高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用 課時作業(yè)27

課時作業(yè)(二十七)已知函數(shù)模型與擬合函數(shù)模型一、選擇題1．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第15年它們發(fā)展到()A．300只B．400只C．600只D．700只答案：B解析：將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝15時，y＝100log2(15＋1)＝400.2．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()\f(p＋q,2) \f(p＋1q＋1－1,2)\r(pq) \r(p＋1q＋1)－1答案：D解析：設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1，故選D.3．一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的圖象大致是()答案：D解析：考察相同的Δh內(nèi)ΔV的大小比較．4．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘答案：B解析：根據(jù)圖象，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,，(4,，(5,分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＝9a＋3b＋c，,＝16a＋4b＋c，,＝25a＋5b＋c，))消去c化簡，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝，,9a＋b＝－，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝－2.))所以p＝－＋－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，所以當t＝eq\f(15,4)＝時，p取得最大值，即最佳加工時間為分鐘．5．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如表：x123…y138…則下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達這種關(guān)系的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝－＋2答案：D二、填空題6．工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y＝a·＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、萬件．則此工廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為________萬件．答案：解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝＋b，,＝＋b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×＋2，把x＝3代入，得y＝.7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________．(lg2≈0)答案：4解析：設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈，所以需4次．三、解答題8．某工廠今年1月，2月，3月，4月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件，萬件，萬件，1.37萬件，為了以后估計每個月的產(chǎn)量，以1,2兩個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)．用一個函數(shù)模型模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用f(x)＝－＋qx＋r或g(x)＝a·＋c，其中q，r，a，c為常數(shù)，請問用上述哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？說明理由．解：用g(x)＝a·＋c作為模擬函數(shù)較好，理由如下：對于f(x)＝－＋qx＋r，由f(1)＝1，f(2)＝，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－＋q＋r＝1，,4×－＋2q＋r＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝，,r＝，))則f(3)＝，f(4)＝；而對于g(x)＝a·＋c，由g(1)＝1，g(2)＝，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋c＝1，,＋c＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,c＝，))則g(3)＝，g(4)＝，所以用g(x)＝a·＋c作為模擬函數(shù)較好．9．在某服裝批發(fā)市場，季節(jié)性服裝當季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢，設(shè)某服裝開始時定價為10元，并且每周(7天)漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售；10周后當季節(jié)即將過去時，平均每周降價2元，直到16周周末，該服裝已不再銷售．(1)試建立價格P(元)與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若此服裝每周進價Q(元)與周次t之間的關(guān)系式為Q＝－(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，試問該服裝第幾周銷售利潤最大？解：(1)當t∈[0,5]時，P＝10＋2t；當t∈(5,10]時，P＝20；當t∈(10,16]時，P＝40－2t.所以P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＋2t，t∈[0，5]，,20，t∈5，10]，,40－2t，t∈10，16]))(t∈N*)．(2)由于每件銷售利潤為售價－進價，即每件銷售利潤L＝P－Q.所以，當t∈[0,5]時，L＝10＋2t＋(t－8)2－12＝＋6，當t＝5時，L取得最大值；當t∈(5,10]時，L＝20＋(t－8)2－12＝－2t＋16，當t＝5時，L取得最大值；當t∈(10,16]時，L＝40－2t＋(t－8)2－12＝－4t＋36，當t＝10時，L取得最大值.因此，該服裝第5周每件銷售利潤最大．10．據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為時間t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．(1)直接寫出v(km/h)關(guān)于t(h)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當t＝20h，求沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)；(3)若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．解：(1)由圖可得，v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，0≤t≤10，,30，10<t≤20，,－2t＋70，20<t≤35.))(2)當t＝20時，v＝30；∴s＝eq\f(1,2)×(10＋20)×30＝450.即當t＝20時，沙塵暴所經(jīng)過的路程為450km.(3)由(2)得，當0≤t≤20時，s<650.當20<t≤35時，s＝450＋eq\f([30＋－2t＋70]t－20,2)＝－t2＋70t－550.令－t2＋70t－550＝650，解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30.即沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城．11．一片森林原來的面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？解：(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,10)).(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))，則eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年為止，已砍伐了5年．(3)設(shè)從今年開始，以后還能砍n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))，則eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．尖子生題庫12．某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，凡多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低元，但實際出廠單價不能低于51元．(1)當一次訂購量為多少時，零件的實際出廠單價恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達式；(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？解：(1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋eq\f(60－51,＝550(個)．∴當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元．(2)當0<x≤100時，P＝60；當100<x<550時，P＝60－(x－100)＝62－；當x≥550時，P＝51.∴P＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0<x≤100，,62－，100<x<550，,51，x≥550))(x∈N*)．(3