2021-2022學(xué)年安徽省合肥市造甲中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市造甲中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.點()在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是

A．－1<<1

B．0<<1

C．–1<<

D．－<<1參考答案：D略2.設(shè)袋中有60個紅球，10個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當(dāng)取最小值時,n=(

)A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A4.設(shè)偶函數(shù)滿足，則A.

B.C.

D.參考答案：D5.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限參考答案：D6.在長方體的六個面中，與其中一個面垂直的面共有

A．1個

B．2個

C．3個

D.4個參考答案：D7.設(shè)，則“3，m，27”為等比數(shù)列是“m=9”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B8.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.

參考答案：C略10.下面幾種推理中是演繹推理的序號為

（

）

A．由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電；

B．猜想數(shù)列的通項公式為；

C．半徑為圓的面積，則單位圓的面積；

D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為，推測空間直角坐標(biāo)系中球的方程為

．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

．參考答案：，.

12.已知正數(shù)a,b滿足3ab+a+b=1,則ab的最大值是

參考答案：13.在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PAB是直角三角形，且，，則該三棱椎外接球的表面積為__________．參考答案：12π由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，則PB⊥CB，因此取PC中點O，則有OP＝OC＝OA＝OB，即O三棱錐P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以．點睛：多面體外接球，關(guān)鍵是確定球心位置，通常借助外接的性質(zhì)—球心到各頂點的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底面中心的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求出半徑，如果圖形中有直角三角形，則學(xué)借助于直角三角形的外心是斜邊的中點來確定球心．14.曲線在點處的切線的方程為

參考答案：y=15.已知圓方程為：，圓的方程為：，動圓M與外切且與內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程是_________________參考答案：16.數(shù)列……的前100項的和等于

。

參考答案：略17.邊長為a的等邊三角形內(nèi)一點到三邊的距離之和為定值，這個定值為

，推廣到空間，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到各個面距離之和為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的上頂點B到兩焦點的距離和為4，離心率（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點A為橢圓C的右頂點，過點A作相互垂直的兩條射線，與橢圓C分別交于不同的兩點M，N（M，N不與左、右頂點重合），試判斷直線MN是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．參考答案：【考點】圓錐曲線的定值問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由利用已知條件列出，求解可得橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線MN的斜率不存在時，推出直線MN過點，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，得到4k2﹣m2+1＞0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合AM⊥AN，橢圓的右頂點為（2，0），通過（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，求解當(dāng)時，直線l的方程過定點，推出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意知：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線MN的斜率不存在時，MN⊥x軸，△MNA為等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，解得：，此時，直線MN過點，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，則，由已知AM⊥AN，且橢圓的右頂點為（2，0），所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，，所以，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或，均滿足△＞0，當(dāng)m=﹣2k時，直線l的方程y=kx﹣2k過頂點（2，0），與題意矛盾舍去，當(dāng)時，直線l的方程過定點，故直線過定點，且定點是．19.已知等差數(shù)列的前n項和為，，(I) 求數(shù)列的通項公式；(II)若，求數(shù)列的前100項和．參考答案：（1）由及得，---------2分解得，---------------------------------------4分所以，-----------------------------------------6分（2）=，----------------------------------------8分從而有.數(shù)列的前100項和為----------------------------12分20..“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子.”一科研單位為了解員工愛好運(yùn)動是否與性別有關(guān)，從單位隨機(jī)抽取30名員工進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

男性女性合計愛好10

不愛好

8

合計

30

已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到愛好運(yùn)動的員工的概率是.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（在答題卷上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過程），并據(jù)此資料分析能否有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)？（2）若從這30人中的女性員工中隨機(jī)抽取2人參加一活動，記愛好運(yùn)動的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）沒有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)；（2）.【分析】（1）由題可算出愛好運(yùn)動的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出結(jié)果；（2）典型的超幾何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.【詳解】（1）

男性女性合計愛好10616不愛好6814合計161430

由已知數(shù)據(jù)可求得：，所以沒有把握認(rèn)為愛好運(yùn)動與性別有關(guān)．（2）的取值可能為0，1，2，，，.所以的分布列為：012

的數(shù)學(xué)期望為.21.如圖，邊長為2的正方形ABCD繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱錐B﹣ADF的外接球的表面積；（2）若K為線段BE上異于B，E的點，CE=2．設(shè)直線AK與平面BDF所成角為φ，當(dāng)30°≤φ≤45°時，求BK的取值范圍．參考答案：（1）三棱錐B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半徑為R，R==，外接球的表面積為：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE為直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B為原點，BC、BA、BE的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．設(shè)K（0，0，m），平面BDF的一個法向量為=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…結(jié)合0＜m＜2，解得，即BK的取值范圍為（0，]．…考點：直線與平面所成的角；球的體積和表面積．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）求出外接球的半徑，利用取得面積公式求解即可．（2）證明BE⊥平面ABCD．=以B為原點，BC、BA、BE的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面BDF的一個法向量為=（x，y，z）．推出sinφ==，結(jié)合sinφ，即求出BK的取值范圍．解答：解：（1）三棱錐B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半徑為R，R==，外接球的表面積為：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE為直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B為原點，BC、BA、BE的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），A（0，2