2021-2022學(xué)年山西省大同市杜莊鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省大同市杜莊鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，則|x1﹣x2|=（）A． B．1+ C．2 D．+ln2參考答案：C【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由題意分別討論兩段函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性及圖象平移求解．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log4（x+1）+x﹣1，由f（x）=0，可得x﹣1=；當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x﹣+3，由f（x）=0，可得．作出函數(shù)圖象如圖：∵函數(shù)y=與y=互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而與分別是把y=與y=向左平移1個(gè)單位得到的，∴兩函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，又直線y=x﹣1與y=x+3也關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，不妨設(shè)y=x+3（x≤0）與y=的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，y=x﹣1（x＞0）與y=的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，則|x1﹣x2|=．故選：C．2.設(shè)定義在上的函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．

B9【答案解析】D

解析：∵題中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．故關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0中，有：1+a+b=0，b=﹣1﹣a，且當(dāng)f（x）=k，k＞0且k≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴k2+ak﹣1﹣a=0，a=﹣1﹣k，∵k＞0且k≠1，∴a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）故選D．【思路點(diǎn)撥】題中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．且當(dāng)f（x）=k，k＞0且k≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，據(jù)此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．3.函數(shù)f(2x+1)的圖象可由f(2x-1)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到

(

）A．向左平移2個(gè)單位B．向右平移2個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位D．向右平移1個(gè)單位參考答案：C4.已知橢圓的焦點(diǎn)為，在長(zhǎng)軸A1A2上任取一點(diǎn)M，過M作垂直于A1A2的直線交橢圓于點(diǎn)P，則使得的點(diǎn)M的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.命題，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）

（B） （C）

（D）參考答案：D略6.為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到等高條形圖如圖所示，根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說法最佳的一項(xiàng)是（

）

A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果 B.藥物A、B對(duì)該疾病均沒有預(yù)防效果C.藥物A、B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果 D.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果參考答案：D【分析】由等高條形圖，可得服用A藥物的患病人數(shù)明顯少于服用藥物B的人數(shù)，服用A藥物的未患病人數(shù)明顯多于服用藥物B的人數(shù)，即可求解，得到答案.【詳解】由等高條形圖知，服用A藥物的患病人數(shù)明顯少于服用藥物B的人數(shù)，服用A藥物的未患病人數(shù)明顯多于服用藥物B的人數(shù)，所以藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高條形圖應(yīng)用，其中解答中理解、掌握統(tǒng)計(jì)圖表的含義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入m=42，n=30，則輸出m的值為A.6B.12

C.30D.7

參考答案：B8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的a＝(

)

A.5 B. C. D.參考答案：C9.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.已知，是虛數(shù)單位，則（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是________.參考答案：12.已知指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像都過，如果，那么

參考答案：答案：解析：令則，13.若向量，則向量與的夾角等于

．參考答案：14.如右圖,該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為__________.參考答案：1615.已知的值如表所示：234546如果與呈線性相關(guān)且回歸直線方程為，則

；參考答案：16.若圓C的半徑為3，單位向量所在的直線與圓相切于定點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．參考答案：3

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：設(shè)的夾角為θ，過C作CM⊥AB，則AB=2AM，然后結(jié)合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函數(shù)的定義可用θ表示AM，代入向量的數(shù)量積的定義=||||cosθ，最后結(jié)婚二倍角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解解答：解：設(shè)的夾角為θ過C作CM⊥AB，垂足為M，則AB=2AM由過點(diǎn)A的直線與圓相切，結(jié)合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函數(shù)的定義可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3當(dāng)sin2θ=1即θ=45°時(shí)取等號(hào)故答案為：3點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義，弦切角定理及三角函數(shù)的定義的綜合應(yīng)用，試題具有一定的靈活性17.已知數(shù)列{an}滿足an=（n∈N*），若{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（，）【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由已知利用指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與數(shù)列的單調(diào)性可得：，解出即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足an=（n∈N*），{an}是遞減數(shù)列，∴，解得．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，某人在斜坡P處仰視正對(duì)面山頂上一座鐵塔，塔高米，塔所在山高米，米，觀測(cè)者所在斜坡CD近似看成直線，斜坡與水平面夾角為，（1）以射線OC為Ox軸的正向，OB為Oy軸正向，建立直角坐標(biāo)系，求出斜坡CD所在直線方程；（2）當(dāng)觀察者P視角最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（人的身高忽略不計(jì)）.參考答案：(1)(2)(320,60)【分析】（1）如圖，即直線CD的斜率，點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式可直接求出直線CD的方程；（2）由可知，由可得關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的函數(shù)，進(jìn)而求出視角最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)。【詳解】解：（1）由題意知?jiǎng)t直線的斜率為（2）記等號(hào)當(dāng)當(dāng)觀測(cè)者位于處視角最大為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于用已知條件表示出，得到關(guān)于x的函數(shù)。19.(本小題滿分12分）如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,是的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;(Ⅱ)求出該幾何體的體積.參考答案：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連……………6分（Ⅱ）由俯視圖知①且，直棱柱中平面，所以②由①②知平面，所以是棱錐的高。……………9分………12分20.設(shè)．（1）若，求最大值；（2）已知正數(shù)，滿足.求證：；（3）已知，正數(shù)滿足.證明:．

參考答案：（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法證明在在上遞增，在上遞減.由于函數(shù)的極大值為，時(shí)，（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：1

當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；2

假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，又假設(shè)略21.如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；

(2)AC＝AE.參考答案：略22.已知函數(shù)處的切線方程為

（I）求的解析式；

（II）設(shè)函數(shù)恒成立。參考答案：