2021-2022學年北京科興實驗中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學年北京科興實驗中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若a10+a11=10，則=（）A．l B．2 C．一l D．一2參考答案：D考點：等差數(shù)列的前n項和．專題：函數(shù)的性質及應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知結合等差數(shù)列的性質求得S20，代入再由換底公式求得答案．解答：解：在等差數(shù)列{an}中，由a10+a11=10，得=10（a10+a11）=100，∴=．故選：D．點評：本題考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了對數(shù)的運算性質，是基礎題．2.已知拋物線C：y2=16x，焦點為F，直線l：x=﹣1，點A∈l，線段AF與拋物線C的交點為B，若，則|AB|=（）A． B．35 C．28 D．40參考答案：C【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】設A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共線的坐標表示，由，確定A，B的坐標，即可求得|AB|．【解答】解：由拋物線C：y2=16x，可得F（4，0），設A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴|AB|==28．故選：C．【點評】本題考查拋物線的性質，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．3.宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當n=1時，a=，b=4，滿足進行循環(huán)的條件，當n=2時，a=，b=8滿足進行循環(huán)的條件，當n=3時，a=，b=16滿足進行循環(huán)的條件，當n=4時，a=，b=32不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．4.中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經》和《易經》里對二十四節(jié)氣的晷（guǐ）影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的．下表為《周髀算經》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．節(jié)氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.0已知《易經》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經》中所記錄的驚蟄的晷影長應為（）A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸參考答案：C【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【分析】設晷影長為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設晷影長為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，則130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易經》中所記錄的驚蟄的晷影長是82.0寸．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的性質、等差數(shù)列的通項公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則2x1﹣x2的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；3O：函數(shù)的圖象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則g（x1）=g（x2）=3，則，結合x1，x2∈，可得答案．【解答】解：函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得y=的圖象，再向上平移1個單位，得到g（x）=+1的圖象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則g（x1）=g（x2）=3，則，即，由x1，x2∈，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，當x1=，x2=﹣時，2x1﹣x2取最大值，故選：A6.已知雙曲線﹣y2=1（a＞0）的實軸長2，則該雙曲線的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：B7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的表面積為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D8.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.兩位同學去某大學參加自主招生考試，根據(jù)右圖學校負責人與他們兩人的對話，可推斷出參加考試的人數(shù)為

A.19

B.20

C.21

D.22參考答案：答案：B10.已知都是負實數(shù)，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B

【知識點】函數(shù)的最值及其幾何意義．B3直接通分相加得，因為都是負實數(shù)，所以都為正實數(shù)，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值，最小值為為，分母有最小值，即有最大值，那么可得最小值，最小值：，故選B．【思路點撥】把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列四個命題：①圓與直線相交，所得弦長為2；②直線與圓恒有公共點；③若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為；④若棱長為的正四面體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為。其中，正確命題的序號為______________（寫出所有正確命題的序號）。參考答案：答案：②④12.若雙曲線﹣=1的一條漸近線經過點（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，代入點（3，﹣4），可得b=a，再由c=，e=，即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x，由漸近線過點（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案為：．13.在四邊形ABCD中，AD∥BC，，AD=5，，點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則__________.參考答案：－1【分析】可利用向量的線性運算，也可以建立坐標系利用向量的坐標運算求解?！驹斀狻吭斀猓航夥ㄒ唬喝鐖D，過點作的平行線交于，因為，故四邊形為菱形。因為，，所以，即.因為，所以.解法二：建立如圖所示的直角坐標系，則，。因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，，所以。所以.【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便。

14.定義在R上的偶函數(shù)在[0,+∞)為單調遞增，則不等式的解集是_________.參考答案：【分析】由偶函數(shù)的性質，再結合函數(shù)的單調性可得，再解絕對值不等式即可得解.【詳解】解：因為函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，則由可得，又函數(shù)在為單調遞增，則，解得，故不等式的解集是：.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質及利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的范圍，重點考查了函數(shù)思想，屬基礎題.15.垂直于直線2x－6y+1=0且與曲線y=x3+3x2－5相切的直線方程是_______.參考答案：答案：3x+y+6=016.已知函數(shù)，如果對任意的，定義，例如：,那么的值為

參考答案：2考點：函數(shù)求值；分段函數(shù)；函數(shù)的周期性.【名師點睛】對于分段函數(shù)結合復合函數(shù)的求值問題，一定要先求內層函數(shù)的值，因為內層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量的取值對應著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡單的分段函數(shù)并能應用，來年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對應區(qū)間上的解析式，千萬別代錯解析式.17.2017年1月27日，哈爾濱地鐵3號線一期開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個地方，哈西站一定要有人去，則不同的游覽方案為．參考答案：65【考點】D8：排列、組合的實際應用．【分析】根據(jù)題意，先由分步計數(shù)原理計算可得四人選擇3個地方的全部情況數(shù)目，再計算哈西站沒人去的情況數(shù)目，分析可得哈西站一定要有人去的游覽方案數(shù)目，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3=81種情況，若哈西站沒人去，即四位同學選擇了城鄉(xiāng)路和哈爾濱大街．每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2=16種情況，故哈西站一定要有人去有81﹣16=65種情況，即哈西站一定有人去的游覽方案有65種；故答案為：65．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分分）選修4-5：不等式證明選講．已知函數(shù)．(1)求的解集；(2)設函數(shù)，若對任意的都成立，求的取值范圍．參考答案：（1）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：無解③：所以的解集為或．………5分（2）即的圖象恒在圖象的上方圖象為恒過定點，且斜率變化的一條直線作函數(shù)圖象如圖,其中，，∴由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方∴實數(shù)的取值范圍為．

………10分19.成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．參考答案：20.設正項數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）計算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通項公式，并證明你的結論；（Ⅱ）設Tn是數(shù)列{}的前n項和，證明：Tn＜．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由已知條件利用遞推導思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用數(shù)學歸納法進行證明．（Ⅱ）證法一：由，利用裂項求和法和放縮法進行證明．證法二：利用用數(shù)學歸納法進行證明．【解答】（Ⅰ）解：當n=1時，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，證明：（ⅰ）當n=1時，顯然成立．（ⅱ）假設當n=k時，ak=k….4分，則當n=k+1時，，結合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是對于一切的自然數(shù)n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）證法一：∵，…10分∴．…14分證法二：用數(shù)學歸納法證明：（ⅰ）當n=1時，，，….8分（ⅱ）假設當n=k時，…9分則當n=k+1時，要證：只需證：由于所以…13分于是對于一切的自然數(shù)n∈N*，都有….14分【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法的合理運用．21.（本小題滿分14分）設函數(shù).（1）證明：存在唯一實數(shù)，使；（2）定義數(shù)列

①對（1）中的，求證:對任意正整數(shù)都有;②當時,若,證明:對任意都有參考答案：(1)解：有令由所以有且只有一個實數(shù)，使；

………………5分(1)（Ⅰ）(數(shù)學歸納法)先證：證明:①;②假設

由遞減性得：

即又所以時命題成立

所以對成立.…………9分

(2)(Ⅱ)解：當時,為減函數(shù)，且

由

………………14分

略22.有甲乙兩個班進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下列聯(lián)表．

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10

乙班

30

合計

105已知在全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為．（1）請完成上面的聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”；（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生抽取一人：把甲班10優(yōu)秀的學生按2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取的序號．試求抽到6號或10號的概率．參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635參考答案：解：（1）

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”．（3）設“抽到6或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36個．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6