（+）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________．（用數(shù)字作答）參考答案：6017.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0—1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第

行．第1行1

1第2行

1

0

1第3行

1

1

1

1第4行

1

0

0

0

1第5行

1

1

0

0

1

1…………參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（6分）（Ⅱ）若,,求.（6分）

參考答案：(I)=2n(II)解析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又單調(diào)遞增，∴=2,=2,∴=2n-------------------------------6分（Ⅱ）,∴

①∴

②∴①-②得＝------------------------------6分

略19.（滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若對(duì)于定義域內(nèi)的任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：.參考答案：解：（1）的定義域?yàn)?對(duì)都有，又在定義域上連續(xù).，故.，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故

…（3分）（2），又在定義域上是單調(diào)函數(shù)，或在上恒成立.……………（5分）若在上恒成立.即在上恒成立，………（6分）若即在上恒成立.在上沒有最小值，不存在實(shí)數(shù)使恒成立.…………（7分）綜上所知，實(shí)數(shù)取值范圍是…………（8分）（2）法一……（9分）……（10分）令，令……（11分）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，恒有，即恒成立……（12分）取，則有……………………（13分），即…………（14分）法二：又故不等式成立。略20.如圖，F(xiàn)是橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|OF|=，過F作OF的垂線交橢圓于P0，Q0兩點(diǎn)，△OP0Q0的面積為．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與上下半橢圓分別交于點(diǎn)P、Q，與x軸交于點(diǎn)M，且|PM|=2|MQ|，求△OPQ的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由題意可得c=，再由弦長，運(yùn)用直角三角形的面積公式，解方程可得a=3，b=2，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直線PQ：x=my+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由由|PM|=2|MQ|，可得=2，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合△OPQ的面積為S=|t|?|y1﹣y2|，化簡整理，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值，及對(duì)應(yīng)的直線方程．【解答】解：（1）由題意可得c=，將x=c代入橢圓方程可得y=±b=±，即有△OP0Q0的面積為|PQ|?c=，即=，且a2﹣b2=5，解得a=3，b=2，即有橢圓方程為+=1；（2）設(shè)M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直線PQ：x=my+t，代入橢圓方程，可得（4m2+9）y2+8mty+4t2﹣36=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=﹣，y1y2=＜0，由|PM|=2|MQ|，可得=2，即有﹣y1=2y2，代入韋達(dá)定理可得，t2=，即有m2=，即有1＜t2＜9．則△OPQ的面積為S=|t|?|y1﹣y2|=|t|?=6|t|?=，當(dāng)t2=5＜9，由圖示可得t＜0，此時(shí)m2=，△OPQ的面積取得最大值，且為×4=3．故所求直線方程為x=±y﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用過焦點(diǎn)的弦長公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.某企業(yè)去年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+）萬元（n為正整數(shù)）．

(Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求、的表達(dá)式；

(Ⅱ）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？參考答案：（Ⅰ）依題意知，數(shù)列是一個(gè)以500為首項(xiàng)，－20為公差的等差數(shù)列，所以，=＝=

(Ⅱ）依題意得，，即，可化簡得，可設(shè)，又，可設(shè)是減函數(shù)，是增函數(shù)，又則時(shí)不等式成立，即4年22.已知函數(shù).（1）討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.參考答案：（1）見解析

（2）見解析【分